Перманентная устойчивость

На первое место в этом отношении, как теоретически наиболее важную, нужно поставить перманентную устойчивость , при которой малые отклонения от состояния равновесия или периодического движения остаются малыми все время. Таков тип устойчивости обычного равновесия, когда потенциальная энергия имеет минимум. Уравнения динамики принадлежат к такому типу, для которого эта устойчивость может существовать, хотя, вообще говоря, вопрос о том, имеется она или нет в каком-нибудь данном случае, принадлежит к числу чрезвычайно трудных вопросов и составляет так называемую проблему устойчивости . До сих пор эта проблема разрешена только для тех случаев, когда какой-нибудь известный сходящийся интеграл гарантирует существование подобной устойчивости перманентного типа. [c.130]

Наконец, Ляпуновым и другими был рассмотрен еще один вид устойчивости — односторонняя устойчивость , при которой малые отклонения остаются малыми при i > О и, вообще говоря, стремятся к нулю с безграничным увеличением i Легко показать, что если все тп множителей имеют отрицательные вещественные части, то мы будем иметь этот вид устойчивости. С другой стороны, для этой устойчивости необходимо, чтобы ни один из множителей не имел положительной вещественной части. В случае уравнений динамики, однако, вещественные части всех множителей не могут быть одновременно отрицательными, потому что каждому множителю A соответствует множитель —Aj. Таким образом, односторонняя устойчивость для уравнений динамики возможна только в том случае, когда все множители будут чисто мнимые числа. В этом же случае из односторонней устойчивости какой-нибудь системы следует перманентная устойчивость. [c.131]

Вопрос об устойчивости перманентных вращений будет рассмотрен в гл. VI, [c.200]

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей т], соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой — средний по величине) неустойчиво. [c.235]

Мы предполагаем здесь исследовать на основе критериев, установленных в 4 гл. IV, устойчивость или неустойчивость перманентных вращений, которые, как мы видели в предыдущем параграфе, возможны для всякого твердого тела, закрепленного в одной из своих точек О, относительно которой результирующий момент внешних активных сил постоянно равен нулю заметим также, что все, что мы скажем в этом случае, можно будет непосредственно повторить и в применении к перманентным вращениям относительно осей, проходящих через центр тяжести свободного твердого тела, находящегося под действием внешних сил, результирующий момент которых относительно центра тяжести постоянно равен нулю. [c.94]

Покажем теперь, что вращения Oj, а , т. е. перманентные вращения вокруг наибольшей оси х и наименьшей оси z эллипсоида инерции, будут устойчивыми, а перманентные вращения вокруг средней оси у, т е. вращения Од, будут неустойчивыми. [c.94]

Устойчивые перманентные вращения. Мы будем исходить в нашем исследовании из интеграла моментов количеств движения и интеграла живых сил [c.95]

Аналогично доказывается и устойчивость любого решения <3д, т. е. устойчивость всякого перманентного вращения вокруг наименьшей оси эллипсоида инерции (фиг. 15). [c.96]

Легко убедиться, что предположение об устойчивости решения Og приводит к противоречию. В самом деле, предположим, что в некотором решении а, вначале близком к решению ад, величина q даже при беспредельном возрастании времени остается близкой K.q — угловой скорости этого перманентного вращения. В этом предположении q сохраняет сколь угодно долго знак q, что же касается абсолютной величины q, то ее всегда можно считать большей q /2. Тогда, имея из уравнений (5 ) [c.96]

Случай тела с гироскопической структурой. Предыдущие результаты получены в предположении, что три главных момента инерции относительно точки О неравны между собой поэтому нужно отдельно рассмотреть случай, когда некоторые из моментов инерции совпадают. Однако бесполезно останавливаться на предположении Л = В = С (эллипсоид инерции, сводящийся к шару), при котором, как мы знаем, все возможные движения твердого тела сводятся к перманентным вращениям, так что устойчивость каждого из них очевидна. [c.97]

Остается, следовательно, гироскопический случай, характеризуемый равенством А = В (С может быть, безразлично, больше или меньше общего значения величин А и В). В этом предположении возможны, как мы видели, перманентные вращения (с постоянной произвольной угловой скоростью) вокруг бесконечного множества осей гироскопической оси г и всех экваториальных осей. Мы покажем здесь, что устойчивыми будут перманентные вращения вокруг гироскопической оси, и неустойчивыми — все остальные. [c.97]

Обращаясь теперь к любому перманентному вращению а г = г, p = q = Q) вокруг гироскопической оси, мы увидим, что для любой регулярной прецессии а, вначале близкой к а, т. е. такой, что и близки к нулю, изображающая точка для р, q движется сколь угодно долго по окружности с весьма малым радиусом (21"), а потому ряд остаются всегда близкими к нулю, и устойчивость вращения а, таким образом, доказана. [c.98]

В этом именно смысле мы и будем рассматривать сначала устойчивость перманентных вращений гироскопа вокруг гироскопической оси (расположенной вертикально), а затем устойчивость других перманентных вращений и регулярных прецессий. [c.140]

Переходя к явлениям движения, мы видим прежде всего, что устойчивость перманентных вращений (с произвольной угловой скоростью) вокруг гироскопической оси, направленной вниз (s=l, [c.141]

Указанные только что перманентные вращения обладают одним замечательным свойством в то время как для угловых скоростей, недостаточно больших (т. е. для значений X, меньших некоторого критического значения X ), эти движения неустойчивы, они становятся устойчивыми по отношению к р, q, г, S-, как только угловая скорость достигнет критического значения X, и в особенности, когда она превзойдет это значение (т. е. при Х >Х ). В этом и заключается явление, известное под названием гироскопической стабилизации. Заметим теперь же, что особенно отчетливо оно осуществляется в движении волчка. Волчок, опирающийся на пол концом оси, направленной вертикально вверх, неустойчив в состоянии покоя и остается неустойчивым, если ему сообщить небольшую угловую скорость около оси симметрии. Достаточно, однако, сообщить волчку значительную угловую скорость, для того чтобы он, несмотря на неизбежные возмущения, происходящие, например, от колебаний воздуха и пола, держался долгое время прямо при этом всякому, кто смотрит на него издали, он будет казаться неподвижным (спящий волчок). [c.141]

Итак, мы видим, что для рассматриваемых здесь перманентных вращений приведенная устойчивость по отношению к величинам S, р, q (и г) не отличается от устойчивости, приведенной к одной величине s. [c.142]

В этом случае, предполагая, как обычно, что Х , h , достаточно малы по абсолютной величине, найдем, что число s, близкое к S, будет также лежать вне интервала (—1, +1), а два других нуля будут необходимо очень близки к —1. Таким же, следовательно, будет и наибольший из них, который мы обозначим через Так как при S > 2 имеем / (s) < О, то мы можем быть уверены, что во всяком действительном решении о (будет ли s действительно изменяться вместе с t или оставаться постоянным) число s не превзойдет уже и останется, следовательно, сколь угодно близким к —1. Поэтому заключаем, что всякое перманентное вращение о, угловая скорость которого удовлетворяет неравенству (79), будет устойчивым. [c.143]

Предыдущие результаты в сочетании с методом инерциальной кривой позволили решить задачу об исследовании и распределении инерционных сил в машинных агрегатах между перманентным и начальным движениями в смысле Н. Е. Жуковского [7]. Доказано, что предельным законом этого распределения служит характеристический критерий первого рода [8 ] асимптотически устойчивого предельного режима движения машинного агрегата. Исследованы законы распределения инерционных сил в наиболее важных для практики режимах движения и предложены достаточно эффективные методы их нахождения с любой степенью точности. Полученные результаты позволяют усовершенствовать динамические расчеты машинных агрегатов путем учета не только инерционных сил перманентного движения, но и сил, вызванных неравномерностью их движения в любом положении главного вала. [c.9]

В связи с выявлением ненормальностей надо еще сказать, что все четыре их разновидности являются нарушениями таких закономерностей (устойчивостей, перманентностей), которые выражаются в постоянстве параметров тех или иных распределений вероятностей. Такие закономерности в дальнейшем именуются статистическими. К этому вопросу придется вернуться, когда будут рассматриваться вероятностные схемы оптимизации комплексной системы решений, обеспечивающей качество продукции. Но прежде всего надо сказать несколько слов о последней из трех функций, составляющих этот комплекс,— о приемочном контроле качества продукции. [c.35]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Для определения характера экстремума W при = нужно вычислить вторую производную Wi анализ которой показывает, что функция W не имеет минимума лишь при o i = 0, u = v, и <4АР и, следовательно, лишь это стационарное движение неустойчиво. Все остальные стационарные движения, и прецессии и перманентные вращения, устойчивы. [c.67]

Заметим, что возникновение асимптотической устойчивости по части переменных характерно и для твердых тел с полостями, содержащими сильно вязкую жидкость [Румянцев, 1967]. Кроме того, асимптотическая устойчивость по части переменных при отсутствии активных внешних диссипативных сил является существенной особенностью задачи устойчивости перманентных вращений твердого тела на абсолютно шероховатой плоскости [Карапетян, 1981 Марке-ев, 1992] см. раздел 1.1.4. [c.22]

В частности, показано [Карапетян, 1981], что в задаче устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали кельтских камней, движущихся на абсолютно шероховатой поверхности, возникает интересное явление частичной асимптотической устойчивости несмотря на отсутствие активных диссипативных сил имеет место не только устойчивость по Ляпунову, но и асимптотическая устойчивость по части переменных. Асимптотически устойчивые переменные являются основными для данной задачи и характеризуют отклонение оси вращения тела от вертикали. Подобного явления не возникает при движении на абсолютно гладкой поверхности. [c.27]

Если движение тела началось так, что вертикальная линия проходит через слившиеся точки Н3 и Н , то она в течение всего времени движения будет сохранять в теле неизменное место и, следовательно, явится перманентной осью вращения. Это вращение будет устойчивым по отношению к весьма малому изменению постоянных i я к, так как всякое изменение обращает рассматриваемую нами отдельную точку сферической кривой в некоторый весьма малый замкнутый контур. Что касается случая, в котором вертикальная линия проходит в начальный момент через слившиеся точки Н2 VI Нз, то он соответствует тоже вращению около перманентной оси (что будет выяснено ниже) только это вращение неустойчиво, так как малое изменение г и Л заставляет сферическую кривую разложиться на две конечные ветви, и вертикальная линия начинает свое движение в теле по той или другой полости конуса, соответствующего этим ветвям. [c.109]

Если 7з = +1, то центр масс шара занимает наинизшее положение. Соответствующие перманентные вращения будут устойчивы (неустойчивы) при выполнении условия [c.439]

Очевидно, что данное неравенство выполнено при любом значении i константы интеграла (26). Таким образом, перманентные вращения шара с наинизшим расположением центра масс всегда устойчивы. [c.439]

Неравенство (35) представляет собой условие устойчивости перманентных вращений шара с наивысшим расположением центра масс. [c.439]

Прямая, полученная в этом сечении, соответствует перманентным вращениям шара вокруг оси динамической симметрии при наивысшем расположении центра масс. Видно, как от этой прямой ответвляются устойчивые регулярные прецессии шара. [c.441]

Таким образом, согласно критерию Гурвица, перманентные вращения (72) с о О устойчивы при выполнении условий [26, 30, 31 [c.452]

Таким образом, при критическом значении угловой скорости (см. (79)) происходит строгая потеря устойчивости враш,ения (72). Согласно теореме Хопфа [32], это означает, что при значениях полной энергии, близких к критическому, от устойчивых перманентных враш,ений кельтского камня ответвляются периодические движения с частотой, близкой к критическому значению о угловой скорости. [c.454]

Устойчивость перманентных вращений около главных осей эллипсоида инерции, [c.453]

Устойчивость перманентного вращения около оси Ог дока-зывается аналогичным приемом. Полученные теоретически результаты об устойчивости перманентных вращений около главных осей Ох и Ог и неустойчивости около оси Оу легко проверить экспериментально . [c.456]

Таким образом, для задач динамики важными типами устойчивости будут полная или тригонометрическая устойчивость и упомянутая уже перманентная устойчивость. Мы вернемся позже (глава VIII) к важной проблеме о взаимоотношениях этих двух типов устойчивости. [c.131]

Перманентная устойчивость 130 Полная устойчивость 114, 115, 124 Полуасимптотические движения 246 [c.406]

Пример. В качестве примера решения задачи об устойчивости движения путем надлежащего выбора функции Ляпунова V рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравргения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так [c.234]

Легко видеть, что эта функция непрерывна, обращается в нуль в начале координат и положительна в остальных точках вблизи него. Следовательно, функция V удовлетворяет условиям, при которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dVidt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция V и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1 устойчиво. [c.235]

Имея в виду исследование устойчивости, которым мы будем заниматься в ближайшем параграфе ( 7), возьмем снова уравнение (48), чтобы посмотреть, каким условиям должны удовлетворять постоянные интегрирования X, h, k, для того чтобы движение гироскопа сводилось к перманентному вращению BOKpvr гироскопической оси, расположенной вертикально. [c.132]

Для сплавов железо — углерод — кремний температура, при которой сохраняется твердо-жидкое состояние, на сотни градусов выше температуры ликвидуса [16]. Особенно это характерно для сплавов эвтектического типа, что свидетельствует об устойчивости квазиэвтектической структуры в жидком состоянии. Исключительно устойчивы в расплавах чугуна отдельные образования типа химических соединений, причем особенно устойчивым является, по-видимому, моносилицид железа. Обнаружено изменение структуры ближнего порядка жидкого железа при перегреве, причем имеется в виду не фазовое превращение, а изменение упаковки перманентно существующих группировок сплава, т. е. сохранившейся наследственной структуры. В этом случае изменяются направленность и силы межчастичного взаимодействия, что коренным образом разрушает наследственную структуру и способствует дальнейшему преобразованию сплава при его кристаллизации. Температура, при которой изменяется структура ближнего порядка для сплавов железо — углерод с концентрацией углерода больше 2%, равна приблизительно 1520 С. [c.128]

Устойчивость, таким образом, будет обеспечена, когда V — Т в относительном положении равновесия есть минимум. Это условие, однако, не необходимо, и устойчивость может иметь место и тогда (с рассматриваемой точки зрения), когда V—Т есть максимум, как это мы покажем для частного случая двух степеней свободы. Необходимо, однако, заметить, что если система подвержена каким-нибудь, хотя бы незначительным силам трения, которые влияют на координаты i,. .., i , то равновесие только тогда перманентно или. вековым образом устойчиво, когда V —То есть минимум. Для таких сил характерно, что их работа, произведенная над системой, всегда является отрицательной. А в таком случае, согласно уравнению (6), выражение -f (V —Tj) в алгебраическом смысле будет непрерывно уменьшаться, пока имеет место какое-нибудь относительное движение. Следовательно, если система перешла из относительного положения равновесия в такую конфигурацию, при которой V —Т будет отри цательным, то вышенаписанное выражение, а тем самым и его часть V — To будут принимать непрерывно возрастающие отрицательные значения, что может случиться только тогда, когда система все более и более удаляется от своего положения равновесия. [c.389]

Отметим еще, что можно найти оси перманентных вращений тела и исследовать их устойчивость. Это сделано Г. К. Пожарицким в работе [62 [c.386]

П о ж а р и ц к и й Г. К., Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в ньютоновском центральном поле сил. Прикладная математика и механика, 1959, т. ХХП1, вып. 4, 722—793. [c.414]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...