Схема приведенных зон

Все возможные значения энергии в каждой энергетической зоне можно получить путем изменения k в пределах первой зоны Бриллюэна. Поэтому зависимость E k) часто строят только для первой зоны Бриллюэна. Все остальные значения Е могут быть приведены в эту зону. Такой способ изображения E k), иллюстрируемый рис. 7.7, получил название схемы приведенных зон. В отличие от него зависимость, показанную на рис. 7.6, называют периодической зонной схемой. [c.227]

Схема изображения зон в к-пространстве без приведения к первой зоне называется схемой расширенных зон, а после приведения к одной зоне — схемой приведенных зон. Иногда оказывается удобным транслировать результат приведения во все зоны Бриллюэна. Такая схема получила название схемы повторяющихся зон (рис. 4.2). [c.63]

При рассмотрении зависимости энергии от волнового вектора к изменению энергии е(к), отвечающей изменению к внутри одной зоны Бриллюэна, соответствует энергетическая зона. В схеме приведенных зон одной энергетической зоне соответствует изменение функции 6(к) при однократном проходе внутри зоны Бриллюэна. В этом случае для различения разных энергетических зон их часто нумеруют дополнительным индексом. Итак, зонам Бриллюэна вдоль оси энергий соответствуют энергетические зоны. Еще раз обращаем внимание читателя зона Бриллюэна — зона в к-пространстве, энергетическая зона — зона в шкале энергий. [c.64]

ДлЯ построения ферми-поверхности в схеме приведенной зоны проводят радиусом kp несколько сфер Ферми с центрами в нескольких соседних узлах обратной решетки. Легко видеть, что первая зона Бриллюэна действительно будет заполнена полностью, а заключенные внутри сферы Ферми участки второй, третьей, четвертой зон Бриллюэна будут находиться соответственно между двумя, тремя, четырьмя пересекающимися сферами (рис. 4.11). [c.84]

В зоне проводимости, особенно вблизи ее дна, электронный спектр близок к спектру свободных электронов. Энергия электронов в кристаллах и волновая функция являются многозначными функциями волнового числа (см. 66). Это позволяет смещать спектр по волновому числу по определенным правилам. Условливаются, что волновое число должно всегда находиться в первой зоне Бриллюэна. Не вдаваясь в подробности определения этой зоны, заметим лишь, что такое условие требует для характеристики энергии и волновой функции использовать значения волнового числа, лежащие в интервале от нуля до некоторого максимального. Этот интервал различен по разным направлениям. Такой способ классификации электронных состояний в кристалле называется схемой приведенных зон. В ситуации, изображенной на рис. 117, это позволяет поместить начало кривой Е = Е(к) зоны проводимости на одну вертикаль с началом кривой Е = Е(к) валентной зоны. Тогда становится очевидным, что зависимость Е = Е к) в зоне проводимости действительно близка к соответствующей зависимости для свободного электрона. Однако рассмотрение скорости электрона одинаково удобно провести и без схемы приведенных зон, потому что ход производной dE/dk не зависит от смещения спектра по оси к. [c.352]

Е от к, можно перенести в первую зону Бриллюэна. Такое представление называется схемой приведенных зон в этой схеме заданному значению переменной к, лежащему в основной области — 2л 1а), соответствует множество разрешенных энергетических состояний это как раз то, что получается из уравнения (14), Схемы приведенных и расширенных зон являются одинаково правильными, и выбор одной из них, как мы увидим в разд, 6,3, зависит от поставленной задачи. [c.77]

Поверхностью Ферми называется поверхность постоянной энергии в трехмерном к-пространстве, которой соответствуют состояния с энергией, равной энергии Ферми при 0° К. Представляется интересным построить такую поверхность исходя из зависимости энергии от вектора к, найденной в разд. 4. 4. На фиг. 18 показана схема приведенных зон для направления х в кристалле, где [c.90]

Из системы уравнений (107.1) в принципе можно определить полный набор ЗгМ частот. Для каждого численного значения квадрата частоты в (107.1) независимо от значений к и /р, можно рассчитать число различных собственных векторов. Так как каждый собственный вектор соответствует определенному колебательному состоянию, число таких собственных векторов, соответствующее данному численному значению со , является числом состояний с этой энергией. Хотя это вполне приемлемый и часто употребляемый способ численного расчета плотности состояний, он неудобен с точки зрения анализа по симметрии. Напомним [4], что при наличии вырождения удобно относить индекс / или к определенной ветви колебательного спектра решетки. Поэтому любой ветви (при фиксированном /) соответствует N состояний, по одному для каждого значения к в зоне Бриллюэна. В схеме приведенных зон, которой мы будем пользоваться, функция (й кЦ) многозначна каждому к соответствует Зг значений индекса ветви. [c.313]

Схема приведенных зон. Всегда возможно, а часто и удобно, выбрать волновой вектор й, стоящий в индексе функции Блоха, так, чтобы конец его оказывался лежащим внутри первой зоны Бриллюэна. Процедура приведения произвольного вектора к к первой зоне Бриллюэна и получила название схемы приведенных зон. Еслн мы п.меем функцию Блоха в виде [c.322]

Как ехр Ю г), так и Нк (г) являются периодическими функциями в кристаллической решетке, а, следовательно, и и (г) является таковой, поскольку г) (г) имеет вид функции Блоха. Схемой приведенных зон удобно пользоваться даже в случае свободных электронов (см. рис. 9.6). [c.323]

И.мея дело со схемой приведенных зон, не следует удивляться тому, что одному и тому л<е волновому вектору будут отвечать различные значения энергии. Каждое из этих различных значений энергии отвечает одной из зон. Две волновые функции с одним и тем же к, но соответствующие различным энергиям будут независимыми каждая из них составлена различным образом из компонент плоских волн ехр [t (ft — G)-г]. Поскольку коэффициенты С к — G) для разных зон различны, следует добавить к С какой-то индекс (скажем, д), указывающий номер зоны, т. е. писать Сц к — G). Тогда функцию Блоха для состояния электрона с вектором к в зоне л будем записывать так [c.324]

Ферми может выглядеть очень сложной, но тем не менее, ис-ходя из сферической поверхности Ферми и пользуясь схемой приведенной зоны, ей можно дать весьма простую интерпретацию. [c.336]

На рис. 9.6 (стр. 323) приведена зависнмость е от волнового вектора к для свободных электронов в одномерном случае в схеме приведенных зон. Результаты данного та.м рассмотрения мы распространим на случай двух измерений (рис. 10.1). Формула Брэгга (2.40), определяющая границы зон, имеет вид [c.336]

Рис. 10.4. Поверхность Ферми для свободных электронов, показанная на рис. 10.2 в схеме приведенной зоны. Заштрихованные участки изображают занятые электронами состояния. Отдельные части поверхности Ферми попа-дают также во вторую, третью и четвертую зоны (четвертая зона не показана). Первая зона показана занятой полностью. /

Любая поверхность Ферми есть поверхность постоянной энергии е/ в й-пространстве. Поверхность Ферми при абсолютном нуле отделяет заполненные электронами состояния от незанятых состояний. Обычно строить поверхность Ферми лучше всего в схеме приведенных зон, одиако характер связности поверхности нагляднее виден в периодической зонной схеме. [c.376]

В этом случае поглощения в симметричных точках, как правило, не возникает. Анализ несколько усложняется из-за геометрии. Можно рассмотреть простейший случай, когда поверхность Ферми, найденная в приближении слабой связи, частично перекрывает грани зоны Бриллюэна, как это показано на фиг. 97. На фиг. 97, а изображена поверхность Ферми в схеме расширенных зон, а на фиг. 97, б — в схеме приведенной зоны Бриллюэна. Межзонное поглощение идет лишь тогда, когда в нижней зоне состояния заняты, а в верхней — свободны. Если в точке L обе зоны заняты, то поглощения в этой точке не происходит. Оно, однако, может возникнуть на грани зоны, в области, отмеченной на фиг. 97, б. Если смотреть прямо на грань зоны, то видно, что эта область имеет форму круговой ленты, лежащей на грани зоны. Поглощение может иметь место и дальше в зоне Бриллюэна. Однако здесь энергетические зоны быстро расходятся, и поэтому край поглощения определяется величиной запрещенной зоны при волновых векторах, лежащих в области этой ленты. Изучая зонную структуру простых металлов, мы видели, что запрещенная зона в этой области равна просто удвоенному значению соответствующего OPW формфактора (для простых металлов с одним атомом на элементарную ячейку). Поэтому край поглощения будет находиться при энергии, равной удвоенному формфактору для граней зоны Бриллюэна, пересекаемых поверхностью Ферми. Легко получить зависимость проводимости от частоты вблизи края поглощения [27]. Она имеет вид [c.366]

Фиг. 97. о—занятые состояния в поливалентном металле, где поверхность Ферми пересекает брэгговскую плоскость, б — поверхность Ферми в схеме приведенной зоны. [c.367]

В этом случае энергетические зоны естественно описывать в схеме приведенных зон, причем из соображений симметрии следует, что переходы должны быть вертикальными, как это показано на фиг. 98. Тем не менее вычисления здесь оказываются гораздо [c.368]

В случае одновалентных металлов иногда удобно для описания рассеяния с перебросом пользоваться схемой приведенных зон для колебаний решетки и схемой периодических зон для электронов, как это указано на фиг. 127. При этом говорят, что фонон [c.445]

Поскольку функции п(к) периодичны в обратной решетке, полное решение уравнения (8.52) для каждого п представляет поверхность в -пространстве, также обладающую периодичностью обратной решетки. Когда рассматривается полная периодическая структура полости поверхности Ферми, то говорят, что она описана в схеме повторяющихся зон. Часто, однако, бывает более удобным взять лишь часть каждой полости поверхности Ферми таким образом, чтобы каждый физически различный уровень был представлен всего одной точкой на поверхности. Этого можно добиться, представляя каждую полость той частью полной периодической поверхности, которая заключена в одной элементарной ячейке обратной решетки. Подобное представление называют схемой приведенных зон. В качестве элементарной ячейки обычно (но не всегда) выбирают первую зону Бриллюэна. [c.149]

Если предпочтительнее задавать все уровни посредством векторов к из первой зоны Бриллюэна, мы можем перенести кусочки кривых на фиг. 9.4, д в первую зону, проделав смещения на векторы обратной решетки. Результат показан на фиг. 9.4, е. Это представление называют схемой приведенных зон (см. стр. 149). [c.166]

Для изображения структуры энергетических зон в трехмерном случае иногда используют кривые зависимости от к вдоль определенных прямых в /с-пространстве. Такие кривые обычно изображаются в схеме приведенных зон, поскольку для произвольного направления в А -пространстве они не периодичны. [c.166]

Поверхность Ферми алюминия очень близка к поверхности свободных злектронов для гранецентрированной кубической моноатомной решетки Бравэ с тремя электронами проводимости на атом, изображенной на фиг. 15.14. Можно показать (задача 4), что для алюминия поверхность Ферми свободных электронов целиком содержится во второй, третьей и четвертой зонах (фиг. 15.14, в). При изображении в схеме приведенных зон поверхность Ферми второй зоны (фиг. 15.14, г) представляет собой замкнутую структуру, содержащую незанятые уровни, а поверхность третьей зоны (фиг. 15.14, д) имеет вид сложной структуры из узких трубок. Часть поверхности, расположенная в четвертой зоне, очень мала она окружает крошечные карманы занятых уровней. [c.301]

Фиг. 15.15. Поверхность Ферми алюминия в третьей зоне в схеме приведенных зон. (Из

См. также Теория упругости Зона см. Зона Бриллюэна Зона Джонса Схема повторяющихся зон Схема приведенных зон Схема расширенных зон [c.396]

На рис. 4.3 показана схема приведенных зон для направления х в кристалле, где под влиянием потенциала решетки энергия состояний во второй энергетической зоне вблизи границы зоны Бриллюэна оказывается меньше энергии состояний в первой энергетической зоне. Возникает вопрос, как будет выглядеть поверхность Ферми при различных значениях ЕГ. [c.18]

На рис. 11.35, <2 приведен пример схемы электрической (ЭЗ), а на рис. 11.35, б — таблица к ней, выполненная на формате А4. (Графа Зона показана условно, так как поле схемы на зоны не разбито.) [c.348]

Структуру потока в пределах зоны гладкостенного течения можно представить схемой, приведенной на рис. 6.13, а. При турбулентном течении вблизи стенки сохраняется вязкий подслой, движение в котором преимущественно ламинарное. Толщина подслоя бл достаточна, чтобы покрыть все неровности стенки, благодаря чему турбулентное ядро потока движется как бы в гладкой трубе. Трубы, работающие в таком режиме, иногда называют гидравлически гладкими. [c.150]

Структура потока в пределах гладкостенной зоны может быть представлена схемой, приведенной на рис. 66, а. При турбулентном течении вблизи стенки сохраняется вязкий подслой, движение в котором преимуш,ественно ламинарное. Толщина подслоя бд достаточна, чтобы покрыть все неровности стенки, благодаря чему движение турбулентного ядра потока происходит как бы [c.162]

Этот оператор представляет собой сумму одноэлектрон ных операторов, каждому из которых соответствует пол ная система собственных функций — обычных функций Блоха. Функция Блоха для электрона с импуль сом р, находящегося в зоне т (мы будем пользоваться схемой приведенных зон), удовлетворяет уравнению [c.221]

Рис. 9.6. Зависимость энергии от волнового вектора е = h k l2m для свободных электронов, изображенная в схеме приведенной зоны. Такое построение позволяет пояснить общим образом возникновение зонной энергетической структуры кристалла. Ветвь АС представляет собой зеркальное отражение относительно вертикали k — я/а отрезка кривой е(А) для свободных электронов в интервале положительных значений к от к = - -л/а до к = 2л1а. Ветвь А С — соот-ветствующее отражение относительно вертикали к = —л/а отрезка кривой для oTpis-цательных значений к (от k = —я/а до k = —2я/а). Внутрнкристаллический потенциал и(х) будет создавать энергетические щели на границах зон Бриллюэна (например, в точках А я А между перво.й и второй зонами и в точке С между второй и третьей зонами). При этом ширина разрешенных зон и общие характеристики зонной структуры таковы, что в схеме приведенной зоны о них часто говорят просто как о зонах свободных электронов .

Поверхность Ферми для свободных электронов при некоторой произвольной концентрации электронов изображена на рис. 10.2 (случай плоской квадратной решетки). Тот факт, что части поверхности Ферми, относящиеся даже к одной к той же зоне (например, второй), оказываются отдаленными одна от другой, представляется несколько неудобным. Это можно поправить, перейдя к схеме приведенной зоны, описанной выше в связи с обсуждением выражений (9.38) — (9.41). Мысленно вырежем из рис. 10,2 треугольник, помеченный цифрой 2а, и передвинем его налево на вектор обратной решетки, в данно.м случае на вектор 0 = — 2п/а)кх тогда он окажется внутри первой зоны Бриллюэна (см. рис. 10.3). Если сдвинуть подобным же образом в другие части первой зоны Бриллюэна на соответствующие векторы обратной решетки остальные треугольники, т. е. 2ь, 2с, 2с1, то в схеме приведенной зоны вторая зона окажется внутри первой. Части поверхности Ферми из второй зоны теперь соединятся, как показано на рис. 10.4. Переместив третью зону внутрь того же квадрата, мы прндем к тому, что части поверхности Ферми из третьей зоны (заштрихованные участки) еще будут выглядеть разъединенными. Если взглянуть на эту картину с точки зрения периодической зонной схемы (рис. 10.5), поверхность Фермн образует розетку (нли решетку розеток). [c.337]

Такие фигуры, разумеется, очень близки к тем, которые мы получили бы, если бы выполнили полный расчет энергетической зонной структуры. Учет указанных искажений ферми-поверхности — одномерных и двумерных — должен быть нашим следующим шагом, если мы хотим сравнивать рассчитанную ферми-поверхность с экспериментально наблюдаемой. Из этого сравнения мы смогли бы также выяснить, насколько справедливы наши представления о величине псевдопотеициала. Конечно, если мы хотим детально изучать ферми-поверхность, лучше опять вернуться к схеме приведенных зон. На фиг. 50 для иллюстрации сравниваются изоэнергетические поверхности в А1, рассчитанные в трех- и одноволновом OPW при нижениях. [c.153]

Можно также подчеркнуть периодичность описания в /с-пространстве, продолжив периодически фиг. 9.4, е на все А -пространство. В результате получается фиг. 9.4, ж, из которой хорошо видно, что всякий уровень с заданным к может быть описан также и другими волновыми векторами, отличающимися от к на любой из векторов обратной решетки. Такое представление называют схемой повторяюи ихся зон (см. стр. 149). В схеме приведенных зон для задания уровней используются векторы к, лежащие в первой зоне, тогда как в схеме расширенных зон применяются обозначения, подчеркивающие непосредственную связь с уровнями свободных электронов. Схема повторяющихся зон является наиболее общим представлением, но такое описание избыточно — каждый уровень показан много раз для всех эквивалентных волновых векторов к, к К. к 2К и т. д. [c.166]

После довольно значительной предварительной исследовательской работы [383, 385] метод импульсного сильного магнитного поля был впервые систематически применен Голдом [168] (1958 г.) для под-робного изучения зависимости от ориентации достаточно сложного спектра частот свинца (см. рис. 5.19). Его интерпретация полученных экспериментальных результатов представляла собой важный вклад в понимание поливалентных металлов. Интерпретация производилась для поверхности Ферми в модели почти свободных электронов (ПСЭ) — модели, которая на первый взгляд казалась совсем неподходящей для металла с большим атомным номером, подобным свинцу. В схеме приведенных зон различные части, которые отсекаются от сферы свободных электронов гранями зоны Бриллюэна, вновь складываются в своих зонах. Получающиеся части ПФ дают грубое представление о том, как может выглядеть ПФ, если периодический потенциал допустимо рассматривать как относительно слабое возмущение. Отдельные части ПФ, полученной с помощью модели ПСЭ, показаны на рис. 5.15, и можно видеть, что существует множество экстремальных сечений. Некоторые из них были правдоподобно идентифицированы Г олдом с отдельными ветвями наблюдаемого спектра частот. Несколько лет спустя Андерсон и Голд [18] (1965 г.) предприняли еще более подробное исследование свинца (см.рис. 5.19), используя значительно усовершенствованную методику эксперимента, и подтвердили в главных чертах первоначальную интерпретацию Голда, выявив еще много ветвей спектра, предсказанных моделью ПСЭ, но не обнаруженных в первой работе. [c.36]

Структуру системы управления движением промышленного робота можно проследить по схеме, приведенной на рис. 18.4, отражающей определенные уровни управления. На первом уровне автоматизированные приводы для всех степеней подвижности обеспечи-ванэт движение исполнительных звеньев и механизмов робота в пределах рабочей зоны с помощью управляющих программ по каждому частному циклу. Информация о положении исполнительных звеньен, характеристиках внешней среды и объекта манипулирования вырабатывается датчиками и по каналам обратной связи передается оператору или в специальные устройства более высоких уровней управления для внесения коррективов в движение, если в этом возникает необходимость. Формирование сигналов управления движением приводов и устройствами автоматики обычно осу- [c.481]

Существующее многообразие распределения механических свойств (например, твердосги HV) по объему мягких прослоек и их геометрических форм можно свести к схемам, приведенным на рис 2.6 и 2.7, которые охвапъгвают наиболее часто встречаемые на практике вида механической неоднородности сварных соединений оболочковых конструкций Для оценки размеров и свойств различные зон соединений наряд> с экспериментальными /43/ существуют и расчетные методы /44, 45/. Используя данные подходы и методики можно в целом ряде случаев оценить вид и степень неоднородности сварных соединений и размеры мягких и твердых прослоек. [c.77]

На рис. 30 [2] показано чередование разрешенных энергетических зон и щелей для периодического потенциала. Энергия электрона дана как функция волнового вектора в схеме расширенных и приведенных зон Бриллюэна для одномерного кристалла с постоянной решетки а. Нелокализо- [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...