Другие доказательства теоремы Якоби

ДРУГИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ ЯКОБИ [c.513]

Некоторое усовершенствование того же рассуждения (с другим выбором производящей функции )) показывает, что достаточно даже, чтобы собственные числа матрицы Якоби D (X,Y)ID (z, у) ни в одной точке не были равны —1, т. е. чтобы наше отображение не переворачивало бы касательное пространство ни в одной точке. К сожалению, все такие условия нарушаются в некоторых точках для отображений, далеких от тождественного. Доказательство теоремы Пуанкаре в общем случае использует совсем иные соображения. [c.386]

Другие доказательства теоремы Якоби. В 25.1 мы привели дока.зательство теоремы Якоби об инвариантности формы уравнений движения по отношению к контактным преобразованиям. Это доказательство основывалось на теореме эквивалентности и, возможно, является простейшим. Тем не менее ввиду важности теоремы Якоби мы приведем еще два доказательства ее, каждое из которых представляет самостоятельный интерес. Одно из них связано с рассмотрением производящих функций контактных преобразований ( 24.2 и 24.3) и включает в себя некоторые приемы, которые окажутся по-пезными впоследствии. Другое доказательство основано на использовании симплектического свойства матрицы М ( 24.13) оно показывает, между прочим, что контактное преобразование не является самым общим преобразованием, при котором уравнения Гамильтона сохраняют свою форму. [c.513]

Система Лиувилля впервые рассматривалась в Journal de math., XIV, 1849, стр. 257. Интегрирование можно выполнить непосредственно с помощью уравнений Лагранжа, не прибегая к теореме Гамильтона — Якоби см., например, Уиттекер [27]. Другое элементарное доказательство см. далее в этой книге ( 26.9). [c.329]

Теорема Ламберта привлекла заметное внимание. Проиллюстрируем лишь наиболее известные имена. До Ламберта Эйлеру [1] удалось получить частный случай параболических орбит, который, впрочем, можно найти и у Ньютона [5] в несколько ином виде. После того как в 1761 году появилось доказательство Ламберта [1], использующее геометрический синтез , Лагранж [5] первым опубликовал в 1766 году аналитическое доказательство, а в 1778 году — три других [6]. Лаплас [4], Гаусс [3], Гамильтон [4], Якоби [2], Келли [1], Сильвестер [1], Адамс [c.42]

Для доказательства обратной теоремы построим поле fi оо экстремалей, ортогональных данной поверхности Т х, у, г) = 6 и сравним его с другим полем /, оо экстремалей. Последнее поле строится следующим образом. Решаем уравнение Гамильтона— Якоби (21) с граничным условием, состоящи.м в том, что S (х, у, г) должна быть постоянной величиной на поверхности Т (х, у, г) = 0. Если и и у определены соотношениями (22), то решение выражается интегралом (11). Тогда в соответствии с только что доказанной теорелюй уравнения (23) определяют поле экстремалей ортогональных поверхности Г = 0. Однако поля fl и 2 должны совпадать, поскольку они удовлетворяют одним и тем же дифференциальным уравнениям и одним и тем же граничным условиям па поверхности Т — 0. (Зледовата1ьно, для даппого поля Д величина интеграла S не зависит от пути интегрирования. [c.667]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...