Островки устойчивости

На плоскости < , (р (энергия, фаза) среди обширных областей неустойчивого движения выделяются ограниченные сепаратрисами островки устойчивости, расположенные вокруг равновесных значений и ф, этих величин (индекс s указывает на равновесные — синхронные — значения энергии, импульса, скорости и фазы). Энергия и импульс частиц при ускорении возрастают поэтому и р являются ф-циями времени. Равновесная фаза в зависимости от режима ускорения может либо изменяться, либо оставаться неизменной. Подобные области устойчивости образуются на плоскостях р, ф и г, ф. [c.533]

Пусть, например, Д — характерный размер по переменной р островка устойчивости на фазовой плоскости. Тогда масштаб локализации й (р, 0), необходимый для качественно правильного списания движения, должен быть не меньше Д. Поэтому величина д/др — по меньшей мере порядка 1/А, если внутри области А нет более тонкой структуры зависимости движения от координат. За время i 1 оператор квантового вклада определяется суперпозицией операторов (10.16). Полагая, что показатели экспонент в каждом таком операторе можно рассматривать как независимые случайные величины, имеющие одинаковый порядок по абсолютному значению, и разлагая все экспоненты в ряд, получаем для отклонения результирующего преобразования от единичного оператора следующее выражение [c.392]

В заключение этого параграфа полезно отметить особую роль теории KAM в вопросах, связанных с обоснованием статистической физики. Действительно, статистическое описание исключается в устойчивом случае, и поэтому при конечных N всегда существует конечная (хотя и малая при больших N) область фазового пространства, внутри которой движение системы заведомо не стохастическое (островки устойчивости). [c.26]

Рис. 4.1. Островки устойчивости в стохастической море.

В области островков устойчивости существуют также некоторые неустойчивые решения при определенных значениях К (см. [70]). Пусть, например, в отображениях (1.8) [c.78]

Сразу же возникает вопрос действительно ли существует некоторая граница, отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости Из общих соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос вырождается в следующий не могут ли малые островки устойчивости сильно повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и ликвидировать стохастичность Строгой теории преобразования (1.9) не существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что островки устойчивости имеют конечную ме- [c.78]

С ним связано лишь изменение переходной области и числа и структуры островков устойчивости. Поэтому для общего представления достаточно ограничиться изучением преобразования (1.9), которое вытекает из (1.8) при не слишком больших ос. Будем также предполагать а < 1. Тогда критерий стохастичности [c.79]

Все, что говорилось выше, было основано на анализе в первом порядке по возмущению. В следующем порядке, очевидно,, внутри каждого островка устойчивости возникнут новые сепаратрисы, порожденные нелинейными резонансами следующего порядка по возмущению. Эти сепаратрисы снова оденутся стохастическими слоями, сохранив внутри островки устойчивости более высокого порядка малости, и т. д. [c.95]

Численный анализ движения, определяемого этим гамильтонианом, был проведен с помощью отображений Пуанкаре следующим образом. На плоскости (у, у) при х = 0 отмечались точки траектории при определенном значении энергии Н = Е. При достаточно малых Е эти точки группировались в семейство замкнутых кривых (ряс. 5.4, а), что соответствует существованию дополнительного (к энергии) интеграла движения. При >1/12 часть замкнутых кривых начинает распадаться. На рис. 5.4, б приведены отображения траекторий при = 0,125. Часть траекторий становится стохастической, а область островков устойчивости еще достаточно велика. С дальнейшем увеличением Е [c.96]

Отсюда видно, что имеет место растяжение фаз О всюду, кроме малых областей 1/Х в фазовом пространстве вблизи значений О = я/4, Зя/4. Таким образом, в фазовом пространстве волн при условии (2.26) развивается стохастическая неустойчивость. Из области стохастичности выпадают островки устойчивости, определяемые условием [c.133]

Опрокидывание волн 144 Ослабления корреляций принцип 107 Островки устойчивости 78, 95 Отображение на торе 54 [c.270]

Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой, заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что изображены в случае а. В этой области существуют также и регулярные траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие неподвижные точки (см. 3.3), либо обходятся стохастической траекторией, либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае е показан стохастический слой вблизи островков случая в, заполненный одной стохастической траекторией. [c.62]

Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы (0,1) или (0,2я) на 100 ячеек, а интервал скорости (О, акс) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с М = 10 после 163 840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности Р и), проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при [c.224]

К 0,9716 ( 4.4). С ростом К первичные точки периода 2, а затем и периода 1 становятся неустойчивыми, однако, как видно из рисунка, островки устойчивости существуют и при больших К-Таким образом, стандартное отображение, в котором для любого ненулевого значения К нет ни полной интегрируемости, ни сплошного хаоса, является характерным представителем типичной гамильтоновой системы. [c.255]

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294]

Рассмотрим эволюцию функции распределения Р и, п), ограничившись, естественно, областью сплошной стохастичности (без островков устойчивости). Примером может служить область и s (см. п. 3.4а и 6, рис. 1.14, 3.12 и 3.13) для упрощенной модели Улама [c.318]

Для u >us существуют островки устойчивости, движение в которых не описывается уравнением (5.4.5). Для стохастической же компоненты, окружающей островки, простое усреднение по г)) уже неприменимо, поскольку при данном и допустимы не все значения фазы. [c.321]

Интерпретация этих результатов затруднительна, поскольку сингулярность взаимодействия при пересечении листов нарушает условие гладкости теоремы KAM (п. 3.2а). Как мы знаем на примере сингулярного отображения Улама (3.4.4), это приводит к глобальной стохастичности, а регулярные траектории сохраняются только в островках устойчивости внутри резонансов. Если доля этих островков уменьшается с ростом N, то можно ожидать быстрого возрастания числа стохастических траекторий, что согласуется с результатами [144]. [c.408]

При 6 = 0 отображение является гамильтоновым и приводит к обычной картине хаотического движения с островками устойчивости (рис. 1.14). [c.468]

Вывод универсального преобразоваввя. Почему универсальное преобразование является универсальным Критерий перемешивания. Островки устойчивости. Почему отсутствует строгая теория Время расцепления корреляций [c.74]

В простейших, точно решаемых моделях преобразования растяжения (см. 2.1) зависимость характера движения от параметра К была очень простой при К< движение устойчивое п при К> движение перемешивающееся. В реальных задачах, как уже отмечалось, столь простых ситуаций принципиально не бывает. Это связано с наличием островков устойчивости и некоторой переходной области конечной ширины по параметру К, В связи с этим вопрос о характере смены режимов движения, 1гли, как говорят, вопрос о бифуркациях решений, при изменении К, имеет определенный нетривиальный смысл. [c.83]

Резонансы и области стохастичности. Квант стохастичности в фазовои пространстве. Происхождение островков устойчивости. Разрушение интегралов движения. Замечание о теореме Пуанкаре. Два примера движение частицы в поле двух плоских волн и в поле волнового пакета [c.94]

Все множество гомоклинических точек назовем гомоклинической структурой . Различные системы имеют топологически эквивалентные гомоклинические структуры , если совпадают их системы гиперболических точек. В этом случае можно говорить, что законы стохастического поведения фазовых траекторий также эквивалентны, или, иначе, такие системы изоморфны. При перекрытии большого числа резонансов возникает гомоклиииче-ская структура , порожденная очень большим числом гиперболических точек, и можно ожидать, что точное знание числа гиперболических точек несущественно, если это число велико. Отсюда мы приходим к выводу, что все гамильтоновы системы с одинаковой размерностью и с большим числом сильно перекрытых ( Г>1) резонансов являются изоморфными, если они имеют приблизительно равные значения К. Напомним, что при К> мера островков устойчивости, которые могли бы внести некоторое разнообразие в стохастическую динамику, очень мала ( 1/Ю. Поэтому остается сделать еще один шаг, заключающийся в утверждении, что все физические спстемы с одинаковым числом степеней свободы в той области фазового пространства, в которой 1 и реализуется тем самым быстрое перемешивание, являются изоморфными Г-спстемами (ком. 5). [c.101]

Соотношения (Д3.24) применимы всюду, за исключением островков устойчивости, т. е. областей, где 8т2ях меньше, чем 1/Яц. Из (Д3.24) видно, что Я+ определяет коэффициент растяжения в одном направлении, а — коэффициент сжатия в другом направлении. [c.257]

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией KAM. [c.220]

Внутри самого нижиего островка устойчивости произошла бифуркация неподвижной точки (см. рис. 3.18). [c.232]

Как мы видели в 4.1, в стандартном отображении островки устойчивости существуют при сколь угодно больших К- С увеличением К эти островки уменьшаются, но поскольку они могут существовать вокруг периодических точек произвольно большого периода, то возникает вопрос, не занимают ли они значительную часть фазовой плоскости, что привело бы к неправильному значению КС-энтропии (5.3.8) даже для больших К- Чириков исследовал этот вопрос двумя методами. В первом квадрат 2л X 2я разделялся на 100 X 100 ячеек и вычислялась доля ячеек, в которые попадала траектория с начальными условиями на стохастической колшоненте. Ясно, что такое огрубление может давать правильные результаты только для относительно малых значений К, когда [c.311]

В областях фазового пространства, где движение полностью или в основном стохастично (исключая небольшие изолированные островки устойчивости), его можно описывать с помощью функции распределения, зависящей только от переменных действия (или скоростей) ). Эта задача представляет большой практический ин- [c.317]

В закритической области вещество находится в однородном состоянии, и в нем отсутствует резкое разделение на отдельные фазы, что имеет место при пересечении пограничной кривой вдали от критической точки. Различие между жидкостью и паром в этой области носит лишь количественный характер, поскольку между ними можно осуществить непрерывный переход без выделения или поглощения скрытой теплоты изменения агрегатного состояния. Однако в указанных переходах непрерывный ряд микроскопических однородных состояний содержит области максимальной микроскопической неоднородности флуктуац ионного характера. Существование такой микроскопической неоднородности связано с падением термодинамической устойчивости первоначальной фазы и с возникновением внутри >нее островков более устойчивой фазы. Указанная внутренняя перестройка вещества, несмотря на свою нелрерывность, имеет узкие участки наибольшего сосредоточения, которые обусловливают появление резких скачков теплоемкости, сжимаемости, коэффициента объемного расширения, вязкости и других свойств вещества. Эти явления демонстрировались рис. 1-5, где был показан характер изменения критерия Прандтля для воды, и перегретого водяного пара от температуры и давления, и рис. 1-6 — для кислорода в зависимости от температуры при закритическом давлении. Из графиков следует, что при около- и закритиче-ских давлениях наряду с областями резкого изменения физических параметров имеются области, где они изменяются с температурой незначительно. При высоких давлениях в области слабой зависимости тепловых параметров от температуры теплоотдача подчиняется обычным критериальным зависимостям. В этом случае при проведении опытов можно не опасаться применения значительных температурных перепадов между стенкой и потоком жидкости, обработка опытных данныл также не [c.205]

Мы видели, что применительно к высокоуглеродистым сплавам различные режимы термической обработки в виде гомогенизации с последующим старением не приводят к существенным переменам в соотношении прочность—пластичность из-за высокой стабильности первичных карбидных выделений типа МС. Присутствие эвтектических островков Mjs g - еще один фактор, подавляющий чувствительность этих сплавов к термической обработке. И только применение изостатическо-го прессования под высоким давлением прокладывает путь к дальнейшему исследованию возможностей их Термической обработки. В плане упрочнения такой фактор, как изменение морфологии эвтектических выделений МгаС , видимого эффекта не дает. Поэтому в последние годы при разработке новых материалов на кобальтовой основе стремятся изменить карбидный баланс в пользу более устойчивых выделений МС и свести к минимуму количество первичных и эвтектических выделений Mjs g. [c.207]

Кажется, что возможность нахождения асимметричного максимума в элементах из более высоких групп и низких периодов Периодической системы выше в этих элементах связь в твердом состоянии преимущественно неметаллическая [47]. Все это наводит на мысль, что такое поведение связано с сохранением в жидком состоянии определенной доли ковалентной или гомеополярной связи. Эта связь, возможно, присутствует в виде кратковременной локализации валентных электронов в связанном состоянии между парами или группами соседних атомов, возможно, в процессе резонансной гибридизации как рассматривалось Полингом [48]. Получающаяся в результате этого структура становится устойчивее за счет относительной стабильности и направленности неполярной связи. Эта преимущественно ковалентно связанная структура может существовать небольшими комплексами или островками в металлически связанной матрице . Если это так, то пространственное расположение атомов в пределах самих комплексов, возможно, будет одинаково, но совершенно отлично от более неупорядоченного расположения атомов в металлической матрице (к сожалению, невозможно определить пространственное расположение атохмов из данных по рентгеновскому рассеянию). [c.22]

Спонтанное зародышеобразование в метастабильной фазе обусловлено флуктуациями и служит их наглядным проявлением. Один из возмонлных механизмов возникновения островка изотропной фазы состоит в том, что в малом объеме флуктуационным путем создается достаточно большой радиальный градиент плотности. Тогда объем веш ества теряет устойчивость, и внутри него появляется пузырек или капелька со свойствами новой фазы. Минимально необходимая величина градиента плотности определяется свойствами переходного физического слоя между сосуществующими фазами [246]. С приближением к критической температуре переходной слой утолщается, а соответствующий ему градиент плотности стремится к нулю. На первый взгляд кажется, что для гомогенного зародышеобразования требуется существенное повьппе-ние уровня флуктуаций в метастабильной фазе по сравнению с условиями, которые имеют место вблизи линии насыщения. Однако экспериментальные данные не подтверждают этого. Результаты, изложенные в гл. 8, свидетельствуют о слабом росте сжимаемости на изотермах при достижимых перегревах н-гексана (/ 10 см -сек -). Следовательно, по (9.30) мало растут и флуктуации плотности в заданном объеме жидкости. Исключение составляет область вблизи критической точки. Такой же вывод можно сделать из опытов Джалалуддина и Замкова [118] по рассеянию света в перегретом эфире. Рассеяние сохраняет релеевский характер (/ — до тех пор, пока в жидкости не появится много зародышевых пузырьков, г > Гк. Аналогичный результат был получен Морман-ном [120], который наблюдал за рассеянием света в конденсирующихся пересыщенных парах. [c.274]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...