Стокса линейной упругости

Уравнения (1.4) и (1.6) обычно называют уравнениями движения Ламе. Они многократно выводились и использовались в работах по линейной теории упругости Навье (1821), Коши (1828, 1840), Пуассона (1829), Ламе и Клапейрона (1833), Стокса (1845, 1851), Ламе (1852). Приведенные ниже иные формы записи уравнений (1.6) и частные свойства их решений также установлены в отмеченных работах. Глубокий обзор исследований, выполненных на раннем этапе развития теории упругости, приведен в работе [186]. [c.17]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Видное место в истории механики сплошной среды занимает Дж. Г. Стокс, давший в 1845 г. вывод уравнений теории упругости, опирающийся на строго континуальный подход (Эйлера — Коши) и естественную гипотезу о линейной зависимости компонент напряжения от компонент деформации. В результате для изотропного тела он получил две упругие постоянные и привел ряд веских соображений в пользу того, что они не могут быть сведены к од- [c.52]

На основании этой линейной зависимости Дж. Стокс установил еще одно положение, нашедшее широкое применение при решении задач сопротивления материалов и теории упругости. Если между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость, то при возрастании напряжений в несколько раз деформации возрастут во столько же раз. Если деформация является результатом действия на упругое тело нескольких систем внешних сил, то ее можно получить, суммируя деформации, вызываемые отдельными системами сил. При этом, конечно, предполагается, что перемещения точек тела настолько малы, что деформации, вызываемые одной системой сил, не вносят изменений в действие другой системы и что при изучении напряженного состояния можно произвольно брать или то расположение точек тела, которое соответствует его естественному состоянию, или то, которое наступает после деформации. Это положение в дальнейшем будем называть принципом сложения действия сил [c.40]

Массовые силы следует рассматривать как заданные внешние силы поверхностные же силы зависят от скорости, с которой жидкость деформируется в рассматриваемом поле скоростей. Совокупность сил определяет напряженное состояние тела. Для дальнейшего нам необходимо знать связь между напряженным состоянием и скоростью деформации тела. Эта связь может быть установлена всегда только эмпирически. Мы ограничимся рассмотрением только изотропной ньютоновской жидкости, для которой можно принять, что указанная связь линейная. Все газы, а также многие жидкости рассматриваемые в теории пограничного слоя (в частности — вода), принадлежат к этому классу. Жидкость называется изотропной, если связь между составляющими напряженного состояния и составляющими скорости деформации одинакова во всех Направлениях. Жидкость называют ньютоновской, если для нее указанная связь линейна и жидкость подчиняется закону трения Стокса. В случае изотропного упругого твердого тела эксперимент показывает, что напряженное состояние зависит от величины самой деформации. Большая часть инженерных материалов подчиняется линейному закону Гука, который в известной мере аналогичен закону трения Стокса. А именно, в то время как связь между напряженным и деформированным состояниями в изотропном упругом теле содержит в себе две постоянные, характеризующие свойства рассматриваемого материала (например, модуль упругости и коэффициент Пуассона), связь между напряженным состоянием и скоростью деформации в изотропной ньютоновской жидкости содержит только одну-единственную постоянную (коэффициент вязкости р.), правда, до тех только пор, пока внутри жидкости не возникают явления релаксации, о чем будет сказано в 5 настоящей главы, [c.56]

Теория, основанная на уравнении (12), называется теорией Навье — Стокса-, при различных предположениях уравнение (12) или основные его частные случаи были выведены Навье, Коши, Сен-Венаном и Стоксом. Коэффициенты Я, и р, называются вязкостями жидкости. При жестком движении жидкости теория Навье—-Стокса сводится к гидродинамике Эйлера, так что для определяемой этой.теорией жидкости имеет место явление течения в указанном выше смысле а именно, в состоянии покоя такая жидкость способна выдерживать только гидростатические напряжения. При Я, = ц = О линейно-вязкая жидкость превращается в упругую, и по этой причине упругие жидкости иногда называют невязкими или совершенными . [c.160]

Конечно, норма А тензора А, например тензора напряжений или градиента деформаций, определяется, как обычно, формулой I А 1= АА , и два тензора А и В близки друг к другу, если норма А- В мала. Однако предыстории представляют собой функции, заданные на О, с ), и топология линейного пространства таких функций / может быть задана введением некоторой нормы или полунормы ) . Различные выборы нормы или полунормы приводят к различным интерпретациям общей аксиомы. Например, если мы рассматриваем упругий материал и считаем его реакцию функцией от Р—1, то при выборе Р — 1 = 1 Р(/)—11 эта аксиома тривиально удовлетворяется для каждого упругого материала, реакция которого представляет собой функцию, непрерывную при Р=1. Однако выбор такой полунормы не был бы полезен в теориях материалов с памятью, поскольку он никак не учитывает значений Р (5) при 5 > 0. Аналогично жидкость Навье —Стокса удовлетворяет нашей аксиоме при выборе Р — 1 Ц = Р( ) — [c.377]

Необходимо отметить, что нахождение среднего, как среднеарифметической величины по (1.14), характерно для процессов, параметры которых меняются по линейному закону, чему в полной мере соответствует уравнение (1.15), так как оно используется в линейной теории упругости. Для нелинейных процессов (и уравнений), к которым можно отнести, например, термодинамические процессы или процессы конвективного теплообмена, средние величины находятся также по нелинейным уравнениям, например, в виде среднегеометрической или среднелогарифмической величины [13, 1б, 25]. В то же время при малых изменениях осредняемых величин расчет среднего по нелинейным уравнениям практически совпадает со среднеарифметической величиной. Таким образом, использование в выводе нелинейной системы уравнении (Навье-Стокса) формулы (1.14) фактически равноценно требованию малых отличий компонентов давления, ру ир между собой и средним давлением р. [c.32]

В главе 6 на конкретных примерах показаны возможные пути обобщения результатов для нелинейных уравнений и систем. Два первых параграфа посвящены изложению общих результатов по сходимости метода конечных элементов для нелинейных задач с операторами монотонного типа и решению двух типичных нелинейных задач, распространенных в приложениях, с помощью многосеточных итерационных алгоритмов. Решение плоской задачи упругости демонстрирует возможность обобщения построенных алгоритмов и их обоснования для эллиптических систем зфавнений. Среди многих известных методов дискретизации бигармонического уравнения рассмотрена смешанная формулировка метода конечных элементов, приводящая к системе двух уравнений Пуассона с зацепленными краевыми условиями. В итоге обобщенная формулировка содержит только первые производные и отпадает необходимость использования сложных базисных функций из класса С (И ). Смешанная формулировка использована также для дискретизации стационарных задач Стокса и Навье — Стокса. Здесь применялись комбинации простых конечных элементов — линейные для скоростей и постоянные для давления. [c.12]

Одно из самых существенных соображений, говорящих в пользу закона Гука и распространяющих этот закон на те случаи, когда части деформируемого тела находятся в движении, было высказано Джорджем Габриелем Стоксом. Он показал, что свойство упругих тел совершать изохронные колебания есть следствие того, что напряжения, возникающие в теле при малых деформациях, являются линейными функциями этих деформаций. [c.40]

Каменный (долазерный) век. Первый двухфотонный эффект — релеевское рассеяние солнечного света в воздухе люди наблюдали миллионы лет назад в виде голубого цвета неба. Заметим, однако, что упругое релеевское рассеяние света является линейным эффектом. Другой давно известный оптический эффект — фотолюминесценцию — в простейших случаях можно объяснить каскадным трехфотонным процессом Юд —соа -Ь <1)1 (обычно энергия Й(й2 теряется безызлучательно и идет на нагрев вещества). Хотя история излучения фотолюминесценции началась много веков назад, закон Стокса (ох < й>з) получил объяснение лишь после появления квантовой теории и понятий фотона и энергетических уровней. [c.37]

Теория звуковых волн ) приводит к предположению, что, когда тело соверииет малые колебания, то эти движeниrf столь быстры, что ни в одной части тела не происходит сколько-нибудь заметного поглощения или отдачи тепла. В этом случае также существует упругий потенциал и если мы предположим, что закон Гука имеет место, то эта функция представляет собой однородный многочлен второго порядка относительно компонентов деформации. Если из уравнений движения (15) 54 исключить компоненты напряжения, то эти уравнения обращаются в линейные относительно проекций смещения. Благодаря линейности этих уравнений и той фбрме, в которой в них входит время, они допускают решения, которые представляют изохронные колебания. Способность всех твердых тел совершать малые изохронные колебания была отмечена Стоксом ) в качестве бесспорного доказательства истинности закона Гука для малых деформаций, которые здесь имеют место. [c.109]

При медленных движениях. А именно, определяющее уравнение любого заданного простого материала с затухающей памятью Колемана —Нолла порядка п аппроксимируется определяющим уравнением некоторого материала дифференциального типа сложности п. В частности, при п = О получается упругий материал, при п= 1— линейно-вязкий материал. Для изотропных материалов соответствующим частным случаем является материал Ривлина — Эриксена сложности п. Таким образом, например, определяющие соотношения Эйлера и Навье — Стокса представляют собой общи соответственно первое и второе приближения определяющих уравнений для всех жидкостей при достаточно замедленном движении. [c.396]

Стремление иметь хорошее физическое объяснение затухания сейсмических волн породило массу работ с гипотетическими механизмами поглощения. В 1848 г. Стокс предположил, что сжатие поглощающего материала является чисто упругим, в то время как сдвиг сопровождается вязкостью, схожей с вязкостью жидкости. Это предположение ведет к квадратичной зависимости коэффициента поглощения от частоты а низкочастотном диапазоне. Однако многие измерения указывали на линейную зависимость коэф-. фициента поглощения от частоты. Многие исследователи связывали поглощение с сухим трением, которое, например, может сопровождать скольжение в области контактов между зернами, но при этом достигали весьма ограниченного успеха. Было -предложено понятие внутреннего трения для характеристики свойства твердого тела, которое выражается в том, что диаграмма напряжение — деформация содержит гистерезис. Из этой модели следует линейная зависимость Поглощения от частоты. Было показано, что движение дислокаций в несовершенных полнкристаллических породах может вызывать внутреннее трение, согласующееся с экспериментом. Некоторые авторы показали, что измеряемое поглощение можно объяснить также термоупругостью и при соответствующем подборе неоднородности в среде добиться удовлетворительного согласования с экспериментальными данными о зависимости поглощения от частоты, [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...