Центр гомологии

Двойная прямая, на которой лежат точки пересечения пар соответственных прямых обоих полей, называется осью гомологии. Точка пересечения прямых, соединяющих соответственные точки полей, называется центром гомологии. [c.28]

Полезно отметить, что центр гомологии 5 является особой двойной точкой, именно такой точкой, которая не только сама себе соответствует, но и обладает тем свойством, что все проходящие через нее прямые являются двойными. [c.28]

Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна [c.279]

Не приводя доказательства этого утверждения для общего случая, покажем, как определяется положение центра гомологии при совмещении с картиной фигур, лежащих в предметной плоскости Т. На рис. 392 показана точка Л,, принадлежащая предметной плоскости [c.279]

Итак, центр гомологии смещается по вертикали от главного пункта Р на расстояние, равное отрезку 8Р (главное расстояние). [c.280]

Установив положение центра гомологии и соответствие главного пункта Р бесконечно удаленной точке прямых предметной плоскости, каждая из которых перпендикулярна к основанию картины, перейдем к решению некоторых задач линейной перспективы. [c.280]

Что касается центра гомологии, то им будет та точка картины, с которой совмещается центр проектирования (точка зрения 5). В проективной геометрии доказывается, что центр проектирования при вращении плоскости данной фигуры перемещается по окружности, плоскость которой перпендикулярна к оси гомологии. Центром этой окружности является точка пересечения картины и прямой, проходящей через точку зрения 5 перпендикулярно к оси гомологии и параллельно плоскости фигуры ). [c.348]

Не приводя доказательства этого утверждения для общего случая, покажем, как определяется положение центра гомологии [c.348]

Гомология. Если плоскость Р1 повернуть вокруг оси до совмещения с плоскостью Р, то соответствие между точками плоскостей сохранится и перспективная коллинеация не нарушится (рис. 154,6). Все прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через точку 8, которая изменит свое положение. Такое взаимно однозначное соответствие двух совмещенных плоскостей называется гомологией. Точку 5 называют центром гомологии, а прямую т, содержащую двойные точки,-осью гомологии. [c.118]

Родство. Ось гомологии и ее центр могут быть как собственными, так и несобственными. Если ось гомологии — несобственная прямая, то гомологичные прямые друг другу параллельны (рис. 33, а). При несобственном центре взаимно параллельны двойные прямые гомологии (рис. 33, б) когда удалены в бесконечность и ось, и центр гомологии, параллельными между собой становятся как гомологичные прямые, так и двойные прямые (рис. 33, в). Если бесконечно удаленный центр гомологии лежит на вси гомологии, то двойные прямые становятся параллельными оси. Такая гомология [c.28]

Преобразуем параболоид 2 в параболоид 2, ось которого вертикальна, а сечение плоскостью Б совпадает с сечением этой плоскостью параболоида 2. Примем плоскость гомологии совпадающей с плоскостью 2, направление двойных прямых — параллельным плоскостям П1 и Пг- При этих условиях центр гомологии будет бесконечно удаленным и лежащим в плоскости Е. Такое преобразование называется сдвигом. [c.196]

Гомология задана, если известны ее центр, ось и пара гомологичных точек (лежащих на прямой, проходящей через центр гомологии, но не совпадающих с центром и не инцидентных оси) или пара гомологичных прямых. Можно и иначе задать гомологию. [c.17]

Прямые А5, В5 и СЗ соответствуют сами себе. Например, прямая А5 соответствует прямой А 5. Но эти прямые совпадают. Поэтому следует говорить об одной — двойной — прямой. Сказанное распространяется на все прямые, проходящие через центр гомологии. Они являются двойными прямыми. [c.17]

Центр гомологии может быть как собственной, так и несобственной точкой, ось гомологии — собственной или несобственной прямой. Кроме того, центр может быть инцидентным оси. Если центр или ось несобственные, то гомологии носят название аффинных. Каждая из аффинных гомологий имеет свое название, [c.17]

Точки I и 2 — двойные, через них проходит ось гомологии 5, центром гомологии является точка 5. Заданная дуга кривой второго порядка преобразуется в дугу окружности I—А—2 (или У—А—2). Таким образом мы получили две гомологии Я (5 [c.24]

Пусть Е — плоскость гомологии, 5 — центр гомологии, точки А к А гомологичны, т. е. Н (5 Е А А) (рис. 284). Нужно найти точку В, гомологичную точке В. Соединим точки А и В прямой и, найдя точку 1 (двойную точку) ее пересечения с плоскостью гомологии Т, соединим эту точку прямой линией с точкой А. Прямые А—1 и А—1 гомологичны. Остается провести двойную прямую через точки В и 5. Она пересекается с прямой А—1 в искомой точке В. [c.102]

Центр гомологии Q, связывающей данную перспективу Ф фигуры F с её совмещением найдём, как и прежде, [c.48]

Если совместить поле ГГ и центр 8 с полем П, то получи.м изображение коллинеации, которое называется гомологией на плоскости. [c.35]

На плоскости (рис.32, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например,/>, А - А. Линия связи A-i [c.36]

На плоскости (рис. 27, б) гомология с несобственным центром проецирования называется перспективно-аффинным, или родственным, преобразованием двух плоских полей. Прямая р - ось родства, направление s - направление родства. Для задания родства достаточно задать одну родственную точку и ось родства, например, р, А - А. Линия связи А-А указывает направление родства. Если задать точку В, то легко найти точку В, и наоборот (это можно проследить по рис. 27, б). [c.39]

Если центр и ось перспективной коллинеации и гомологии являются несобственными элементами, то преобразование называется параллельным переносом (рис. 30). [c.41]

Гомология точечных полей может быть задана центром, осью и парой соответственных точек. Пусть на чертеже (см. рис. 14) даны центр 5, ось х и пара соответственных точек А м А гомологии. В таком случае для любой точки В поля П можем построить соответственную ей точку В поля ГГ. С этой целью проводим прямую АВ д.а пересечения с осью в точке С . Тогда соответствующая прямая А В должна проходить через точку С , так как точка С двойная. Искомая точка В должна лежать на прямой А С . Она является точкой пересечения проектирующей прямой с прямой А С . Аналогично строят соответственную точку С поля П, если задана точка С поля П [c.28]

Равным образом ось гомологии является особой двойной прямой, причем все ее точки также двойные. Заметим, что проектирующие прямые, хотя и являются двойными, но имеют лищь по две двойные точки (точку пересечения с осью гомологии и центр гомологии). [c.28]

Все прямые, соединяющие соответственные точки, проходят через одну точку — центр гомологии (рис. 390). Прямая, на которой расположены точки, преобразующиеся в себя (двойные точки), называется осью гомологии (прямая 0 0 ). [c.277]

В коллинеарном соответствии, устанавливаемом между точками плоскостей Т и К при прое ктировании из 5, прямой плоскости Т соответствует прямая Ы Р плоскости К. Заметим, что точке Р (главному пункту) соответствует бесконечно удаленная точка прямой АуЫд. С помощью проектирующего луча 5 5 определена перспектива А точки Лг. При совмещении плоскости Т с картиной, когда за ось вращения принимается основание картины 0 0 , точка Л займет положение, отмеченное через Л (Л Л/д=Л Л/ о). Проектирующий луч должен будет проходить через соответственные друг другу точки Л и Л и центр гомологии. Искомый центр, кроме того, должен принадлежать прямой, соединяющей точку Р и ей гомологичную бесконечно удаленную точку прямой Л ЛГд. Эта прямая Р5д проходит через главный пункт Р параллельно прямой А Мд. Пересечение прямых А А и Р5 определяет положение центра гомологии — точку Нетрудно показать, что отрезок Р8д равен главному расстоянию 8Р. Действительно, из подобия треугольников АР8 и АМ А следует, что [c.280]

Центр перспективы, как это только что было показано, совмещается с картиной в точке 5 , которая является центром гомологии, связывающей перспективу данного отрезка с его совмещением А В. Осью этой гомологии служит основание картины OjOj. Подчеркнем, что точке Р соответствует бесконечно удаленная точка прямой 5дР. [c.281]

Чтобы определить длину отрезка, вращаем предметную плоскость Т вокруг основания картины до совмещения с картиной. Центр перспективы, как это только что было показани, совмещается с картиной в точке 5 , которая является центром гомологии, связывающей перспективу данного отрезка с его совмещением Л В. Осью этой гомологии служит основание картины О1О9. Подчеркнем, что точке Р соответствует бесконечно удаленная точка прямой [c.350]

Прямые ЛЛ, ВВ, СС и другие, проходящие через центр гомологии, преобразуются сами в себя. В самом деле, прямая АП преобр уется в прямую АО, так как обе прямые проходят терез соответственные точки Л и Л, точка О — двойная. Таким образом, прямые АО и АО совпадают. Вывод, сделанный относительно, прямой АА, можно распространить на все прямые, проходящие через центр гомологии, они называются двойными прямыми. [c.28]

Пусть точки А н А гомологичны (рис. 296) нужно найти точку В, гомологичную точке В. Соединим точки А и В прямой и, найдя точку С ее пересечения с плоскостью гомологии 2, соединим эту точку прямой линией с точкой А. Прямые АС и ЛС гомо-логичны Остается провести дмйную прямую через точки В и 5. Она пересекается с прямой АС в искомой точке В. Проведенные нами построения позволяют перейти от гомологических преобразований пространства к гомологическим преобрачованиям на плоскости действительно, прямые ЛЛ и ВВ определяют плоскость, которая по прямой S пересекается с плоскостью S. В этой плоскости лежит точка S. Рассматривая прямую S как ось, а точку S — как центр гомологии, мы имеем дело с гомологичным преобразованием на плоскости. [c.192]

Теперь произведем гомологическое преобразование отсека двуполостного гиперболоида вращения в отсек сферы. Проведем касательную 8282 к фронтальной проекции поверхности в точке Вг и отметим точку ее пересечения с осью гиперболы — фронтальной проекции поверхности. Будем рассматривать точку 5, лежащую на оси поверхности, как центр гомологии. В качестве плоскости гомологии примем горизонтальную плоскость 2 (2 ), а двух гомологичных прямых — профильно-проецирующие прямые вив, пересекающиеся с осью поверхности и проходящие соответственно через полюс сферы и вершину гиперболоида. Отсек сферы, гомологичный отсеку гиперболоида, соприкасается с гиперболоидом по окружности, проходящей через точки В и X Центр сферы 0(0а) расположен в пересечении с осью поверхности перпендикуляра к прямой В8, проходящего через точку В. После преобразования фронтальной проекцией поверхности стал сегмент круга радиуса ВзОг с центром в точке Ог. Горизонтальной проекцией отсека попгрхности остается круг радиуса В151 с центром в точке 51. [c.196]

Рассмотрим аналогичную задачу, воспользовавшись гомологичным преобразованием с собственным центром гомологии. Пусть дана поверхность вращения второго порядка (эллипсоид, параболоид или двуполостный гиперболоид), рассеченная плоскостью 2 (рис. 352, в). Преобразуем эту поверхность в сферу (см. рис. 300), задавшись плоскостью гомологии 2 и центром гомологии /(. Спроецируем сечение Л В из вершины поверхности 5 на плоскость 2, а гомологичное ему сечение, лежащее на поверхности сферы, спроецируем на ту же плоскость из центра 5. Оба проецирующих конуса [c.237]

Действительно, треугольники ADS и AiDiSi (рис. 474) или треугольники ADS и A2D2S2 удовлетворяют условию /45/ в случае, когда центр гомологии удален в бесконечность. Сказанное относится к любой аксонометрической и вторичной проекции одной и той же плоской фигуры, что и доказывает /162/. [c.331]

Теперь произведем гомологическое преобразование отсека двуполостного гиперболоида вращения в отсек сферы. Проведем касательную к фронтальной проекции контура поверхности в точке В2 <см. рис. 52) и отметим точку ее пересечения с проекцией оси поверхности. Будем рассматривать точку S как центр гомологии. В качестве плоскости гомологии примем горизонтальную плоскость П (iii,a двух гомологичных точек—полюс сферы Н и (Яз) [c.104]

Рассмотрим аналогичную задачу, воспользовавшись гомологическим преобразованием. Дана нелинейчатая поверхность вращения второго порядка, рассеченная плоскостью 1 (рис. 341). Преобразуем эту поверхность в сферу (см. рис. 288), задавшись плрскостью гомологии П и центром гомологии К. Спроецируем сечение АВ из вершины 5 поверхности на плоскость П, а гомологичное ему сечение, лежащее на сфере, спроецируем на ту же плоскость из центра 5. Оба проецирующих конуса (с вершинами 5 и 5) пересекаются с плоскостью гомологии по кривой А , которая в соответст-ствии с /146/ представляет собой окружность. [c.126]

Иногда след данной плоскости на плоскостя >-, т. е. ось гомологии, может оказаться за пределами чертежа. В таком случае можно, оставив центр гомологии неизменным, взять зд ось другую (произвольную) прял ую, параллельную линии схода данной плоскости. В таком случае совмещение ф.чгуры, построенное при этой новой оси, будет иметь ту же форму, что и действительное совмещение, но другие размеры, т. е. будет ему подобно. Действительно, такая замена оси гомология, очевидно, равносильна замр данной плоскости плоскостью, ей параллельной. На этой плоскости лучи, проектирующие фигуру из той же точки зрения, будут выделать фигуру, подобную данчой. 1 ч. - 1 <г /н [c.46]

На оси гомологии пересекаются пары соответственных прямых. Соответствующие друг друг у фигуры в этом случае называют гомоло-1ИЧНЫМИ. Гомология определяется заданием центра So, оси т и пары соответственных точек А н А, расположенных на одной прямой с точкой S (черт. 8). В этом случае для каждой точки плоскости, например В, можно определить ей соответственную — В. Для этого поступают следующим образом. Прямая А В, соответственная прямой А В, должна проходить через двойную точку Со последней. Искомая точка В должна быть и на прямой СоА, и на проецирующей линии 8цВ. Пересечение указанных прямых и определяет точку S. [c.10]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...