Физически бесконечно малая величина

Следует подчеркнуть, что под частицей (или материальной точкой) среды понимается не математическая точка, т. е. бесконечно малая величина, а физическая точка, имеющая конечный, но малый по сравнению с общим объемом, занимаемым сплошной средой, объем. Объем индивидуальной частицы может при движении изменяться (но масса, заключенная в этом объеме, остается постоянной), что приводит к изменению плотности р. [c.231]

Физический смысл соотношений (3.12) — (3.14) можно объяснить также следующим образом. Прибавим чистый растворитель к бесконечно разбавленному раствору (температуры и давления раствора и растворителя равны, агрегатные состояния одинаковы). Тогда объем (энергия, энтальпия, теплоемкость) полученного раствора равен (с точностью до бесконечно малых величин выше первого порядка) сумме объемов (энергий, энтальпий, теплоемкостей) чистого растворителя и исходного раствора. Таким образом, смешение чистого растворителя с бесконечно разбавленным раствором происходи без изменения объема (энергии, энтальпии, теплоемкости). Постоянство энтальпии означает, что теплота смешения чистого растворителя с бесконечно разбавленным раствором равна нулю (с точностью до бесконечно малых величин выше первого порядка). [c.59]

Применение микроскопических характеристик поля в диэлектрике для количественного исследования процесса поляризации практически невозможно, так как величины Рсв. микро и р недоступны непосредственному измерению. Практически используются макроскопические характеристики поля в диэлектрике, которые получаются из соответствующих микроскопических величин путем усреднения по физически бесконечно малому объему АЕ. Этот объем в отличие от бесконечно малого математического объема должен быть чрезвычайно велик по сравнению с расстоянием между молекулами вещества и, следовательно, по сравнению с микроскопическими неоднородностями среды и поля. Одновременно объем А У должен быть чрезвычайно мал по сравнению с макроскопическими неоднородностями среды и поля, что обеспечивает плавное изменение всех усредненных величин при переходе в смежные элементы объема. [c.136]

Этот закон неприменим к отдельным молекулам или к малому числу их. Нельзя сказать, что в этом случае он неверен, так как он вообше ничего не говорит по поводу поведения отдельной молекулы или малого числа их, ничего не утверждает по той причине, что к отдельной молекуле неприменимо понятие теплоты, ибо понятие это, равно как понятия температуры и энтропии, имеет смысл только по отношению к весьма большому количеству молекул. Это вытекает из феноменологического метода, который положен в основу термодинамики. Феноменологический метод заключается в том, что рабочее тело рассматривают не как дискретное физическое тело, состоящее из отдельных молекул, а как некоторый континуум, т. е. как сплошную среду, физические параметры которой непрерывны и изменяются на бесконечно малую величину при переходе от одной точки пространства к другой. Это дает возможность изучать совокупность действия молекул, проявляющуюся в том, что нами названо параметрами состояния рабочего тела. Так, совокупность импульсов всех молекул газа дает параметр давления совокупность кинетических энергий молекул — внутреннюю энергию газа, совокупность объемов, занимаемых молекулами в их движении, — удельный объем газа. Статистический метод является лишь дополнением к феноменологическому методу и дает свои поправки в тех случаях, когда возможно судить о закономерности поведения отдельных молекул. Примером таких поправок является уравнение состояния реального газа. [c.67]

В расчетах физически бесконечно малые объемы заменяются математически бесконечно малыми . Тем самым открывается возможность описания состояния системы с помощью привычных термодинамических величин, рассматриваемых теперь как функции координат и времени. [c.234]

Здесь записано Величина L зависит от вида кривой (графика процесса), т. е. от того пути, по которому изменение состояния совершалось. Ниже мы увидим, что изменение внутренней энергии Аи не зависит от пути, по которому совершается изменение состояний, но, конечно, величина от пути зависит и поэтому она не есть какая-либо функция координат. Поэтому и элементарное количество теплоты, приводимой на любом бесконечно мало.м пути, будучи бесконечно малой величиной, не есть полный дифференциал какой-либо функции координат . Говоря о внутренней энергии, автор прежде всего подробно останавливается на ее физической сущности и особенностях. Установив, что и = ( Т, и), т. е. что внутренняя энергия есть функция состояния тела, автор пишет Ввиду этого величина йи — элементарное изменение внутренней энергии — есть полный дифференциал функции и . Заканчивается этот параграф рассмотрением общих особенностей циклов и уравнения для них первого закона, которое дается в следующем виде [c.82]

В самом деле, опыт показывает, что свет распространяется в воздухе, стекле и многих других веществах в значительной мере так же, как и 6 вакууме, т. е. макроскопически эти вещества представляются непрерывными и однородными. Непрерывными представляются и поля распространяющихся в них электромагнитных волн. Поэтому интерес представляют средние значения характеризующих вещество физических величин, таких, как плотность заряда или плотность тока, и средние значения напряженностей электромагнитных полей. Усреднение должно производиться по элементам объема, содержащим макроскопически большое число атомов или молекул, т. е. большим по сравнению со средним расстоянием между частицами. В то же время линейный размер этих элементов объема должен быть много меньше характерного размера макроскопических неоднородностей, мерой которых может служить длина электромагнитной волны. Удовлетворяющие таким условиям элементы объема принято называть физически бесконечно малыми. [c.72]

Многочисленные наблюдения указывают на молекулярное строение изучаемых материальных объектов. Однако при рассмотрении механических движений различных тел принято допущение о сплошности последних. Это представление не противоречит физическим данным, ибо тело, состоящее из молекул, можно разделить на малые элементы объема, содержащие много молекул. Заметим, что кубик воздуха со стороной 0,001 мм содержит 2,7 10 молекул. Такие элементы можно назвать физически бесконечно малыми. Характеризуя их средними величинами скоростей, ускорений, сил, действующих на молекулы, придем к представлению о теле как сплошной среде. Это представление удобно в том отношении, что методы математического анализа приспособлены для сплошных сред, тогда как математическая обработка прерывных сред значительно затруднена. Представление о телах, как сплошных средах, и обусловило общее название предмета механика сплошных сред . [c.5]

Если выполняется критерий (8.18), то интенсивность / (Ях) является макроскопической величиной, т. е. ее значение, определенное по формуле (8.19), зависит от макроскопических параметров, таких, например, как тип и плотность дислокаций, особенности равновесных конфигураций дислокаций и их пространственное распределение и пр. При этом усреднение проводится по ансамблю физически бесконечно малых объемов. Следовательно, приготовленные одинаковым образом кристаллы, когда каждый образец из данного множества макроскопически идентичен любому другому, будут давать одинаковую с точностью до малых флуктуаций [68] неотличимую картину распределения интенсивности. [c.240]

Обсудим теперь другое важное понятие механики сплошных сред, а именно понятие о поле. Напомним, что полем, называется любая физическая величина, заданная как функция точки пространства и времени. Поля могут быть скалярными, векторными, тензорными и др. Рассмотрим, например, скалярное поле плотности массы. Для этого усредним по физически бесконечно малому интервалу времени (включающему в себя данный момент 1) массу всех молекул, находящихся в физически бесконечно малом объеме ДУ (включающем в себя конец данного вектора г). Затем отнесем найденное таким образом среднее значение массы Дт к ДУ и определим плотность массы р = Дт/ДУ той частицы, которая в момент времени I находится в точке г. Повторяя эту процедуру для любого ДУ в любой момент найдем плотность массы [c.460]

Дискретная структура реальных физических тел перестанет быть помехой при изучении их движения с помощью модели сплошной среды (говорят в приближении сплошной среды ), если под понимать не математически бесконечно малую величину, а физически достаточно малый объем, обладающий следующими двумя свойствами. [c.9]

Вычисление теплоемкостей веществ. В физической химии обычно пользуются понятием истинной теплоемкости, определяемой как бесконечно малое количество тепла, которое нужно подвести к веществу для повышения его температуры на бесконечно малую величину [c.165]

Эта рецензия неизвестного автора замечательна не столько своей оценкой работы Карре , сколько в качестве самостоятельного мему-ара по теории удара. Обстоятельность изложения понятий, законов, понимание физической сущности явления удара свидетельствуют о хорошем владении автором излагаемой теорией и историей ее создания. Она интересна и потому, что здесь впервые понятие бесконечно малой величины используется не только применительно к традиционным геометрическим и кинематическим понятиям (перемещение, изменение скорости), но и применительно к физической величине массы тела, что является очередным шагом в адаптации идей анализа бесконечно малых в механике. [c.218]

Действительно, рассмотрим совокупность связанных точечных зарядов а =1,2,. .., содержащихся в малом элементе объема Д1/. Этот комплекс зарядов полагается устойчивым в том несколько условном смысле, что все его элементы остаются близкими друг к другу в течение всего процесса движения в физическом пространстве. Размеры объема ЛУ достаточно велики по сравнению со средним расстоянием между соседними зарядами, но достаточно малы по сравнению с макроскопическими характерными размерами. Иными словами, если L и L — наибольший размер Л1/ и характерная макроскопическая длина, то А1/ 3 JJ Ь = гЬ, где е — бесконечно малая величина. Такое условие выполняется для подавляющего большинства явлений в веществах, рассматриваемых как континуумы. В случае газов плотность не должна быть очень малой или средняя длина свободного пробега очень большой, иначе размеры [c.161]

В основе макроскопической электродинамики лежит принцип макроскопического усреднения — усреднения полевых величин по физически бесконечно малому объему [23]. [c.16]

Га — центр рассматриваемого физически бесконечно малого элемента, e( , t—т), Е(к, т) — Фурье-трансформанты соответствующих величин по пространственным переменным. [c.17]

Математический объект (число, вектор, функция, уравнение и т. д.) не полностью адекватен заменяемому им физическому объекту. Он отражает его главные черты, связи, но не охватывает всего многообразия свойств и связей объекта. Это всегда модель, и результаты ее изучения имеют характер относительной, а не абсолютной истины, они применимы в определенных рамках, границах. Например, понятие материальной точки в механике как объекта бесконечно малых размеров применимо примерно до 10 см. Для объектов меньших размеров — атомов и молекул — понятие микрочастицы имеет другое содержание. Приведем еще пример. Чрезвычайно широкое применение в физике имеют математические понятия непрерывности и бесконечно малых (элементарных) величин. Однако понятие непрерывности материи в механике и макроскопической электродинамике применимо лишь до тех пор, пока имеют дело с малыми объемами, содержащими очень большое количество дискретных микрочастиц. Соответственно элемент объема в физике — вовсе не математическая бесконечно малая величина, он может уменьшаться лишь до тех пор, пока не скажется дискретность вещества (атомно-молекулярная структура). [c.9]

Чтобы перейти от случая А к случаю Б, нужно изменить длину средней нити на бесконечно малую величину 2е. Значит, бесконечно малое изменение длины одной из нитей влечет за собой конечное изменение всех натяжений. Это физически абсурдно. Так как нельзя себе представить реальные нити строго одинаковой длины, то всегда должен осуществляться либо случай А, либо случай Б. Вопрос же о том, что будет, если нити строго математически равны между собой, принципиально неразрешим и не должен ставиться для идеальных, то есть нерастяжимых нитей. [c.14]

Усреднение микроскопич. величин производится по пространственным и временным интервалам, большим по сравнению с микроскопич. интервалами (порядка размеров атома и времени обращения эл-нов вокруг ядра), но малым по сравнению с интервалами, на к-рых макроскопич. хар-ки эл.-магн. поля заметно изменяются (напр., по сравнению с длиной эл.-магн. волны и её периодом). Подобные интервалы наз. физически бесконечно малыми . [c.351]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Однако прежде чем перейти к этому, нужно сделать на основании цикла Карно еще один вывод, который ведет к определению другой очень важной физической величины в термодинамике, тесно связанной с температурой,— энтропии системы. Если рассмотреть обратимый цикл Карно для случая, когда две адиабаты цикла очень близки друг к другу, то количества тепла становятся бесконечно малыми и вместо (1.3) можно записать [c.18]

Как видно из рис. III.5, при обходе точки С ( j), лежащей на вещественной оси полуплоскости по бесконечно малой окружности величина г на физической плоскости z изменяется на ihi. Составляя разность значений z для двух точек на оси слева и справа от точки С, найдем после преобразований [c.117]

Выбранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dx, в пределах которых рассматривается изучаемый процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения — величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретное строение среды и рассматривать ее как континуум (сплошную). Полученная таким образом зависимость является общим. дифференциальным уравнением рассматриваемого процесса. Интегрируя дифференциальные уравнения, можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего рассматриваемого промежутка времени. [c.17]

НАМАГНИЧЕННОСТЬ — средняя по нек-рой области,/,,р,— средняя плотность магнитного момента среды, заполняющей данную область 1 = M/V, где V — объем области, М — магнитный момент среды (он равен векторной сумме магнитных моментов всех заключенных в объеме молекул, ионов и т. д.). Предел /рр = dMjdV, когда V уменьшается до физически бесконечно малой величины dV, наз. намагниченностью /среды в точке, к к-рой стягивается объем V. (Для объема dV характерно то, что он еще велик по сравнению с атомными неоднородностями среды, но уже настолько мал, что даже значительные измененпя его существенно не сказываются на величине /рр). Н. наз. однородной в пределах рассматриваемого объема, если в каждой его точке I имеет одну и ту же величину и направление. Н. тела зависит от напряженности внешнего магнитного поля II магнитных свойств вещества, формы тела и его рас-нологкения во внешнем поле (см. Магнитное насыщение, Намагнимивани.ч кривые). Между полем в вещество Н и полем Яр существует соотношение Н = = //р — 7V/pp, где N — размагничивающий фактор. В изотропных веществах нанравление / совпадает с направлением Я в анизотропных, в частности монокристаллах ферромагнетиков, направления I vi Н в общем случае различны. Р- И. Янус. [c.353]

В этом предельном переходе в отличие от математического понимания бесконечно малой величины уменьшение объема AV производится только до физически бесконечно малого объема — объема частицы, удовлетворяюшего указанным выше условиям. [c.7]

Для того чтобы понять процессы, сопровождаюш,ие теплоотдачу к жидкости в сверхкритической области, необходимо проанализировать изменение физических свойств жидкости в окрестности критической точки и выше нее. Теоретически удельная теплоемкость при постоянном давлении и коэффициент теплового расширения в критической точке стремятся к бесконечности. Указанное свойство можно рассматривать как следствие того обстоятельства, что критическая точка является верхней границей области, в которой может происходить кипение. Скрытая теплота парообразования в критической точке стремится к нулю, а удельные объемы жидкости на кривой насыщения и газообразной фазы становятся одинаковыми. При давлении ниже критического на бесконечно малую величину можно увеличить энтальпию на бесконечно малую величину, равную скрытой теплоте парообразования температура при этом останется постоянной. Одновременно происходит увеличение удельного объема на бесконечно малую величину. В связи с этим предполагается, что удельная теплоемкость и коэффициент теплового расширения при давлении ниже критического становятся бесконечно большими. Подобное предельное состояние достигается также и в закритической области, где наблюдается резкий конечный максимум удельной теплоемкости. Удовлетворительные экспериментальные доказательства бесконечно больших значений любого из двух указанных физических параметров в сверхкритическом состоянии отсутствуют. Сверхкритическая температура, при которой наблюдается максимум удельной теплоемкости, по терминологии Голдмена [3] называется псеводокрити-ческой температурой. Псевдокритическая температура для большинства веществ увеличивается с давлением, а величина максимума удельной теплоемкости уменьшается (фиг. 1). [c.352]

НАКОПИТЕЛЬНОЕ КОЛЬЦО — устройство, предназначенное для накопления ускоренных заряж. частиц на устойчивых орбитах. См. Накопители. НАМАГНИЧЕННОСТЬ - характеристика магн. состояния макроскопич. тела средняя плотность магн. момента М, определяется как магн. момент I единицы объёма М = //Е. Предел М (Шс1У 41 — магн. момент физически бесконечно малого объёма 4У) наз. намагниченностью среды в точке. Н. однородна в пределах рассматриваемого объёма, если в каждой его точке М имеет одну и ту же величину и направление. Единица Н, в Международной системе единиц — ампер на метр (1 А/м — Н., при к-рой 1 м вещества обладает [c.241]

ДЛЯ всех /, /ив любой точке х. В этом случае можно исключить переносное движение среды (связывая систему координат х с каким-нибудь физическим волокном и плоскостью в точке х=0) из (5.14) получим, что в подвижной системе сам вектор перемещения и будет малым порядка б сравнительно с размерами области, занятой средой. Разница между этим и рассмотренным выше случаем в том, что в случае (5Л0) дUi дxj = дVi дxjdt является бесконечно малой величиной. [c.85]

То же самое можно сказать об усреднении по физически бесконечно малому объему, если последовательно учитывается простран-ствеииая дисперсия, и поэтому используются величины Е Ы, к), )> к) и т. д. [c.33]

Может возникнуть вопрос а действительно ли макроскопическое усреднение так много дает Ведь для того чтобы его корректно осуществить, все равно следует получить решение микроскопической задачи, включающей в себя уравнения состояния среды (например, кинетические уравнения) >. Здесь, однако, необходимо отметить следующее. В задачах, отвечающих реальным устройствам СВЧ, нужно учитывать неоднородность и пространственную ограниченность металлических и магнитодиэлектрических тел. В рамках макроскопической электродинамики эти факторы можно учесть, считая е((о), (г(ш) изменяющимися от точки к точке (точнее, от одного физически бесконечно малого объема к другому). Для моделирования границ вводят скачкообразные изменения е( , г), (д,(й, г). При этом величинам е, ц, а для ограниченных тел придаются значения, соответствующие однородной безграничной среде. [c.20]

Заметим еще, что в термодинамике и статистической теории, рассматривая системы, соразмерные, с наблюдателем (мы будем условно называть их системами лабораторных размеров), мы будем фиксировать их состояние не только во вре- мени (т. е. писать + где, как уже отмечалось, в случае квазистатической теории М > Тполн), но и в пространстве (или выделять Отдельные части системы), т, е. писать х и х + йх. И тут следует снова напомнить различие в понимании математической символики в математике и физике. В математике и <й — бесконечно. малые величины в традиционном идеальном их понимании. В физических теориях (даже в меднике) они малы в масштабах, принятых для описания данной системы и происходящих в ней явлений, но при этом всегда остаются значительно больше каких-то характерных микроскопических масштабов 6х и 61 (в связи с этим величины dx и дЛ, называют иногда физическими или макроскопическими бесконечно малыми величинами). Соответственно переосмысливаются понятия непрерывности функции, ее производной й т. д. Для статистических систем эти масштабы 6х и Н достаточно четко определены, и мы будем об этом своевременно еще говорить. [c.12]

Мы мсжем теперь уточнить, что, говоря о средней плотности числа частиц, мы имеем в виду усреднение по объемам определенных таким образом физически бесконечно малых элементов и соответственно по временам порядка величины времени пролета частиц через такие элементы. [c.17]

Под обобщенной силой понимают параметр, который по физическому смыслу является движущей силой рассматриваемого воздействия, т.е. воздействие имеет место, если по обе стороны контрольной поверхности численные значения этого параметра различны. Для ква-зистатических процессов это различие должно быть бесконечно мало. Например, для того чтобы квазистически сжать газ, находящийся в цилиндре под поршнем, внешнее давление на поршень должно быть на бесконечно малую величину больше давления газа в цилиндре, а чтобы расширить - наоборот. Столь малое различие давлений по обе стороны поршня и обуславливает предельно малую скорость его перемещения, а следовательно, квазистатичностъ процесса. [c.47]

Понятие о частицах жидкости, которым широко оперирует механика жидкости и газа, неразрывно связано с понятием о физически бесконечно малом объеме. Это объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерными размерами объекта, но он содержит в себе настолько много молекул, что его средние характеристики (например, плотность) становятся устойчивыми по отношению к изменению объема. Поэтому, например, фраза объем стягивается в точку означает, что он стремится не к нулю, а к физически бесконечно малому объему. Следует твердо усвоить, что все законы механики жидкости справедливы до тех пор, пока справедлива модель сплошной среды. Количественно это можно оценить по величине числа Кнудсена, представляющего отношение длины свободного пробега молекул I к характерному размеру течения / , т.е. [c.2]

Можно представить любую периодическую функцию В = В(х,у) как одномерную, так и двухмерную, в том числе и функцию энергетической яркости, удовлетворяющую условиям Дирихле, в виде одномерного или двухмерного ряда Фурье, а непериодическая функция может быть описана одномерным или двухмерным интегралом Фурье. Физически это означает, что заданное распределение яркости может быть получено сложением яркостей, распределенных по синусоидам и косинусоидам, которые имеют положительные и отрицательные полупериоды, различаются между собой па целую величину и могут быть сдвинуты по фазе. Описание двухмерной функции яркости в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование яркостей, распределенных по гармоническим составляющим, периоды которых различаются на бесконечно малую величину. Представление двухмерной функции яркости в виде ряда или интеграла Фурье позволяет ввести новое чрезвычайно плодотворное понятие пространственно-частотного спектра яркости, которое будет широко использовано при рассмотрении вопросов прохождевия информации через оптические системы. [c.19]

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими даннь7Й процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача тепла теплопроводностью, при установлении зависимости между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче тепла теплопроводностью, устанавливается в этом случае так называемым дифференциальным уравнением теп- лопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величии, характеризующих процесс. [c.352]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...