Ляпунова функция полная

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

Функция F — — s -s удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения (она определенно-положительна и ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения тождественно равна нулю (см. 2.2)), что доказывает теорему. [c.183]

Для интересующего нас случая полными уравнениями возмущенных движений будут канонические уравнения движения с функцией Гамильтона Н = Т — U. Если в положении равновесия и = О, то Н, очевидно, представляет собой определенно положительную функцию 9s, Рв- Но при этом dH/dt = 0 следовательно, на основании теоремы Ляпунова положение равновесия, где U имеет изолированный максимум, будет устойчиво. Вопрос об обращении теоремы Лагранжа представляет собой важную и трудную зада гу. [c.237]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Следует, однако, заметить, что системы обладают термодинамическим потенциалом лишь в исключительных случаях. Неравенство (3) не содержит полного дифференциала функции и не позволяет в общем виде определить функцию Ляпунова. Прежде чем мы снова вернемся к этому вопросу, я хочу обратить ваше внимание на тот факт, что через 150 лет после того, как второй закон был сформулирован, он все еще представляет собой скорее программу, чем четко очерченную теорию в обычном смысле этого понятия. Действительно, единственное, что второй закон говорит точно о производстве энтропии, — знак этой величины. Не определена даже область справедливости неравенства. Это обстоятельство — одна из главных причин того, почему применение термодинамики, по существу, ограничено анализом равновесных процессов. [c.127]

Утверждение есть следствие теоремы Ляпунова [8, 9] с функцией V в виде полной энергии системы VI( , д, д) = Т(д, д) + П(i, д). [c.88]

V (ж) называется функцией Ляпунова, если в области D полная производная по времени вдоль траектории системы dV/dt < 0 [c.164]

Для этой системы существует положительно определенная на всей плоскости функция Ляпунова у х, у) = х / 1х )у , полная производная которой V = —4[ж /(1 + отрицательно определена во всей плоскости. Принципиальное значение этого примера состоит в том, что он показывает, что выполнение критерия асимптотической устойчивости Ляпунова во всем пространстве может не обеспечивать асимптотической устойчивости нулевого решения системы в целом, т. е. при любых начальных отклонениях. В связи с этим показать, что траектории системы не будут выходить из области, определенной неравенствами [c.285]

Модельная задача с силовой функцией U имеет [20] плоские и пространственные периодические решения вида (10.1.17) — (10.. 20), для нахождения которых используется теорема Ляпунова о голоморфном интеграле. Полная задача может иметь периодические решения только в том случае, если период обращения Сатурна вокруг Солнца и период периодического решения модельной задачи для спутника, зависящего от постоянной с, соизмеримы. [c.796]

Из (7.5) следует дП( )/дд1 = О, т. е. по теореме 3.1 = О — положение равновесия. Доказательство его устойчивости следует из теоремы 5.1, если в качестве функции Ляпунова V принять полную энергию V = Е = Т + П. Требование (5.1) теоремы 5.1 выполнено вследствии условий (7.1) и (7.5) [c.29]

В качестве функции Ляпунова можно взять полную механическую энергию. [c.287]

При исследовании устойчивости стохастических систем используется, в частности, метод функций Ляпунова. В этом случае важную роль играет введенный ранее оператор L, имеющий смысл полной производной по времени в силу динамических уравнений. Условия устойчивости по вероятности в смысле указанного выше определения сводятся к существованию положительно определенной функции V такой, что Z, F < 0. Ввиду известных трудностей применения этого метода, связанных с нахождением функции V, часто пользуются упрощениями в постановке задач. При этом можно рассматривать малые случайные возмущения, для которых малы вероятности больших флуктуаций. Условия устойчивости для задач такого рода являются более простыми и (при ограниченности первых двух моментов воздействий) сводятся к ограничению снизу спектра матрицы невозмущенной системы некоторой простой функцией этих моментов. Можно также рассматривать устойчивость по линейному приближению. Хотя полученные в та- [c.348]

Таким образом, существует область (е), в которой полная энергия системы — положительно-определенная функция координат, производная которой по времени тождественно равна нулю. Следовательно, рассматриваемое равновесное состояние устойчиво по Ляпунову. [c.399]

С помощью второго метода Ляпунова исследуйте устойчивость положения равновесия х=0 х = 0 системы (1.46) используя механическую аналогию, составьте функцию Ляпунова (выбрав в качестве таковой полную энергию соответствующей механической системы) затем с помощью теорем 1.4, 1.5 докажите асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия д = 0 X = 0. [c.45]

Возьмите в качестве функции Ляпунова полную энергию системы (1.55) [c.348]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Как указано в п. 4.1 для построения функции Ляпунова используются постоянство расхода, постоянство полного импульса П или уравнение количества движения и горизонтальность течения, при отсутствии на стенках канала внешних по отношению к жидкости тангенциальных сил. При этих условиях функция Ляпунова fifj является единственной функцией, удовлетворяющей заданным связям. Изменение функции и отражает убывание энергии за счет внутренних диссипативных сил в самой жидкости при переходе от сверхкритического состояния к любому состоянию, совместимому с заданными связями, в том числе и к конечному не только виртуальному, но и действительному подкритическому состоянию. [c.165]

Из работ по применению метода функций Ляпунова, быть может, наиболее близки к классической проблематике механики исследования по динамике твердого тела с неподвижной точкой. В этой проблеме в качестве функции Ляпунова можно использовать соответствующим образом преобразованное выражение для полной энергии тела (или системы тел), если поле действующих сил консервативно. Именно таким образом Б. В. Булгаков прйменил второй метод Ляпунова при исследовании устойчивости движения оси фигуры гироскопа вокруг оси его момента движения, пренебрегая массой карда- 135 нова подвеса. [c.135]

Движение спутника Р в ограниченной плоской круговой задаче трех тел называют периодическим, если его координаты X t), у f) во вращающейся системе отсчета являются периодическими функциями времени, то есть существует такая константа А, > О, что х t К) = х t) г/ (/ Н- Я) = i/ t) при любом t. Если движение точки Р является периодическим и мы знаем его в течение только одного периода, то тем самым мы знаем движение для любого промежутка времени. В течение последних 70 лет появилось значительное число исследований, посвященных периодическим орбитам ограниченной задачи трех тел. Так, например, группа датских астрономов (Т. Тйле, Э. Стрем-грен и другие) дали полную классификацию периодических решений для так называемой Копенгагенской задачи, то есть для ограниченной плоской круговой задачи трех тел при условии, что массы притягивающих центров Ai и А2 равны (т = /Пз). Аналогичное исследование при = 1 10 выполнил английский астроном Дж. Дарвин в последние годы XIX столетия. Фундаментальные результаты и методы в исследовании периодических орбит принадлежат русскому математику А. М. Ляпунову (1857 — 1918) и французскому математику А. Пуанкаре (1856—1912), [c.263]

Для систем дифференциальных уравнений общего вида такая нейтральная устойчивость может быть разрушена сколь угодно малыми нелинейными добавками. Для систем Гамильтона дело обстоит сложнее. Предположим, например, что квадратичная часть функции Гамильтона в положении равновесия (которая и определяет линейную часть векторного поля) знакоопределена. Тогда функция Гамильтона имеет максимум или минимум в положении равновесия. Следовательно, это положение равновесия устойчиво (по Ляпунову, но не асимптотически) не только для линеаризованной системы, но и для полной нелинейной системы. [c.351]

Первая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная функция V[х, () такая, что ее полная производная У х, () по I в силу системы (10.3.16) является знакопостоянно отрицательной, то ее тривиальное решение х — 0 устойчиво в смысле Ляпунова при / + оо. [c.835]

Вторая теорема. Если существует в К знакоопределенно положительная функция У[х, ), допускающая бесконечно малый высший предел при х->0 и такая, что ее полная производная У х,1) по 1 в силу системы (10.3,16) является знакоопределенно отрицательной, то ее тривиальное решение х = О асимптотически устойчиво в смысле Ляпунова при I -> оо. [c.835]

Ограничимся случаем потока. Будем рассматривать функции, которые убывают на одних траекториях, постоянны на других и переводя еьвокупность йосл д их в нигде не плотное подмножество Я. Оказывается, что любая такая функция по- стоянна на компонентах связности (тем более, на входящих в траекториях) и что среди таких функций имеется функция которая принимает различные значения на различных компонентах и убывает на каждой траектории, не лежащей в Эта f дает максимум того, чего можно достичь при помощи. функций рассматриваемого типа, отчего в [46] она названа полной функцией Ляпунова. Нетрудно убедиться, чтоутвержде- [c.210]

Следовательно, если диссипация неполная— функция Ф знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет асимптотической. [c.468]

Что же касается условий существования и единственности траекторий системы, то дополнительно отметим весьма полную теорему существования, изложенную в уже упоминавшейся работе Немыцкого и Степанова [19], а также теорему Лефшеца [21,22] и теоремы [23], определяющие достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши с фазовыми ограничениями. Отметим, кроме того, работу [24], в которой обсуждаются достаточные и необходимые условия асимптотической устойчивости нелинейных динамических систем при рассмотрении необходимых условий вводятся функции, отличные от функций Ляпунова. [c.27]

Замечание. Очевидно, что с помощью функций Ляпунова далеко не всегда вьщеляется полная область притяжения исследуемого состояния равновесия. Как правило, удается получить только часть ее - больщую или меньщую в зависимости от того, насколько удачно выбрана функция Ляпунова. [c.35]

Смотреть страницы где упоминается термин Ляпунова функция полная : [c.75] [c.6] [c.474] [c.73] [c.234] [c.270] [c.276] [c.278] [c.371] [c.187] [c.223] [c.537] [c.120] [c.134] [c.12] [c.46] [c.47] [c.131] [c.112] [c.438] [c.398] [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...