Задача трех тел ограниченная круговая

Пример 1 (Ограниченная задача ТРЕХ ТЕЛ (см. п. 124)). Пусть точка Р малой массы движется под действием притяжения двух точек S и J конечных масс, не оказывая влияния на движение последних. Будем считать, что точка J движется относительно точки S по круговой орбите, а точка Р движется в плоскости этой орбиты (т. е. рассматривается так на- Р с. 138 зываемая плоская круговая ограниченная задача трех тел). [c.325]

ОГРАНИЧЕННАЯ КРУГОВАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ [c.149]

Наконец, Пуанкаре указал на интегральные инварианты как на одно из эффективных средств проверки решений задачи трех тел, получающихся в форме рядов после трудоемких вычислений. Используя эту идею, Пуанкаре показал, например, что в случае ограниченной круговой задачи трех тел, описываемой уравнениями [c.60]

Этот вариант ограниченной задачи трех тел называется ограниченной плоской круговой задачей трех тел, К этой задаче сводится, например, изучение движения космической ракеты под воздействием Земли и Солнца в случае, когда орбита ракеты находится в плоскости эклиптики. [c.229]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ [c.229]

В ближайших двух параграфах мы сделаем некоторые выводы из уравнения (7.3.8) для ограниченной плоской круговой задачи трех тел. Для простоты будем полагать, что нами выбрана каноническая система единиц, так что [c.244]

Непосредственным обобщением этой задачи является ограниченная пространственная круговая задача трех тел , о которой мы говорили в 2. [c.259]

Теорема 3 применима ко многим задачам гамильтоновой механики. Так, например, плоская ограниченная круговая задача трех тел не допускает нетривиальной группы симметрий в виде ряда по степеням малого параметра /2 с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (ср. с п. 1 2 параметр /2 равен отношению массы Юпитера к массе Солнца). [c.194]

Задача трех тел является модельной задачей в небесной механике, исследование которой позволяет объяснить ряд механических явлений в Солнечной системе. В некоторых моделях используется ограниченная круговая или эллиптическая задача трех тел, когда два массивных тел движутся по заданным кеплеровским орбитам в поле сил взаимного притяжения, а третье тело мало, не влияет на движение первых двух и движется в гравитационном поле, порожденном первыми двумя телами. В этих задачах тела рассматриваются как материальные точки. [c.385]

Если принять = о, /X 7 о, то будем иметь ограниченную круговую задачу трех тел, а уравнения (7) представятся в форме [c.389]

Наконец, полная система уравнений (7,9), когда 7 О, /i 7 О, позволяет определить эволюцию движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел. [c.389]

Ограниченная круговая задача трех тел. В 1834 г. немецкому математику К.Г. Якоби удалось получить первый интеграл уравнения движения. Пусть вектор описывает окружность радиусом I, вращаясь с угловой скоростью О. Перейдем в систему отсчета К, вращаюшу-юся с угловой скоростью О. Ось г направим по вектору О, а ось х [c.88]

Например, при решении задачи об устойчивости точек либрации (лагранжевых решений) в круговой ограниченной задаче трех тел уже в первом приближении (т. е. в линеаризованной задаче) обнаруживается неустойчивость в смысле Ляпунова всех трех прямолинейных точек либрации, а также обоих треугольных — в случае, когда произведение конечных масс больше чем 1/27. Если же это произведение меньше 1/27, то вопрос об устойчивости треугольных точек остается открытым многочисленные попытки советских и зарубежных ученых решить эту интересную и важную для практических приложений задачу до самого последнего времени оставались безрезультатными. [c.344]

С теорией устойчивости (в смысле Ляпунова) тесно связано также отдельное течение в качественном направлении, посвященное изучению форм и свойств траекторий в задаче с двумя степенями свободы, типа плоской ограниченной круговой задачи трех тел (В. В. Степанов, Н. Д. Моисеев и его ученики). [c.344]

Пример 2.5. Точки либрации в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Рассмотрим три материальные точки 5, . 1 и Р с массами Шх, т , т , движущиеся под действием взаимного гравитационного притяжения, определяемого законом Ньютона. Предпола1ается, что Щз мала по сравнению с конечными массами т, и гп2 (Щ] >/ 2 Шз), т.е. рассматривается ограниченная задача трех тел. )Хяя случая простр)ан-ственной круговой задачи трех тел, когда тела. У и. / движутся по круговым орбитам вокруг их центра масс, а тело Р в своем движении выходит из плоскости орбит тел Б я J, функция Г амильтона задачи имеет вид [18] [c.97]

D, а В преобразовании Крылова — Боголюбова вида (3.60) но будет отсутствовать. Чтобы преобразование Крылова — Боголюбова давало асимптотические представления для решения нервоначальной системы (62), необходимо, как неоднократно указывалось раньше, решить усредненную систему (70). Моиаю доказать [8, 124], что усредненные по Делоне — Хиллу уравнения плоской ограниченной круговой задачи трех тел интегрируемы в квадратурах, т. е. известна полная система ее первых интегралов (система уравнений имеет четвертый порядок). То же самое можно утверждать и относительно усредненных но Фату и Моисееву уравнений плоской ограниченной круговой задачи трех тел. Что касается пространственного случая ограниченной круговой задачи трех тел, то известно, что только схема Гаусса (см. (35)) приводит к интегрируемой задаче. Первые интегралы усредненных уравнений можно найти в [7, 8, 124]. [c.148]

В. А. Приходько [127] решил эту задачу для соизмеримости А /сг = 2 5, характерной для группы астероидов Минервы. В случае плоского варианта (t = Q = 0) ограниченной круговой задачи трех тел усредненная возмущающая функция после выполнения процедуры интегрирования по формуле (67) принимает вид [c.150]

Таким образом, мы получили явные аналитические зависимости для оскулирующих усредненных элементов а, р, е, со, М как функций аномалии Делоне D, а также зависимость t = t D), не содержащие вековых членов, а выражающиеся только через тригонометрические функции. Отсюда могкно сделать вывод, что даже в случае точного резонанса средних движений в усредпеп-пой ограниченной круговой задаче трех тел эти элементы изменяются колебательным, а не вековым образом. [c.158]

Изложенная методика построения возмущений была применена к конкретным задачам небесной механики, в частности для определения возмущений элементов орбит астероидов Юнона, Веста, Астрея, Геба, Ирида и Лютеция. В качестве нриближеиного решения дифференциальных уравнений, описывающих движение этих астероидов, было взято точное ренгение усредненного по схеме Фату варианта ограниченной круговой задачи трех тел [8, 124]. [c.188]

Рассматривая классическую ограниченную круговую задачу трех тел при определенном соответствии конечных масс, Г. Дарвин и ученые копенгагенской школы под руководством Э. Стремгрена установили классификацию всех существуюпщх простых периодических решений задачи, которая позволяет проследить процесс исчезновения определенных классов периодических орбит при изменении начальных условий. Много работ посвящено также изучению траекторий вблизи лагранжевых частных решений, исследованию ограниченной задачи трех тел, устойчивости движения динамических систем и др. [c.108]

Полагая в уравнениях (17), (18) z ri О, получим дифференциальные уравнения движения спутника в ограниченной плоской круговой задаче трех тел. Так как при г О третье из уравнений (18) превращается в тождество 0 = 0, то рассматриваемая плоская задача описывается системой диффере1щиальпых уравнений четвертого порядка относительно двух вещественных ( зуикций х (/) и у (/). [c.234]

Теоремы о необратимости и симметрии в пространственной ограниченной круговой задаче трех тел. Если в какой-то области пространства движение спутника двух притягивающих центров Ai, т ) и (Лз, апз) nii <С щ) возможно, то, разумеется, он может двигаться не по любой кривой из этой области и не в любом направлении. На следующие любопытные элементарные факты обратил внимание американский ученый А. Миеле (Miele). [c.259]

Проблема захвата. Большой интерес для космонавтики представляет следуюш,ая проблема захвата в ограниченной круговой задаче трех тел может ли не-притягиваюш,ая материальная точка (например, космическая ракета), пришедшая из бесконечности в некоторую ограниченную область Л пространства, где она подвергается притяжению двух звезд , остаться навсегда в этой области [c.260]

Весьма интересный анализ был произведен советским механиком В. А. Егоровым [6.1], [7.1]. Рассматривая случай, когда область О есть сфера притяжения или сфера действия меньшей звезды относительно большей звезды, он пришел к следующему выводу если в круговой ограниченной задаче трех тел отношение притягивающих масс т /т достаточно мало, то непритягивающая точка, пришедшая из бесконечности в сферу притяжения меньшей звезды, обязательно выйдет из этой сферы. Вывод остается в силе, если вместо сферы притяжения брать сферу действия меньшей звезды. [c.260]

Периодические орбиты. Дифференциальные уравнения ограниченной плоской круговой задачи трех тел могут быть решены для любого данного конечного промежутка времени с любой требуемой точностью, если воспользоваться методами численного интегрирования. Однако получаемые таким образом результаты не позволяют судить о движении непритягивающего спутника вне этого промежутка времени. Исключение составляет тот случай, когда движение периодическое. [c.263]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Совершенно аналогично, обратное круговое движение является слабовозмущаемым при Го г и сильновозмущаемым при го > 0,120Я ш/М (неявно предполагается, что Го не очень велико совершенно очевидно, что при го >> Я круговое движение возмущается слабо — как и во внешнем варианте ограниченной задачи трех тел). [c.127]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Подробно рассмотрена устойчивость треугольных лагранжевых решений ограниченной задачи трех тел в наиболее важных для приложений в космодинамике случаях в плоской круговой задаче, в пространственной круговой, в плоской эллиптической и в пространственной эллиптической в плоской круговой задаче получены [c.124]

А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождаюгциеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на сугцествование симметричных семейств. Однако доказательства их сугцествования [7-9], использую-гцие только условие периодичности, были ошибочны [10-12. [c.133]

Рассмотрим сначала задачу связного движения в рамках соотношений (23)-(25), где знак неравенства (25) изменен на противоположный. Заметим, что подобная задача рассматривалась ранее в [21-22 в рамках ограниченной круговой задачи трех тел маятник Хилла представляет собой упрогценный вариант постановки проблемы. [c.237]

Ниже исследуется ограниченная круговая задача трех тел, когда третье малое тело предполагается сферически симметричным и деформируемым, его центр масс движется в плоскости круговых орбит двух первых тел, а враш,ение вокруг центра масс происходит вокруг нормали к плоскости движения центра масс. Суш,ественным обстоятельством, влияюш,им на эволюцию движения малой сферически симметричной деформируемой планеты является рассеяние энергии нри ее деформациях, что приводит к эволюции ее орбиты и угловой скорости враш,ения. Поскольку нреднолагается, что массы двух тел (для Солнечной системы это могут быть Солнце и Юпитер) относятся как один к /i, (/i <С 1), то эволюция движения деформируемой планеты разбивается на два этапа. На первом этапе быстрой эволюции орбита деформируемой планеты стремится к круговой с центром в массивном теле, а ее враш,ение совпадает с орбитальным (режим гравитационной стабилизации, резонанс 1 1). При этом планета оказывается деформированной (сплюснутой по полюсам и вытянутой вдоль радиуса, соединяюш,его планету с массивным телом) [1, 2]. На втором этане медленной эволюции учитывается влияние планеты с массой /i, что приводит к эволюции круговой орбиты деформируемой планеты. Согласно полученным ниже уравнениям, описываюш,им эволюцию круговой орбиты, ее радиус стремится к радиусу тела массы 1, т. е. он возрастает, если деформируемое тело находится внутри орбиты тела массы /i, или убывает в противном случае. На конечном этане медленной эволюции, когда орбиты деформируемой планеты и тела массы 1 становятся близкими, возможен захват деформируемой планеты пла- [c.385]

Сфера действия. При вычислении траектории космического аппарата (КА) необходимо учитывать силы, действующие на него со стороны Солнца и планет. Однако даже ограниченная круговая задача трех тел не имеет аналитического решения. Поэтому в астродинамике получило развитие множество приближенных методов расчета траекторий КА. Рассмотрим один из них, инользующий понятие сферы действия. [c.100]

Основной прием метода осреднения состоит в том, что правые части сложных систем дифференциальных уравненией, описывающих процесс колебаний или вращения, заменяются сглаженными , осредненными функциями, не содержащими явно время i и быстро изменяющихся параметров изучаемой системы. Этот метод издавна применялся в небесной механике, с ним связаны известные схемы осреднения Гаусса, Делоне — Хилла и др. В Лекциях Ю. А. Митропольского (1966) в качестве характерного примера применения осреднения в задачах небесной механики рассматривается ограниченная плоская круговая задача трех тел (см. также Н. Д. Моисеев, 1945). Эта задача приводит к уравнениям вида ( 2/- / (II [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...