Разделение переменных в уравнении Лапласа

Электрическое поле обладает осевой симметрией, и поэтому потенциал и напряженность поля зависят только от г и 0. Задача решается методом разделения переменных в уравнении Лапласа для скалярного потенциала. Для металлического щара эта задача решена в [22 ], а для шара из диэлектрика ход решения задачи аналогичен. [c.154]

Для установления характера движения жидкости рассмотрим простейший пример плоских колебаний (в плоскости Оуг) жидкости в канале прямоугольного сечения (рис. 2). Частные решения ищем в виде ц) у, г, t) = f t)Y(y)Z(z). После разделения переменных в уравнении Лапласа Дф = О и учета граничных условий (32) получим [c.289]

VI. 1. Разделение переменных в уравнении Лапласа. В случае сферических координат решение уравнения Лапласа (III. 8.5) [c.892]

Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в плоскости полярных координат [c.101]

Естественно, что одно и то же уравнение в одной системе координат допускает разделение переменных, а в другой может не допускать. При положительном ответе на этот вопрос рассмотрение краевых задач методом разделения переменных целесообразно только тогда, когда в соответствующей координатной системе рассматриваемая область представляет собой параллелепипед соответствующей размерности. Уравнение Лапласа в пространственном случае допускает разделение переменных в некоторых системах координат (декартовых, эллипсоидальных, тороидальных, а в плоском случае в полярных и биполярных). [c.118]

Для нестационарных задач дифракции метод разделения переменных в полном виде неприменим, поскольку отделить временную переменную прямо не удается. Большое распространение получил метод неполного разделения переменных [81], когда время исключается при помощи интегрального преобразования (в некоторых случаях интегральному преобразованию подвергается и пространственная координата), а затем в полученных уравнениях проводится разделение переменных. Как правило, используется интегральное преобразование Лапласа или Фурье [3]. Преобразование Лапласа функции f(t), интегрируемой в смысле Лебега на любом открытом интервале, задается с помощью интегральной формулы [c.68]

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.1.19), является уравнением Лапласа в сферических координатах его решение, как известно, находится методом разделения переменных в виде суммы слагаемых [c.169]

Решение уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат при применении метода разделения переменных в общем виде записывается в форме (2.44). В данном случае принимая во внимание симметрию задачи, а также учитывая условия (5.23) и (5.24), потенциал ф можно представить в виде [c.43]

Решим уравнение Лапласа (3.55) методом разделения переменных. Зададим решение уравнения в виде произведения двух функций X = X (х) и Y = Y (у) [c.287]

Таким образом, метод разделения переменных привел к построению набора частных решений уравнения Лапласа. Представим их в таком виде [c.120]

Уравнение Лапласа решим методом разделения переменных. Предположим, что для х, г) решение имеет вид О = X-R, где X = X (х) и R = R (г). Подставив эти функции в уравнение (15), получим [c.232]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

Аналогично обратные допущения относительно постоянства величины скорости или завихренности на линиях тока н т. д. не имеют никакого отношения к группам ). Было бы желательно определить, как это сделано для уравнений Лапласа и Гельмгольца (см. прим. 2) на стр. 188), все системы координат, в которых решения уравнений нестационарного движения жидкостей можно найти методом разделения переменных. [c.189]

Разделение переменных. Кроме специальных методов, заключающихся в нахождении функции потенциала или функции тока, соответствующей данным граничным условиям, существует несколько способов, основанных на решении уравнения Лапласа как обычного дифференциального уравнения в частных производных. Вследствие широкого использования в прикладной математике это уравнение подвергалось глубокому изучению, в результате чего было разработано несколько общих методов его решения. Три из них — разделение переменных, отражение и распределение особенностей — будут рассмотрены в данном разделе. [c.97]

Поскольку ф [х, у) также удовлетворяет двухмерному уравнению Лапласа, разделение переменных подсказывает решение в виде [c.100]

Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа. Пуассона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях. Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют однородным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого решения. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен характер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д. [c.270]

Исследование уравнений теплопроводности (параболического и эллиптического типа) содержится в курсах математической физики [43, 46, 49]. Здесь рассматриваются задачи теплопроводности, имеюшие наибольшее практическое значение и иллюстрирующие применение основных методов теории теплопроводности. К ним относятся задача о нестационарном теплообмене пластины произвольного профиля, решение которой основано на аппроксимации температуры по толщине пластины по степенному закону ( 3.2) задачи о стационарном и нестационарном осесимметричном плоском температурном поле диска ( 3.3 и 3.6) задача о нестационарном осесимметричном теплообмене полого цилиндра конечной длины с окружающей средой, исследованная с помощью интегрального преобразования Лапласа и метода разделения переменных ( 3.7), и др. [c.57]

Применяемый здесь прием нахождения полного интеграла уравнения в частных производных первого порядка есть тот и<е метод разделения переменных , который мы использовали уже в теории притяжения для нахождения частных решений уравнения Лапласа. [c.314]

Наиболее распространенным методом решения уравнения Лапласа (2.8) (записанного в ортогональных координатах q , q , qg) является метод разделения переменных, когда решение представляется в форме [c.24]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

Односкоростное приближение теории переноса нейтронов приводит к аналогичному уравнению, элементарные решения которого были изучены Боуденом и Уильямсом [22] методом, весьма сходным с тем, который применяется в данном разделе к уравнению (6.1). Этот метод заимствован из работы [23] и состоит в следуюндем. Используется преобразование Лапласа по времени и тем самым нестационарная задача сводится к стационарной. Решение задачи теперь зависит от комплексного параметра 5. После разделения пространственных и скоростных переменных исследуется спектр значений параметра разделения и в зависимости от 5 (это нужно для решения задачи обратного преобразования). [c.342]

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле = f x,y), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я] , которая определяется как точное решение уравнения с граничными условиями я] = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию i] , которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа = О с граничным условием я] = f x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечноразностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку у2я з> = и У я] " = О, имеем у2(я15 + я] ) = и, поскольку на границах ф == О и я " = f (х, (/), имеем я15 + я15 = = f(x,y). Поэтому функция я15 = я]з я удовлетворяет уравнению у2я з = и граничному условию я] = f(x,y). [c.205]

Однако более простым и поучительным является применение бесселевых функций 2 для рассмотрения задач о потенциалах с осевой симметрией. В то же самое время мы остановимся на основных положениях одного из наиболее современных методов классического рещения диференциальных уравнений в частных производных математической физики, а именно методе разделения переменных. Этот метод обеспечивает систематическую процедуру при выводе элементарных рещений уравнения Лапласа, так как применявщиеся до сих пор элементарные решения уравнения Лапласа, как 1п г (гл. IV, п. 2), п в (гл. IV, п. 5), / (X + iy) (гл. IV, п. 8) 1/г (гл. V, п. 2) и (гл. VII, п. 4) при построении распределения давления или [c.355]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...