Напряжения Формулы Коши

Вследствие симметрии тензора напряжений формулы Коши (1.7) и уравнения статического равновесия (1.10) можно также записать в виде [c.22]

Напряжение на произвольно ориентированной площадке вычисляется по компонентам напряжения формулы Коши) [c.12]

Из (2.4) следует, что составляющие вектора напряжений 5v в направлении координатных осей Xi определяются формулой Коши [c.43]

Полученные после интегрирования шесть составляющих напряжений должны удовлетворять условиям на поверхности (4.2). После этого по формулам закона Гука (4.5) определяют составляющие деформации, а из формул Коши (4.3)—составляющие перемещения. [c.47]

При этих предположениях основные уравнения плоской деформации дифференциальные уравнения равновесия (5.2), условия на поверхности (5.3), формулы Коши (5.4) и уравнение сплошности (5.5) сохранят такой же вид и в задаче об обобщенном плоском напряженном состоянии, а формулы закона Гука (4.5) примут следующий вид [c.54]

Компоненты напряжений на косой площадке находятся из условий равновесия элементарного тетраэдра (формула Коши) [c.9]

Для определения перемещений воспользуемся формулами закона Гука (17.17), в которых выразим деформации через перемещения по формулам Коши (17.3), а вместо напряжений подставим их выражения (а) [c.358]

Если тетраэдр стягивается в точку, то члены, содержащие Д7 (пропорциональные кубу линейных размеров), будут бесконечно малыми высших порядков, которыми можно пренебречь. Проектируя также ЛР на оси у н z, получим формулы Коши для напряжений на наклонной площадке [c.116]

Тензор напряжений. Допустим, что х, у, г (х ) — старая, а х, у г (дс О — новая система координат. Рассмотрим новые координатные площадки как наклонные к старым координатным осям. Обозначим в соответствии с (1.18) os -4 (х , х>) = дх Чдх — = По формулам Коши (IV.8) найдем напряжения Si, S , Sz в новых координатных площадках. Проектируя их затем на новые оси х у г получим выражение напряжений на новых коорди- [c.116]

Запишите формулы Коши для напряжений на наклонных площадках. Что кладется в основу их вывода [c.118]

Вектор напряжения S на произвольно ориентированной площадке с нормалью п определяется формулами Коши [c.10]

Девиаторная площадка замечательна тем, что действующий на ней вектор напряжения (фиг. 3) S коллинеарен вектору 0Р действительно, по формулам Коши (1.2) проекции вектора напряжения [c.15]

Лгл. последним же по уравнениям Сен-Венана—Мизеса (14.14) отвечают некоторые напряжения, а по формулам Коши (1.2) — некоторые поверхностные силы. Аналогично (23.1) имеем [c.87]

Решение этой системы можно искать либо в перемещениях , либо в напряжениях . В первом случае за основные неизвестные функции принимают перемещения и, х, у, г), tiy х, у, г), (х, у, г), а систему уравнений теории упругости сводят к трем уравнениям относительно этих функций. Для этого напряжения в дифференциальных уравнениях равновесия (1.1) выражают по закону Гука (1.14) через деформации, а последние по формулам Коши (1.7) — через перемещения. В результате получают уравнения Ляме [c.19]

Главная часть этого приращения дает вариацию удельной энергии деформации 8W = бе о. Если под би понимать возможные перемещения, то матрица бе будет определять возможные деформации, которые выражаются через компоненты би по формулам Коши. Тогда бЦ/ следует трактовать как удельную работу действительных напряжений на возможных перемещениях. [c.35]

По формулам Коши можно найти деформации, а затем по за кону Гука — напряжения. [c.46]

Здесь Проекции вектора напряжений, выраженные через формулам Коши (1.1), а t i — проекции действительного вектора напряжения. Члены, содержащие заданные проекции напряжения р , взаимно уничтожаются, поэтому интегралы по Sp содержат только члены, зависящие от заданных проекций скорости щ. [c.46]

Используя формулы Коши (1.1) и учитывая, что действительные напряжения удовлетворяют краевым условиям на Sp, получаем [c.131]

Тензор напряжений Коши. Основным тензором (тензором истинных напряжений), который описывает напряженное состояние среды в актуальной конфигурации, является симметричный тензор напряжений Коши Т. Механический смысл этого тензора состоит в том, что с помощью формулы Коши [c.19]

Вводится поле перемещений напряжений , компоненты напряжения определяются через производные от компонент перемещений напряжений аналогично формулам Коши в теории деформаций. Уравнения равновесия трактуются как условия совместности напряжений. Соотношения связи между напряжениями деформации определяют дифференциальные соответствия между полями перемещений напряжений и перемещений. [c.336]

Предположим, что по трем взаимно ортогональным граням тетраэдра известны все компоненты тензора напряжений, т. е. задан тензор напряжений. Из условия равновесия бесконечно малого тетраэдра проекции на оси координат х, у, 2 полного напряжения (см. рис. 6) на произвольно ориентированной площадке определяются по формулам Коши [c.23]

Если в уравнениях (3.64а) деформации выразить по формулам Коши (1.144) через перемещения, а затем данные формулы подставить в уравнения равновесия (1.135), то получим три дифференциальных уравнения относительно четырех неизвестных (и, V, т, ф) функций координат. Добавив к данным трем дифференциальным уравнениям четвертое уравнение, представляющее условие пластичности (2.43), и предварительно выразив напряжения через перемещения а, хю и функцию ф, найдем четыре уравнения для нахождения четырех неизвестных функций координат. [c.108]

З. Свойства тензора напряжений. Зная компоненты тензора напряжений в точке, можно вычислить вектор напряжений а" на произвольно ориентированной площадке йА, проходящей через эту точку. Это осуществляется посредством формул Коши, которые могут быть выведены различными способами. [c.17]

С помощью формул Коши граничные условия в напряжениях примут вид [c.24]

Остается еще доказать, что главные напряжения соответствуют экстремальным значениям нормальных напряжений в данной точке. Зная вектор напряжений о, нормальные напряжения можно определить согласно равенству а = a n, соответственно в тензорной форме записи при применении формул Коши (здесь и в дальнейшем в индекс п не является указателем вектора ) [c.28]

Уравнения Ламе. Внося в дифференциальные уравнения равновесия [(12) гл. 11 компоненты напряжения согласно (11) гл. 1 и заменяя компоненты деформации по формулам Коши [(17) гл. 1], находим дифференциальные уравнения динамики упругого тела [c.26]

Правую часть неравенства (34) вычисляют при задании любого статически возможного состояния текучести а ,. . ., так как v , Оу, на заданы, а Х , К , 2 вычисляют по формулам Коши (32) через напряжения. [c.70]

Раскрыв в полученных соотношениях составляющие полного напряжения с помощью формул Коши, после приведения подобных членов получим искомые выражения для нормального и касательного напряжений [c.38]

Теперь обратимся к напряжениям Оу, и Для отыскания постоянных в соответствующих полиномах воспользуемся условием отсутствия нагрузки на боковой поверхности стержня. С учетом того, что = О для любой точки боковой поверхности, на основании формул Коши можно записать [c.76]

Закон баланса сил позволяет выразить вектор напряжения через тензор напряжений по формуле Коши. Точно так же (7.3) дает основания для введения тензора плотности дислокаций А [c.277]

Этих уравнений достаточно для решения задачи пластичности, и их следует понимать, как уравнения равновесия в перемещениях, поскольку предполагается, что напряжения выражены через деформации по формулам (2.33) и, следовательно, на основании формул Коши через три компонента пере> ещения а, V, гг . [c.110]

Если систему (2.44) рассматривать как уравнения равновесия в напряжениях, она недостаточна для определения напряжений, и к ней необходимо добавить ещё условия совместности деформаций, которые получаются известным в теории упругости образом из формул Коши (1.38) [c.110]

Компоненты тензора деформаций через этот вектор определяются по формулам Коши, а компоненты напряжений по формулам (2.12) [c.112]

Теперь можно составить план решения задачи теории упругости в перемещениях. Для отыскания трех составляющн перемещения ы, о и ш необходимо проинтегрировать три уравнения Ламе (4.8) и удовлетворить условиям на поверхности (4.9). По найденным перемещениям из формул Коши (4.3) определяют составляющие деформации, а затем из формул закона Гука (4.6)—составляющие напряжений. [c.45]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Полученное соотношение выражает собой так называемый принцип дополнительных виртуальных работ. При выводе формулы (2.23) использовались формулы Коши (1.7), следствием которых являются уравнения совместности деформаций (1.10). Таким образом, исходное напряженное состояние неявно предполагалось не только статически возможным, ио и удовлетворяющим уравиеииям совместности. Напряженное состояние, для которого удовлетворяются уравнения совместности деформаций, будем называть совместным. Из урав-иення (2.23) следует, что для совместного напряженного состояния вариация дополнительной энергии деформации равна вариации дополнительной работы внешних сил. [c.41]

Нужно, наконец, упомянуть и о весьма обширном мемуаре Вертгейма о кручении ). Он подвергнул испытаниям цилиндры круглого и эллиптического сечений и призмы прямоугольного сечения, а в некоторых случаях также и трубчатые образцы. Материалами были сталь, железо, стекло, древесина. Из этих испытаний Вертгейм вновь пришел к заключению, что коэффициент поперечного укорочения (коэффициент Пуассона) равен не 1/4, а ближе к 1/3. Измеряя внутренний объем труб, подвергнутых кручению, Вертгейм нашел, что он ухменьшается с увеличением угла кручения (как это и должно быть, если учесть, что лродольные волокна принимают форму винтовых линий). Обсуждая результаты опытов по кручению брусьев эллиптического и прямоугольного профилей, Вертгейм, не зная о теории Сен-Венана, приходит, однако, в своих выводах к хорошему совпадению с этой теорией. Вместо теории Сен-Венана он применяет неудовлетворительную формулу Коши (см. стр. 135), вводя в нее поправочный коэффициент. Исследуя крутильные колебания, Вертгейм обратил внимание на то, что при малых амплитудах частота колебаний получается выше и что при весьма малых напряжениях величина модуля упругости может оказаться более пысокой, чем при больших напряжениях. [c.267]

В деформируемом твердом теле малые колебания описываются уравнениями движения pдtдtUj = д (7ij. На поверхностях разрыва (недифференцируемости) свойств среды к ним надо присоединить условия сопряжения, а на граничных поверхностях — граничные условия. При совершенном механическом контакте условия сопряжения на поверхностях разрыва заключаются в непрерывности перемещений и соответствующих напряжений. Для упругих материалов уравнения движения замыкаются материальными соотношениями = = Сг ,тп( т п + п/ т)/2, В которых учтены формулы Коши ДЛЯ деформации. [c.819]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...