Устойчивость движения островки

Для u >us существуют островки устойчивости, движение в которых не описывается уравнением (5.4.5). Для стохастической же компоненты, окружающей островки, простое усреднение по г)) уже неприменимо, поскольку при данном и допустимы не все значения фазы. [c.321]

На плоскости < , (р (энергия, фаза) среди обширных областей неустойчивого движения выделяются ограниченные сепаратрисами островки устойчивости, расположенные вокруг равновесных значений и ф, этих величин (индекс s указывает на равновесные — синхронные — значения энергии, импульса, скорости и фазы). Энергия и импульс частиц при ускорении возрастают поэтому и р являются ф-циями времени. Равновесная фаза в зависимости от режима ускорения может либо изменяться, либо оставаться неизменной. Подобные области устойчивости образуются на плоскостях р, ф и г, ф. [c.533]

Пусть, например, Д — характерный размер по переменной р островка устойчивости на фазовой плоскости. Тогда масштаб локализации й (р, 0), необходимый для качественно правильного списания движения, должен быть не меньше Д. Поэтому величина д/др — по меньшей мере порядка 1/А, если внутри области А нет более тонкой структуры зависимости движения от координат. За время i 1 оператор квантового вклада определяется суперпозицией операторов (10.16). Полагая, что показатели экспонент в каждом таком операторе можно рассматривать как независимые случайные величины, имеющие одинаковый порядок по абсолютному значению, и разлагая все экспоненты в ряд, получаем для отклонения результирующего преобразования от единичного оператора следующее выражение [c.392]

В заключение этого параграфа полезно отметить особую роль теории KAM в вопросах, связанных с обоснованием статистической физики. Действительно, статистическое описание исключается в устойчивом случае, и поэтому при конечных N всегда существует конечная (хотя и малая при больших N) область фазового пространства, внутри которой движение системы заведомо не стохастическое (островки устойчивости). [c.26]

Сразу же возникает вопрос действительно ли существует некоторая граница, отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости Из общих соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос вырождается в следующий не могут ли малые островки устойчивости сильно повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и ликвидировать стохастичность Строгой теории преобразования (1.9) не существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что островки устойчивости имеют конечную ме- [c.78]

Численный анализ движения, определяемого этим гамильтонианом, был проведен с помощью отображений Пуанкаре следующим образом. На плоскости (у, у) при х = 0 отмечались точки траектории при определенном значении энергии Н = Е. При достаточно малых Е эти точки группировались в семейство замкнутых кривых (ряс. 5.4, а), что соответствует существованию дополнительного (к энергии) интеграла движения. При >1/12 часть замкнутых кривых начинает распадаться. На рис. 5.4, б приведены отображения траекторий при = 0,125. Часть траекторий становится стохастической, а область островков устойчивости еще достаточно велика. С дальнейшем увеличением Е [c.96]

Современные быстродействующие ЭВМ позволяют получить сотни тысяч итераций рассмотренных выше отображений. Для исследования всей фазовой плоскости разобьем интервал фазы (0,1) или (0,2я) на 100 ячеек, а интервал скорости (О, акс) на 200 ячеек. На рис. 3.12 приведены численные результаты для упрощенного отображения (3.4.4) с М = 10 после 163 840 итераций для каждой из 10 траекторий, использованных в счете. На рисунке отмечены ячейки, в которые попала хотя бы одна из этих траекторий. В правой части рисунка показано распределение плотности Р и), проинтегрированное по фазе и по всем итерациям. Начальные условия движения выбраны случайно в области малых скоростей частицы. При этом каждая траектория заполняет всю стохастическую компоненту движения, и конечное распределение на фазовой плоскости не зависит от начальных условий. Незаполненные траекториями островки устойчивости ограничены инвариантными кривыми, и поэтому частицы не могут попасть в них извне. Центрами островков являются эллиптические точки. Ниже мы покажем, что при [c.224]

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294]

При 6 = 0 отображение является гамильтоновым и приводит к обычной картине хаотического движения с островками устойчивости (рис. 1.14). [c.468]

В простейших, точно решаемых моделях преобразования растяжения (см. 2.1) зависимость характера движения от параметра К была очень простой при К< движение устойчивое п при К> движение перемешивающееся. В реальных задачах, как уже отмечалось, столь простых ситуаций принципиально не бывает. Это связано с наличием островков устойчивости и некоторой переходной области конечной ширины по параметру К, В связи с этим вопрос о характере смены режимов движения, 1гли, как говорят, вопрос о бифуркациях решений, при изменении К, имеет определенный нетривиальный смысл. [c.83]

Резонансы и области стохастичности. Квант стохастичности в фазовои пространстве. Происхождение островков устойчивости. Разрушение интегралов движения. Замечание о теореме Пуанкаре. Два примера движение частицы в поле двух плоских волн и в поле волнового пакета [c.94]

Эти результаты Улама были объяснены с помощью аналитических и численных методов Заславским и Чириковым [443 ] и более полно Брахичем [38 ] и Либерманом и Лихтенбергом [274 ]. Они показали, что в случае гладкой зависимости скорости стенки от времени фазовая плоскость движения разбивается на три различные области 1) область малых скоростей, в которой все неподвижные точки неустойчивы, что приводит к стохастическому движению практически во всей этой области 2) область промежуточных скоростей, где внутри стохастической компоненты имеются островки устойчивости, окружающие эллиптические точки, и 3) область больших скоростей, в которой стохастические слои в окрестности сепаратрис изолированы друг от друга инвариантными кривыми, которые пересекают весь интервал изменения фазы. Именно последняя область и ограничивает набор энергии частицей. Если же зависимость скорости стенки от времени недостаточно гладкая, то области 3 не существует в согласии с теорией KAM. [c.220]

В областях фазового пространства, где движение полностью или в основном стохастично (исключая небольшие изолированные островки устойчивости), его можно описывать с помощью функции распределения, зависящей только от переменных действия (или скоростей) ). Эта задача представляет большой практический ин- [c.317]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...