Уравнение кривой равновесия дифференциальное

Если на систему действует не давление р, а какая-либо другая обобщенная сила А, то мы получаем общее дифференциальное уравнение кривой равновесия двух фаз однокомпонентной системы [c.235]

Так как конкретный вид функции х(Я, Т) в большинстве случаев неизвестен, то уравнение кривой равновесия (10.2) также невозможно написать в явном виде. Оказывается, однако, что дифференциальное уравнение кривой равновесия имеет гораздо более простой вид и связывает между собой указанные выше легко измеряемые величины. Дифференцируя (10.1), получаем [c.162]

Имея силу натяжения, легко найти дифференциальное уравнение кривой равновесия. Для этого нужно подставить значение Т в первое уравнение, которое после этого примет вид [c.176]

Уравнение кривой равновесия. Это уравнение не может быть записано строго в явном виде, поскольку неизвестен вид функции ф (р, Т). Однако нетрудно получить дифференциальное уравнение этой кривой. Дифференцируя с этой целью уравнение (1.2) и используя для химических потенциалов выражение (1.8), получим [c.15]

Перейдем к выводу дифференциального уравнения кривой равновесия на РГ-плоскости. [c.133]

Чтобы найти линии скольжения, достаточно определить характеристики дифференциальных уравнений пластического равновесия. Пусть вдоль некоторой кривой L в плоскости ху (рис. 63) известны значения искомых функций 0о = [c.115]

V, продифференцировав это тождество, получим дифференциальное уравнение кривой формы равновесия в виде [c.320]

Как уже отмечалось, это уравнение по существу является уравнением кривой фазового равновесия р=р Т) в неявном виде. В рамках двух законов термодинамики не представляется возможным в явном виде независимо выразить потенциалы двух фаз через параметры р и Т, поскольку выражения для потенциалов известны с точностью до произвольной функции а + ЬТ, где а и Ь — постоянные. Поэтому уравнение кривой фазового равновесия получают в дифференциальной форме. [c.31]

Можно получить дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия. В отсутствие гравитационных, электрических и поверхностных эффектов справедливо уравнение Максвелла [c.91]

Уравнение Клапейрона — Клаузиуса устанавливает связь между видом кривой равновесия фаз, характеризуемой производной dp/dT (тангенсом угла, образуемого касательной с осью температур в координатах рТ), удельной теплотой парообразования г (плавления или возгонки) и изменением удельного объема при переходе вещества из одной фазы в другую. Для вывода уравнения Клапейрона — Клаузиуса воспользуемся дифференциальными уравнениями термодинамики (см. гл. X). [c.169]

Так как при равновесии dip = d

дифференциальное уравнение кривых фазового равновесия получит вид [c.150]

Уравнение (1 ) является дифференциальным уравнением кривой в положении равновесия и после интегрирования дает ответ на первый из поставленных выше вопросов. Второе уравнение отвечает на второй вопрос. [c.186]

В целях пояснения применения этих двух методов Эйлер останавливается на задаче о цепной линии. Для цепи, подвешенной в двух точках А я В (рис. 21), можно получить кривую ее равновесия, воспользовавшись прямым методом . При этом мы рассматриваем силы, действующие па бесконечно малый ее элемент тп, и составляем уравнения равновесия этих сил. Из этих уравнений выводится требуемое дифференциальное уравнение цепной линии. Но той же цели мы можем достигнуть и методом конечных причин , подходя к задаче из соображений о потенциальной энергии сил тяжести. Из всех геометрически возможных кривых провеса искомая должна быть такой, для которой эта потенциальная энер- [c.44]

О1, О2,. .., Ор — седловые состояния равновесия, и поэтому для придания сходства этим фазовым портретам дифференциальных уравнений и точечного отображения следует вместо отображения Т рассматривать Т . Но и после этого между фазовыми портретами останутся различия. Так, для дифференциальных уравнений кривые 5 и 5 пересекаться не могут. Напротив, для точечного отображения пересечение возможно. В случае фазового портрета рис. 6.40, а внутри каждой [c.156]

S, (0, р) de + W, (0, р) dp = -S2 e, р) de + V2 e, р) dp, откуда сразу следует дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия dp- S2 e,p)-S e,p) g,2 [c.107]

Чтобы получить дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия р = р в) в этом случае (уравнение Клапейрона—Клаузиуса в правой части имеет неопределенность As/Av = 0/0), рассмотрим на этой кривой две близкие точки (р, в) и (р + dp,0 + du). Так как при движении вдоль р = р в) условия As = О, Av = О сохраняются, то [c.118]

Равенство удельных объемов и удельных энергий соблюдается по всей кривой равновесия р = р.(.Т), Продифференцируем уравнения Д(аф/5р)=0 и Д(аф/0Г)=О. Получим два дифференциальных уравнения [c.141]

При X 4,71 на однопараметрическом семействе равновесий в системе обыкновенных дифференциальных уравнений возникают четыре точки, имеющие двукратное нулевое собственное значение. При увеличении параметра эти равновесия монотонно теряют устойчивость и на кривой равновесий возникают четыре неустойчивые дуги. На фиг. 5 изображены линии тока одного из четырех потерявших устойчивость стационарных режимов, который имеет 10 конвективных валов (а), и одного из устойчивых режимов (б) с 9 конвективными ячейками. [c.60]

Чтобы получить дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия р=р(0) в этом случае (уравненпе Клапейрона—Клаузиуса в правой части имеет неопределенность Дз/Ди=0/0), рассмотрим на этой кривой две близкие точки (р, 0) и р + с1р, 0 + -1- 0). Так как при движении вдоль р=р(0) условия Д5=0, Av= =0 сохраняются, то [c.139]

Задача 39. С помощью теоремы Карно и I начала термодинамики получить уравнение Клапейрона—Клаузиуса (см. 6, п. г))—дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия р=р(0) газ—жидкость (фазовый переход 1-го рода). [c.220]

Поэтому приближение гладких инвариантных кривых к устойчивым неподвижным точкам может иметь особенности, не свойственные фазовым кривым состояний равновесия гладких дифференциальных уравнений. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. Введем в окрестностях [c.361]

Дифференциальные уравнения равновесия плоского кривого стержня можно получить из общих уравнений (3.65) и (3.71), положив [c.90]

Это векторная форма дифференциальных уравнений равновесия кривого бруса. Если бруса плоская кривая, то про-, изводные по дуговой координате от векторов т, л и i имеют вид [c.50]

Приравняв нулю множители при т, я и в этих уравнениях, получим скалярную форму дифференциальных уравнений равновесия кривого бруса с плоской осью [c.50]

Из кривого бруса с радиусом его оси —В, подверженного общему случаю нагружения, выделен бесконечно малый элемент, показанный на рис. 18 там же показаны компоненты напряжений. Составить дифференциальные уравнения равновесия указанного криволинейного параллелепипеда, полагая объемные силы отсутствующими ). [c.36]

Последнее равенство и должно давать дифференциальное уравнение кривой равновесия. Для того чтобы значение dPldT было единственным, дискриминант квадратного уравнения (28.3) должен равняться нулю [c.149]

Заметим, что радиус кривизны A = p os o нормального сечения поверхности и радиус геодезической кривизны p/sinO нити зависят не только от самой поверхности и положения точки Ш, но и от положения нити на поверхности (точнее, от направления касательной т к нити). Поэтому пользоваться этими уравнениями наиболее целесообразно в тех случаях, когда равновесное положение нити на поверхности известно (см. 7.2) или для общих выводов (см. пример 1). В тех л е случаях, когда требуется определить форму (уравнения) кривой равновесия нити на гладкой поверхности, лучше пользоваться дифференциальными уравнениями равновесия нити (1.4). Во многих случаях более полезными оказываются уравнения равновесия нити в обобщенных координатах (1.5.17) (при вычислении обобщенных сил нужно учесть, конечно, реакцию поверхности JV). [c.149]

Уравнение (9,4) является дифференциальным уравнением кривой равновесия, связывающим теплоту пере-хода [так как Я,= 7 (5"—5 )1, скачок удельного объема и наклон кривой равновесия в точке перехода. В литерй туре оно чаще всего встречается в виде [c.210]

Задача 43. С помощью теоремы Карно и 1 начала термодинамики Получить уравнение Клапейрона—Клаузиуса (см. б п. г)) — дифференциальное уравнение кривой фазового равновесия р = р в) газ—жидкоаь (фазовый переход 1-го рода). [c.192]

При численном анализе случая узкого контейнера рассматривались галеркинские системы размерностей N = 36, 49, 64 и 81. Расчеты для широкого контейнера проводились только для 81-мерной аппроксимации. При решении возникающих задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений и для продолжения кривой равновесий применялся метод Рунге - Кутта четвертого порядка аппроксимации с автоматическим выбором шага. [c.56]

Известно, что потеря устойчивости на однопараметрическом семействе некосимметричных равновесий систем обыкновенных дифференциальных уравнений растянута по параметру. Это означает, что вначале на семействе возникают равновесия с нейтральным спектром. Число таких равновесий может быть различным и зависит от самой системы и значений параметров. Затем эти равновесия теряют устойчивость и в их окрестности возникают дуги неустойчивых равновесий. При изменении бифуркационного параметра размеры неустойчивых дуг увеличиваются. Кроме того, может меняться количество устойчивых и неустойчивых дуг как за счет возникновения новых, так и в результате слияния уже существующих. Характер неустойчивости для разных точек семейства при одних значениях параметров может быть различным возможна как монотонная, так и колебательная неустойчивость. Возникновение колебательной неустойчивости при некоторых значениях параметров сопровождается рождением или гибелью автоколебательных режимов. При монотонной потере устойчивости могут пересекаться различные семейства равновесий или возникать новые кривые равновесий. В результате при достаточно больших X все равновесия 56 [c.56]

Обращая в предыдущих двух пунктах внимание лишь на особенности теплоемкости в точке фазового перехода, мы оставляли в стороне вопрос о характерном поведении других термодинамических величин в области 0 6о, особенности которого в конечном счете определяются структурой термодинамического потенциала в этой области и поэтому не изолированы, а связаны друг с другом (примером такой связи может служить условие Эренфеста к дифференциальному уравнению кривой фазового равновесия 2-го рода). Прежде чем перейти к изложению общепринятой теперь терминологии в обозначении этих особенностей, обратим внимание на существование некоторой аналогии фазовых переходов Я-типа с критическими явлениями в системе типа газ—жидкость, особенно ярко проявившейся при обнаружении совпадения (конечно, в определенных пределах) степенных показателей, которыми характеризуются особенности этих систем вблизи Я-точки или вблизи критической температуры. На микроскопическом уровне эта аналогия находит свое оправдание в совпадении рассматриваемых дискретных моделей ферромагнетиков, сплавов и т. д. (дискретность связана как с наличием фиксированной кристаллической решетки, так и с квантованием проекции магнитного момента в каждом ее узле или с целочисленностью чисел заполнения узлов решетки атомами разного сорта) с теоретическими моделями га- [c.148]

Отметим, что правомочность распространения метода линий скольжения на данный случай нагружения конструкций обеспечивается в том случае, когда линии скольжения в деформируелюм теле и характеристики (т е. интегральные кривые дифференциального уравнения, вытекающего из решения уравнений равновесия совместно с условием пластичности) совпадают. [c.112]

Уравнение равновесия (1) должно удовлетворяться при лю бом значении лг. Заменив в нем tg <2 чегез , мы получим дифференциальное уравнение искомой кривой [c.320]

Заметим еще, что всякую систему непрерывно распределенных сил можно рассматривать как предел системы конечного числа сил, приложенных к дискретной совокупности точек, в предположении, что число сил стремится к бесконечности и соответственно стремится надлелсащим образом к нулю всякая приложенная сила. Отсюда заключаем, что фигура равновесия нити в случае непрерывно распределенных сил представляет собой кривую (предел переменного веревочного многоугольника), которая называется веревочной кривой. От этих интуитивных соображений мы обратимся теперь к рассуждениям аналитического характера, чтобы придти к дифференциальным уравнениям, определяющим веревочные кривые. [c.199]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...