Срединной поверхности Решения точные

В зонах оболочки, где имеются такие особенности, могут возникать дополнительные напряжения, которые вызывают местное изгибание срединной поверхности оболочки. Точные решения показывают, что зоны изгибных напряжений весьма невелики, а, следовательно, на некотором удалении от таких зон расчеты оболочки можно производить по безмоментной теории. [c.108]

Для полученных выражений (5.59). .. (5.64) это уравнение точно не удовлетворяется вследствие отождествления радиусов кривизны рассматриваемого слоя и срединной поверхности. Так как система пяти уравнений равновесия в принципе достаточна для полного решения задач о деформации оболочки, шестое уравнение равновесия можно не рассматривать. [c.143]

Некоторое представление о физических условиях, которые определяют, насколько будет аккуратным это предположение в каком-либо частном случае, можно получить из следующего обсуждения. В общем случае в поперечном направлении будут возникать Деформации Ez, что обусловлено главным образом влиянием коэффициента Пуассона при возникновении напряжений а и а . Если деформации Кг равны нулю и постоянны по всему листу, так что как внешние, так и остальные поверхности, параллельные срединной поверхности, остаются плоскими, то нетрудно увидеть, что если удовлетворяются уравнения равновесия и условия сплошности в направлениях осей ж и у, то уравнения равновесия и условия сплошности можно удовлетворить и в направлении оси Z, если напряжения а и Oyz равны нулю, а напряжения а, Оу и Оху равномерно распределены по толщине, как и было предположено ранее ниже будет показано, что в подобном случае это предположение представляет собой точное решение трехмерной задачи. [c.140]

Если толщина изменяется линейно в зависимости от х и у, так что поверхность, первоначально параллельная срединной поверхности, остается плоской, как показано на рис. 3.7, б, то поперечные сечения приобретают форму круговых арок, которые пересекаются со всеми поверхностями под прямыми углами, а расстояния типа О Р С Е могут оставаться неизменными. Так, можно показать, что решение в этом случае будет также точным трехмерным решением, независимо от того, как велика толщина, [c.141]

Большая точность явных решений обычно имеет небольшое, значение до тех пор, пока в каждой точке границы удовлетворяются точные условия по напряжениям и перемещениям, а не те интегральные граничные условия, включающие результирующие напряжений или перемещений срединной поверхности,. которыми, как правило, и ограничиваются. Этот вопрос обсуждается ниже в 5.5. [c.151]

При I определяющее уравнение (10.47) становится асимптотически точным. Следует отметить, что в уравнение (10.47) совсем не входят кривизны поверхности, так что характер решения совершенно не зависит от степени искривленности срединной поверхности. Это объясняется тем, что определяющие напряженное состояние величины меняются настолько быстро, что искривление поверхности не оказывает на них заметного влияния. Более того, уравнение распадается на два независимых [c.355]

Срединная поверхность— квадратная, сторона ее равна единице. Следовательно, эти выражения дают упругую энергию единицы площади срединной поверхности. В этих выражениях Afj, являются приложенными изгибающими моментами, приходящимися на единицу длины контура, а Xj, Xg главными кривизнами деформированной срединной поверхности. Выражения будут точными, если изгибающие моменты приложены в виде напряжений, распределенных так, как требует точное решение задачи изгиба. Доказательство, аналогичное доказательствам 92—95 главы III, позволяет нам считать их достаточно точными для большинства технических задач, когда Mi и приложены другим способом. Таким образом, из нашей общей (приближенной) теории изгиба балок мы получили общую (приближенную) теорию изгиба пластинок. [c.303]

Из точного решения для пластинок, толщина которых не предполагается малой 2), известно, что касательные напряжения изменяются по толщине пластинки согласно параболическому закону точно так же, как и в балках узкого прямоугольного поперечного сечения. Поэтому максимальное касательное напряжение приходится на срединную поверхность пластинки, и величина его получается равной [c.89]

Ввиду практической важности этого заключения мы обратились к более точному решению задачи об изгибе круглой пластинки парами сил, равномерно распределенными по контуру. При составлении уравнений приняли во внимание искривление срединной поверхности и таким образом получили уравнения [c.384]

Деформацию такой пластины можно представить как ее изгиб относительно нейтральной поверхности, расположенной на некотором расстоянии от срединной плоскости пластины. Точное решение рассматриваемой задачи с учетом неравномерности деформаций в окружном направлении весьма сложно. Более простое Рис. 6.19 приближенное решение, основан- [c.258]

В тех случаях, когда контактные напряжения становятся соизмеримыми с напряжениями Ор и ад (малые радиусы кривизны, значительные усилия прижима), точность решения может быть повышена, если использовать уравнения пластичности для объемной схемы напряженного состояния. В этом случае точное решение должно учитывать переменность напряжений ар, Од и (где — напряжение, перпендикулярное срединной поверхности) по толщине заготовки. Однако для приближенных решений допустимо осреднение напряжений по толщине и отнесение всех сил к срединной поверхности, как это сделано в 2. В качестве среднего значения а при наличии одной контактной поверхности может [c.22]

При практическом применении изложенного выше точного метода вычисления критического значения нагрузки на пластину в ряде случаев возникают значительные трудности в нахождении решения дифференциального уравнения срединной поверхности, удовлетворяющей заданным краевым условиям. Кроме того, трансцендентность уравнений, к которым приводит точный метод, не позволяет выразить критическую нагрузку в явной форме. Поэтому, так же как и при рассмотрении устойчивости сжатых стержней, наряду с точным методом целесообразно использование приближенного метода расчета, основанного на рассмотрении потенциальной энергии выпучившейся пластины. [c.979]

Использованное нами уравнение срединной поверхности (53) не является точным уравнением. Действительно, это уравнение удовлетворяет всем краевым условиям рассматриваемой пластины, но не удовлетворяет ее дифференциальному уравнению. Благодаря этому полученное нами выражение (55) для критического значения нагрузки является приближенным. Для оценки погрешности формулы (55) сравним даваемые ею значения с результатами точного решения для рассматриваемой пластины [33]. [c.985]

Имеет, однако, смысл изучить эту задачу в несколько иной, приближенной постановке. Рассмотрим цилиндр высоты 2А (или слой с цилиндрической полостью) и выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость 2 = 0 являлась срединной плоскостью. Будем считать, что на торцах напряжения aл v, и aгv (совпадающие с Тхг, Хуг и Ог) обращаются в нуль. На боковой же поверхности приложены равномерно распределенные по высоте напряжения Охч, o /v (напряжения Ог обращаются в нул.ь). Из изложенного выше следует, что нельзя получить точное решение этой задачи, положив напряжения Ххг, Хуг и Ог тождественно равными нулю в области. [c.275]

В действительности — не единственное межслойное кромочное напряжение, которое может вызвать расслоение, и, кроме того, растягивающее напряжение а , действующее в срединной плоскости слоистого композита, не является наибольшим. На рис. 2.14 показано распределение по толщине композита касательного напряжения вблизи свободной кромки, вычисленное с помощью конечноэлементной модели. Видно, что неограниченно возрастает вблизи поверхностей раздела 25°/-25° и -25°/90°. Действительно, является сингулярным согласно точным решениям по теории упругого слоя [17,18]. Другое межслойное касательное напряжение также усиливается на этих поверхностях раздела, однако оно, по-видимому, относительно невелико и здесь не учитывается. [c.109]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

Концевые условия, подобные приведенньш в выражениях (2.6), которые рассматривают только результирующие силы и моменты на конце или углы наклонов, а также прогибы срединной. поверхности (или какой-либо другой специфической поверхности), можно назвать интегральными концевыми условиями. Полное удовлетворение действительным условиям на каждом" конце в общем случае означает удовлетворение уже некоторым другим, отличным от приведенных в выражениях (2.6)), условиям, причем число этих условий значительно больше двух. Точные краевые условия в задаче о балке включали бы в себя определение напряжений, перемещений (или соотношений между ними) в каждой точке поперечного сечения, а это дает теоретически бесконечное число условий. Некоторые из этих условий могут случайно оказаться удовлетворенными решениями уравнений (2.4) и (2.4а), которые получены для данного случая, так как любое решение описывает некоторое напряжение и перемещение в каждой точке поперечного сечения, и может случиться, что именно они и будут требуемыми напряжениями и перемещениями. Но в общем случае это маловероятно, и при решении уравнения четвертого порядка, полученного на основе аппроксимации Бернулли, можно быть уверенным, что удовлетворяются только два условия (т. е. на каждом конце следует изменять произвольно только два условия). Конечно, нужно использовать эти два условия, чтобы получить по возможности наилучшую аппроксимацию, удовлетворив условиям по результирующим напряжениям во всех [c.65]

Общие точные и антисимметричные решения для пластин. Кроме приведенных выше широко применяющихся приближенных решений для плоского напряженного состояния, можно получить общие точные решения трехмерной теории упругости. для пластин с ненагруженными поверхностями сюда входят напряжения и перемещения, нелинейно распределенные вдоль оси z. В добавление к рассмотренным до сих пор случаям, где нагрузки были симметричными относительно срединной поверхности (мембранный случай), аналогичные аппроксимации и точные решения могут быть получены для случаев антисимметричных отно- [c.150]

Эта процедура вполне практически осуществима, но в предложенной форме она имеет одан существенный недостаток. Как уже говорилось при обсуждении решения (4.118), классическая теория предсказывает бесконечно большое значение изгибающего момента в точке приложения сосредоточенной нагрузки, а поэтому и бесконечно большие изгибающие напряжения в каждой точке ЛИНИН, нормальной к срединной поверхности и проходящей через точку приложения нагрузки и соответствующую точку на противоположной поверхности пластины. Б действительности же напряжения имеют конечные значения всюду, за исключением точки приложения нагруэки. Следовательно, корректирующее поле локальных напряжений должно иметь бесконечно большие напряжения противоположного знака в остальных точках на этой линии. Но при наложении этого корректирующего поля напряжений на классическое решение в этих точках будут по-лзгчаться неопределенные величины вида бесконечность минус бесконечность, которые не дают ключа к определению точных конечных значений, которые в действительности здесь принимают напряжения. [c.341]

Точные решения, получающиеся из общих решений, пред- тавленных в таблице 3.1. В таблице 3.1 имеется только одно решение, в котором перемещение в, в направлении оси z (нор мальной к срединной поверхности пластины) равно нулю — это решение 1, которое-можно записать в виде EuJ i + ) = д /ду, Euy/ i+- )=> d dx, Пг= 0, где у, z)==0. То, что пере- [c.350]

При прогибах, равных нулю, и действии только объемных сил уравнение (6.31к) принимает вид V

плоского напряженного состояния теории упругости. Очевидно, что любые решения этого уравнения (в том числе в виде степенных рядов или гиперболо-тригонометрических функций, рассматривавшихся в 3.3) можно прибавить к решениям уравнения (6.31к) и использовать для удовлетворения двух краевых условий, налагаемых на мембранные силы или перемещения и и V срединной поверхности по всем четырем краям криволинейной панели, либо эквивалентных условий непрерывности деформаций. Точно так же решения уравнения У и = 0 можно прибавить к решениям уравнения (6.31з) и использовать для удовлетворения условий, задаваемых на поперечные силы или моменты, либо на поперечные смещения или углы наклона. [c.457]

Родственным вопросу об устойчивости цилиндрической трубы, подверженной действию внешнего давления, является вопрос о величине критического давления для тонкой шаровой оболочки. Этот вопрос рассмотрел Роберт Целли (Robert Zoelly) в своей уже упомянутой в 108 замечательной цюрихской диссертации 1915 г. Он предполагает, что шаровая оболочка испытывает деформацию (сплющивание), имеющую ось симметрии ). Рассмотрение самого общего случая деформации срединной поверхности шаровой оболочки с целью получить точное решение задачи представляет большие трудности вычислительного характера. Выражение критического давления имеет по Целли следующий вид [c.376]

Изложенное решение задачи о5 упругом состоянии сферического сегмента является, конечно, приближенным. По ходу этого решения мы сделали ряд упрощающих предположений, что и позволило нам. получить окончательный результат в замкнутом виде. Наиболее сущест- венным среди сделанных предположений является предположение о локальном характере деформации, которая спрямляет ребро при переходе от изометрического преобразования к истинной форме оболочки. Это предположение выполняется тем точнее, чем тоньше оболочка. В связи с этим можно утверждать, что полученное решение задачи будет сколь угодно близко к точному в отношении основных величин (максимальный прогиб, максимальные напряжения от изгиба и растяжения-сжатия в срединной поверхности), если оболочка достаточно тонкая, а рассматриваемые деформации значительны. [c.16]

В следующей работе D Gross [1.185] (1971) на основе уравнений плоского напряженного состояния построил точные решения для гармонических колебаний бесконечной ор-тотропной балки-стенки, характеризуемой продольным з , поперечным Еу и сдвиговым Gxy модулями упругости В случае несимметричных относительно срединной поверхности колебаний выведено и исследуется дисперсионное уравнение в предельных случаях длинных волн и коротких (волны Релея). Показано, что дисперсия волн сильно зависит от отношения ExIGxy- Коэффициент сдвига k определяется по формуле [1.138, 1.184] [c.55]

Пр Н этом счнтае.м, что перемещения срединной и наружной поверхности пластинок одинаковые. Система уравнений (6.6) — (6.8) является исходной для получения точного и приближенного решений для описанной выше модели соединения. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...