Малые колебания системы с конечным числом степеней свободы

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ [c.207]

Лагранж дал обд],ую теорию малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы, изложив ее прх помощи обобщенных координат. Работа Лагранжа написана намеренно несколько абстрактно по форме ) полная динамическая интерпретация явления выпала на долю Томсона п Тэта ( Натуральная философия , 1867), которым мы обязаны также современной терминологией в этой области. Теория была значительно развита Рэлеем и систематически использована им в акустике, а также в других областях физики, в его различных работах, большинство которых (вплоть до 1896 г.) включены в его Теорию звука ). [c.81]

При исследовании упругих колебаний источник и объект можно в большинстве случаев рассматривать как упруговязкие системы с конечным числом степеней свободы, малые колебания которых вблизи устойчивого положения равновесия описываются линейными дифференциальными уравнениями Лагранжа второго рода [c.220]

Необходимо напомнить сначала некоторые теоремы общей теории малых колебаний, которые в последующих исследованиях постоянно будут находить свое применение ). Теория относится главным образом к системе с конечным числом степеней свободы, но результаты сохраняют свое значение (если их соответственно истолковать) также и при отсутствии этого ограничения ). [c.314]

В 1892 г. была опубликована его работа [52], в которой рассматривались различные дифференциальные уравнения движения возмущенной системы с конечным числом степеней свободы. Были выделены также класс дифференциальных уравнений так называемых правильных систем и подкласс приводимых систем , строго обоснованы те случаи, когда решение дифференциальных уравнений методом малых колебаний дает правильное представление об устойчивости системы. Разработаны случаи, когда указанный метод не может дать такого ответа. [c.11]

Известно, что любая форма смещения точек оси стержня представима рядом вида (2) по собственным формам колебаний в приближенном решении число собственных форм (слагаемых ряда) может быть взято конечным и часто весьма небольшим. Более того, в выражении (3) допустимо использование вместо собственных форм колебаний других функций от х, разумно описывающих характер упругой линии оси стержня. Подобного рода предположения — конечность я, допускаемый произвол выбора функциональной зависимости вектора перемещения от координат точек упругого тела — практически оправдываются расчетами колебаний стержней и плит на неподвижных опорах. Нет оснований считать их неприемлемыми при составлении общих уравнений движения упругого тела. Первое из упомянутых предположений, сводящее задачу к рассмотрению системы с конечным числом степеней свободы, исключает из рассмотрения вообще весьма трудно учитываемые колебания высоких частот. Второе не должно значительно повлиять на результат, поскольку, как увидим ниже, выбором функций, которыми задается вектор и, определяются численные значения некоторых интегральных характеристик они мало изменяются от этого выбора, если, конечно, он сделан достаточно разумно. [c.476]

КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ МАЛЫХ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ. Кинетическую энергию Т системы с конечным числом степеней свободы мы получим, подставив в формулу [c.103]

Начнем с рассмотрения системы, имеющей конечное число степеней свободы, могущей совершать малые колебания около положения устойчивого равновесия в поле потенциальных сил. В этом случае кинетическая и потенциальная энергии представляют квадратичные формы обобщенных скоростей и соответственно обобщенных координат с постоянными коэффициентами [c.689]

Как уже упоминалось, выражения, описывающие движения, содержат (как и для систем с конечным числом степеней свободы) одну или более независимых произвольных бесконечно малых постоянных (определяющих общую амплитуду движения, через которую выражаются все остальные постоянные), и которые могли бы быть выражены (друг через друга, Б. К.) линейно для каждой отдельной А, так что если эта постоянная обратится в нуль, то должны исчезнуть и все остальные . Как видно, уравнения (системы (5), Б. К.) должны удовлетворяться при = 7] = ( = ф = 0, и если Г], ( , ф есть их решение, то при произвольной малой постоянной к решениями являются и к , кг], кС,, кф. Как и для конечных динамических систем, уравнение, определяющее периоды или А, получается путём исключения всех постоянных, связанных с различными амплитудами колебаний. [c.185]

Рассмотрим основные свойства малых колебаний механических систем с одной и двумя степенями свободы на основе применения уравнений Лагранжа некоторые результаты для системы с любым, конечным числом степеней свободы приведем без вывода. Механическая система может совершать малые колебания только вблизи устойчивого положения равновесия. Обобщенные координаты системы в положении равновесия принимают равными нулю, т. е. отсчитывают их от положения равновесия. Тогда колебательным движением механической системы в общем случае считают всякое ее движение, при котором все обобщенные координаты или часть из них изменяются не монотонно, а имеют колебательный характер, т. е. принимают нулевые значения по крайней мере несколько раз. [c.384]

Обратимся теперь к общей теории малых колебаний системы С любым конечным числом степеней свободы. Мы начнем с рассмотрения собственных колебаний системы. [c.448]

Аналогичным путем мы можем доказать, что если система подвергается изменению, при котором потенциальная энергия данной конфигурации уменьшается, между тем как кинетическая энергия заданного движения остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний увеличиваются, и наоборот. Этим предложением можно иногда воспользоваться для того, чтобы проследить за эффектом связи действительно, если мы предположим, что потенциальная энергия какой-нибудь конфигурации, нарушающей условие, налагаемое связью, постепенно возрастает, то мы приблизимся к такому положению вещей, когда данное условие наблюдается с любой желаемой степенью полноты. В течение каждого шага процесса каждое свободное колебание становится (вообще) более быстрым, и часть свободных периодов (в количестве равном числу потерянных степеней свободы) становятся бесконечно малыми. Практически того же самого результата можно достигнуть без изменения потенциальной энергии, предположив, что кинетическая энергия какого-нибудь движения нарушающего условие, налагаемое связью, беспредельно возрастает. В этом случае один или несколько периодов становятся бесконечно большими, но конечные периоды оказываются в конце концов теми же самыми, к каким мы приходим, увеличивая потенциальную энергию системы, несмотря на то, что в одном случае периоды только возрастают, а в другом только убывают. Этот пример показывает, насколько необходимо делать изменения последовательными шагами в противном случае нам не удалось бы понять соответствия между двумя группами периодов. Дальнейшие иллюстрации будут даны для случая двух степеней свободы. [c.133]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ 152. Дифференциальные уравнення собственных колебаний системы [c.448]

Любая упругая система независимо от числа и характера наложенных на нее связей представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы, но при переходе к расчетной схеме она может быть заменена системой с конечным числом степеней свободы (или даже с одной степенью свободы). Проиллюстрируем сказанное на примере консольной балки с грузом на свободном конце (рис. 13-17, а). Если допустить, что. масса груза значительно больше массы балки и груз имеет такую форму и размеры, что момент инерции его относительно осей, проходящих через центр тялсести, мал, а жесткость балки значительна (прогибы малы) и рассматриваются только колебания в вертикальной плоскости, то координата а перемещения конца балки полностью определяет положение системы в любой момент времени. Следовательно, система может рассматриваться как обладающая одной степенью свободы (рис. 13-17, б). Несоблюдение хотя бы одного из сделанных выше предполсжений о характере величин, определяющих колебания системы, привело бы улсе к другой расчетной схеме. Если существенными в задаче являются не только колебания в вертикальной плоскости, но и любые другие, так что конец балки описывает в общ,ем случае какую-то плоскую кривую, то, раскладывая движение груза на вертикальную и горизонтальную составляющие, получаем расчетную схему (рис. 13-17, в), соответствующую системе с двумя степенями свободы. [c.341]

Но когда при колебаниях тела достаточно большое число атомов, заключенных в малом элементе объема, движется одинаково, можно рассматривать движение такого элемента объема как целого, не учитывая того, что он состоит из атомов. Вместе с тем и свойства тела — его плотность и упругость (которые вследствие атомной структуры должны резко изменяться от точки к точке) — внутри малого элемента объема следует считать постоянными, имеющими некоторые средние по элементу объема значения (койечно, если тело неоднородно, то от элемента к элементу свойства его могут постепенно изменяться). Так от дискретной системы с большим, но конечным числом степеней свободы мы переходим к сплошной колебательной системе с бесконечно большим числом степеней свободы. [c.693]

Обратимся для этого к системе связанных нелинейных осцилляторов. При достаточно малой энергии системы, Е<Ес, число интегралов движения равно числу степеней свободы, и можно ввести столько же квазинормальпых колебаний (практически это сделать, однако, не очень просто). Это и есть область применимости теории Слэтера. Прп Е>Ес часть интегралов движения разрушается и возникает стохастическое движение. Если разрушены все интегралы движения (кроме, конечно, полной энергии) и время перемешивания достаточно мало, то это есть область, в которой справедлива теория РРКМ. В связи со сказанным становится ясным, насколько существенно реальная ситуация связана с детальным изучением процесса разрушения интегралов движения, стохастизации движения и определения времен расцепления корреляций (времен перемешивания) по различным степеням свободы. [c.241]

Рождение устойчивого предельного цикла на торе означает синхронизацию колебаний ) — исчезновение квазииериодического и установление нового периодического режима. Это явление, которое в системе со многими степенями свободы может произойти многими способами, препятствует возникновению режима, представляющего собой суперпозицию движений с большим числом несоизмеримых частот. В этом смысле можно сказать, что вероятность реального осуществления именно сценария Ландау — Хопфа очень мала (этим не исключается, конечно, в частных случаях возможность возникновения нескольких несоизмеримых частот прежде, чем произойдет их синхронизация). [c.162]

Такого рода собственные колебания (гармоники, модаг) присущи любому упругому тепу, хотя их форма и спектр частот могут быть весьма сложными. По смыслу они аналогичны нормальным колебаниям в связанных системах (см. о. 120-122) в обоих случаях произвольное колебание системы является их суперпозицией. В связанной системе масса системы сосредоточена в телах (пружины невесомы), а упругость - в пружинах (тела абсолютно твердые) поэтому ее называют системой с сосредоточенными параметрами. Такая система состоит из конечного числа тел, она имеет конечное число колебательных степеней свободы и, соответственно, конечное число нормальных колебаний. В сплошном массивном упругом теле (стержень, струна) упругие и инертные свойства, характеризуемые, соответственно, модулями упругости и плотностью вещества, распределены по телу непрерывно. Его можно рассматривать как совокупность бесконечного шсла бесконечно малых элементов соответственно, оно имеет бесконечное число колебательных степеней свободы и как следствие - бесконечное число собственных колебании, как показано на примере закрепленной струны. [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...