Тензор кривизны поверхности

Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор кривизны поверхности имеет взаимно ортогональные главные направления, в которых [c.266]

Формулы (10.51) и (10.56) показывают, что величины Ьц определяют нормальную кривизну в произвольном направлении. Поэтому их и называют (ковариантными) компонентами тензора кривизны поверхности. [c.148]

Тензор кривизны поверхности определен формулой [c.133]

Тензор кривизны поверхности равен по определению [c.201]

К и — кривизны соответствующих сечений. Таким образом, задание тензора кривизны поверхности в некоторой ее точке полностью характеризует кривизну поверхности в указанной точке. Если поверхность геометрически неоднородна, то задание тензора кривизны этой поверхности как функции координат ее точек исчерпывающим образом- характеризует кривизны всей поверхности, т. е. при этом представляется возможность получить кривизну любого сечения поверхности в любой ее точке. [c.24]

Тензор кривизны поверхности, 34. [c.588]

В области II (рис. 21) задача о построении тензора (7 ) агр рас сматривается в криволинейной системе координат (а, р, г, х°) с базисом (е , ер, 6 , Схо) и началом в центре области нагружения поверхности тела. Координатные линии аир расположены на поверхности тела и являются линиями главных кривизн поверхности, координатная линия 2 направлена по нормали к нагруженной части поверхности. Координаты аир связаны с областью нагружения тела (рис. 22) и изменяются в следующих пределах а а аз, Рх р Рз, причем ау и Ру (у= 1, 2) — размеры области нагружения координаты 2 и х° изменяются в пределах 0 2 2з, 0 х Ха , где 2з — глубина области [c.59]

НИИ известны все компоненты тензора деформаций. В случае свободной поверхности в локальной системе координат, связанной с точкой поверхности тела, в которой одна ось ( з) совпадает с нормалью к поверхности, а две другие (sj и ij) — с касательными к линиям кривизны поверхности, три компоненты тензора деформаций получаются непосредственно из изме-рений(ец, 22, е 12), одна ( 33) - из закона Гука, а две остальные (ei з, баз) равны нулю. Для соответствующего тензора напряжений отличными от нуля компонентами являются i, ffa 2. 2 В этих случаях естественно и целесообразно установить связь искомого вектора напряжений на Z, не с компонентами вектора перемещений, а с тензором напряжений на S. Для этого определим тензор функций напряжений Грина s, х), соответствующий тензору перемещений (j, х) [c.67]

Величины <2,/, bij, ij представляют собой, соответственно, метрический тензор срединной поверхности, тензор кривизны и дискриминантный тензор. [c.80]

Как и любой симметричный тензор, тензор, В имеет вещественные собственные значения Кь Кг> называемые главными кривизнами поверхности в данной точке. Спектральное разложение тензора В записывается в виде [c.49]

Формулы (2.67), (2.68) решают вопрос об определении вектора перемещений по заданному тензору деформации Коши поверхности и заданному вектору конечного поворота. Может врз-никнуть задача определения перемещений точек поверхности по заданным тензору деформаций и какому-либо тензору, определяющему изменение кривизны поверхности, что эквивалентно заданию функций GX(q, q ), BX(q, q ). A эта задача равно- [c.68]

Тензоры 1(3.21)—(3.23) индифферентны, симметричны и принадлежат поверхности О. Нетрудно проверить с помощью. (3.9), что при жестком движении. поверхности все они обращаются в нуль и поэтому действительно характеризуют скорость изменения кривизны поверхности. Если движение поверхности представляет собой изгибание, то е=0 и все эти три тензора совпадают. Таким образом, понятие тензора, определяющего скорость изменения кривизны поверхности, можно ввести не единственным образом, Более того, из вышеизложенного ясно, что в качестве такого тензора по аналогии с (1.55) главы I можно взять [c.73]

Этот тензор, характеризующий скорость изменения кривизны поверхности в данной частице, интересен тем, что выражается через градиент вектора угловой скорости в этой частице. [c.73]

Скорости изменения главных кривизн поверхности—можно вычислить, дифференцируя спектральное разложение тензора- [c.74]

Таким образом, не имеет принципиального значения, какой из тензоров, определяющих скорость изменения кривизны поверхности, участвует в постулируемом выражении мощности внутренних сил оболочки. [c.115]

Величины Til (i = x,y) совместно с Хху образуют двумерный симметричный тензор приращений кривизн поверхности приведения и приближенно выражаются формулами следующего вида [40] [c.87]

Обозначая через Ri, R2 главные радиусы кривизны поверхности отсчета, записываем инварианты тензора (1.6) в виде [c.299]

При этом в выражении (13.15.1) константу следует положить равной нулю. Это упрощение можно сделать, так как элементы (13.14.3) тензора обратных эффективных масс зависят только от кривизны поверхности, поскольку определяются вторыми производными, и они будут одинаковы независимо от того, где расположен эллипсоид—в начале координат или в точке [c.344]

Обычно символы кристофеля не являются компонентами тензора, но в данном случае они представляют ковариантные компоненты Гаэ=Вар тензора В, который описывает кривизну поверхности. (В современной дифференциальной геометрии термин тензор кривизны используется в другом смысле [2.6, с, 129].) Геометрическое значение В выражается так называемой второй фундаментальной формой П поверхности, которая Представляет собой нормал йую кривизну В в любом направлении йг (рис. 2.9), подробнее см. в работах [2.5, с. 35 2.8, с. 209] [c.23]

Тензор кривизны является центральным элементом по отношению к поверхности например, он встречается при любом дифференцировании векторов й тензоров на поверхности. Таким образом, В необходим для образования в соответствии с выражением (2.30) соотношения [c.24]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Здесь индексы 1 и 2 относятся к первой и второй средам — тензор вязких напряжений, р — давление, и — радиусы кривизны поверхности раздела, а — коэффициент поверхностного натяжения ), п — единичный вектор по нормали к границе, направленный внутрь первой среды. Будем считать слой жидкости первой средой (индекс 1). Над жидкостью находится газ, [c.61]

Кривизна поверхности определяется вторым метрическим тензором [c.214]

Формулы (4.6) и (4.9) показывают, что величины Ьу определяют нормальную кривизну поверхности в произвольном направлении. Поэтому их называют (ковариангными) компонентами тензора кривизны поверхности. [c.30]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Вернемся теперь к формуле (68) и предположим, что величины = gsr являются произвольными функциями координат xi). Спрашивается, можно ли найти такое преобразование координат (67), чтобы выражение для ds приняло вид (66) сразу во всем пространстве Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен. Требуемое преобразование существует не для любых тензоров (grs), а лишь для тех из них, для которых обращается в нуль некоторый вспомогательный тензор, называемый тензором кривизны. Этот тензор, в частности, равен нулю для цилиндрической поверхностгг (71) и отличен от нуля для поверхности сферы (72). В общем случае возможно тольг.о локальное преобразование (68) к виду (66). [c.476]

Поверхность отнесена к криволинейной системе координат и , и задана радиусом-вектором r(ui,u ). Векторы образуют на поверхности ковариантный базис, вектор единичной нормали к поверхности есть п. Метрический ковариантный тензор есть кривизна поверхности задается тензором bij = r yra = = f itij. Любой вектор может быть задан в локальном базисе [c.423]

К. п.-в. под горизонтом событий (при г<г+ в области, невидимой для удалённого наблюдателя) песта-циопарно и имеет истинную сингулярность на кольцо г —О, д=д/2, где тензор кривизны Римана расходится. Вблизи этого кольца в К. н.-в. существуют замкнутые времениподобные линии. Однако часть К. и,-в. внутри поверхности г г —М— (г — [c.348]

Так как символы Кристоффеля Г р и Гаэ,у выражаются через коэфф1йциенты первой квадратичной формы Gap. видим, что-(2.69), (2.70) суть уравнения относительно Gap, Вар. Уравнение Гаусса (12.69) выражает гауссову кривизну поверхности чере коэффициенты первой квадратичной формы. Уравнения Кодаццн (2.71) есть следствие того, что второй фундаментальный тензор поверхности представляет собой градиент вектора нормали. [c.69]

Сравнивая выражения (3.22), (ЗЛО), a также (3.22) и (3.25), видим, что среди всех описанных выше тензоров, характеризующих скорости изменения кривизны поверхности, производная" Ривлина (3.19) выделяется тем, что является наиболее близким аналогом тензора скорос -ей деформаций. По этой причине тензор (3.19) будем называть тензором скоростей искривлений и введем для него специальное обозначение [c.74]

Здесь Ti, К — соответственно средняя и гауЬсова кривизны поверхности П, е > — компоненты дискриминантного- тензора [c.135]

Направление, вдоль которого векторы dn/dl и s коллинеарны, называется главным направлением поверхности. В каждой неомбилической точке [72] поверхности Q существуют ровно два взаимно ортогональных главных направления, которые определяются из задачи на собственные значения тензора кривизны [c.19]

Здесь = рр у+ УIVк) — тензор вязких напряжений пих — соответственно единичные векторы нормали и касательной к поверхности а — коэффициент поверхностного натяжения К — кривизна поверхности жидкости. В формулах (1.1.4), (1.1.5) подразумевается суммирование по дважды повторяющимся индексам. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...