Разложение в интеграл Фурье

Функция Дг) заметно отлична от нуля только в некоторой малой (но большой по сравнению с длиной волны /k) области пространства. Ее разложение в интеграл Фурье содержит согласно сделанным предположениям компоненты вида e где Ак — малые величины. [c.368]

Представим далее Gn.,( —t ) в виде разложения в интеграл Фурье [c.163]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

Равновесная концентрация 13, 205 Разложение в интеграл Фурье 292 Реактор(ы) [c.301]

Свяжем теперь корреляционную функцию <р(г) со спектральной характеристикой случайной эдс. Представим (/) в виде разложения в интеграл Фурье [c.401]

Отдельное затухающее колебание не является периодическим процессом. Оно соответствует предельному случаю, когда частота повто-.рения рассмотренной периодической функции стремится к нулю. В этом случае можно осуществить предельный переход от ряда Фурье к интегралу Фурье. Если воспользоваться разложением в интеграл Фурье одиночного затухающего процесса, то получим в итоге представление этого непериодического колебания в виде непрерывного спектра (рис. 1.1.4). [c.7]

При усреднении по времени наблюдения, большому по сравнению с характерным временным масштабом изменения о(0. пределы интегрирования по I можно распространить до Затем вместо Е (1 — т) подставляем его разложение в интеграл Фурье согласно (5.36) и изменяем порядок интефирования по / и <о [c.230]

Разложение падающего поля на плоские волны. Возможен другой метод рассуждения, приводящий к таким же инте гралам в плоскости комплексной переменной, но основанный на менее формальной процедуре, чем произведенное в п. 6.2 разложение в интеграл Фурье. Это рассуждение основано на том, что при падении плоской волны на импедансную поверхность возникает только одна плоская отраженная волна. [c.168]

Представим вектора электрического и магнитного полей и функцию диэлектрической проницаемости в виде разложения в интеграл Фурье по поперечным координатам [c.201]

В температурной технике вместо разложения в интеграл Фурье по частоте производится, как мы знаем, разложение всех величин в ряды Фурье. Как видно из написанных уравнений, если ввести компоненты Фурье для функций g и Й так же, как в гл. III были введены компоненты функции Г рина [c.387]

Разложение произвольной волновой функции / (ж) по собственным функциям ее импульса, называемое импульсным представлением, — это просто разложение в интеграл Фурье [c.111]

Покажем, что при соблюдении известных условий, налагаемых на временную зависимость волны р (t, г), которые будем читать выполненными, можно представить волну в виду суперпозиции гармонических волн различных частот путем разложения по Фурье функции р. Эти условия таковы если функция периодична по времени, то она разлагается в ряд Фурье если функция не периодична, но достаточно быстро убывает при —оо и/—>-f оо (например, является ограниченным по времени импульсом), то она разлагается в интеграл Фурье. Если спадание на бесконечности недостаточно быстрое, то разложение в интеграл Фурье неосуществимо. Будем пользоваться комплексным представлением волн. [c.70]

Введение. Излучение атомов часто моделируют в виде набора обрывков гармонических волн, называемых цугами (см. рис. 2.4). Длительность цуга обратно пропорциональна ширине спектра частот излучаемых атомом. К такому выводу мы также пришли, разлагая затухающее колебание осциллятора (непериодическое колебание) в интеграл Фурье. Представляет интерес проанализировать разложение Фурье некоторых сложных колебаний конкретного вида, которые могут встречаться в различных оптических явлениях. [c.41]

Уравнения (16.3) и (16.4) указывают простое правило построения теневого образа предмета путем разложения функции t x, у) в интеграл Фурье с периодами Рх, ру. Фурье-коэф-фициенты образа будут отличаться от оригинала только фазовым множителем [c.231]

Если рассматривать эту формулу как разложение полной напряженности поля в интеграл Фурье [c.56]

Найдем связь комплексной степени когерентности у(т) со спектральным распределением интенсивности излучения /(ш). Для этого воспользуемся разложением квазимонохроматического колебания Е 1)= Ео(.1)е " (5.28) в интеграл Фурье [см. (1.83) и 1.84)] [c.230]

Периодическую функцию f (ф) можно представить разложенной в ряд Фурье и тогда интеграл, стоящий в скобках в уравнении (24.39), можно представить суммой интегралов от простых гармоник sin и os, умноженных на е ч . Выражения такого типа интегралов берутся из таблиц. [c.507]

Спектральный состав излучения можно найти, разлагая вектор ускорения го в интеграл Фурье и подставляя разложение в формулу (5.2). [c.214]

Электрическое поле Е(г, /) можно разложить в интеграл Фурье по координатам г и времени t. Ввиду линейности рассматриваемого нами приближения мы можем ограничиться лишь одной гармоникой Фурье такого разложения, т. е. считать [c.46]

Произведем разложение функций Грина, определенных в гл. 6, 2, в интеграл Фурье и введем фурье-компоненты [c.171]

Ограниченная решетка может быть рассмотрена также методом Рэлея. В пределах решетки ее пропускаемость периодична, а вне обращается в нуль. Разложение пропускаемости в интеграл Фурье имеет вид [c.339]

Рассмотрим связь между спектральным разложением стационарного процесса и обычным интегралом Фурье (см., например, [165]). Функция / (<) может быть разложена в интеграл Фурье, если сходится интеграл от / (t) , взятый в бесконечных пределах, и если / (<) имеет лишь разрывы типа конечных скачков [c.18]

Прежде чем следовать дальше по пути формального использования теории трансляционной симметрии, стоит, вероятно, дать более наглядное описание электронных состояний и посмотреть, какой смысл могут иметь целые значения волновых векторов, связанных с этими состояниями. Рассмотрим потенциал, имеющий полную трансляционную симметрию решетки. Для линии, проходящей через ряд атомов, он схематически изображен на фиг. 20. Благодаря своей периодичности этот потенциал может быть разложен в ряд Фурье, содержащий только плоские волны с волновыми векторами, отвечающими узлам обратной решетки. (Это следует из интеграла Фурье и подробно показано в п. 2 4 настоящей главы.) [c.71]

Гармонические волны можио рассматривать как спектральные компо-иенты разложения исходного волнового поля в интеграл Фурье по горизонтальным координатам. Тогда а(() и f((, г) - спектральные компоненты функций а (г) и / (г), характеризующих источник. [c.335]

Представление функции f(t) в виде (П.1) называется разложением в интеграл Фурье. Функция f(i(o), фигурирующая в этом разложении, иосит название преобразования Фурье от функции f(i). [c.292]

Задачи дифракции третьего типа решаются по общей схеме, приведенной выше. Решение отыскивается в виде разложения в интеграл Фурье по плоским волнам методом перевала [37, 57]. Особенность расчетов состоит в том, что, поскольку головная волна является результатом взаимодействия нормальной (щ, Ut) и касательной (auj, wt) составляюш,их смещения в волне-, решение получают отдельно для каждой составляющей с последующим суммированием их. Кроме того, поскольку головная продольная волна сама по себе существовать не может и в каждой точке распространения переизлучает боковую поперечную волну, результирующее смещение на поверхности представляет собой сумму смещений [c.47]

Мы могли бы перейти к пределу Г оо и получить также и математическое изображение функции / ( ) в виде сплошного спектра ( непрерывная совокупность линий ). Такое представление называется разложением в интеграл Фурье. С ним one-рируют в курсах, использующ их более сложный математический аппарат. ОднакО оно не дает физически ничего нового по сравнению с приведенным здесь рассмотрением. [c.536]

Получить ограниченную волну в виде нучка параллельных лучей ие удается. Например, вырезая часть фронта плоской волны с помощью диафрагмы, получают сложное волновое поле, рассмотренное в 1.6. В практике, однако, используют слаборасхо-дящиеся пучки лучей. Волну с произвольным фронтом можно представить в виде совокупности плоских воли путем разложения в интеграл Фурье по волновому вектору к. Для достаточно длительного акустического импульса, распространяющегося в направлении слаборасходящегося пучка лучей, используют формулы (1.11), но уже как приближенные. [c.18]

Для широкого класса сигналов, которые не являются ни периодическими, ни переходными, производить классическое разложение в ряд Фурье невозможно. Нельзя также использовать представление в виде интеграла Фурье. Часто причины этих флуктуаций не совсем ясны. Такие функции называются случайными функциями или случайными процессами. Анализ этих случайных сигналов основан на том, что их можно рассматрпвать статистически и, следовательно, описывать в соответствии с положениями теории вероятностей. С помощью обобщенного гармонического анализа статистическое описание случайного процесса можно связать с его спектром. [c.12]

Здесь Iq — среднее значение интенсивности, т (у, 7) — относительная спектральная (пространственная) плотность интенсивности. В частных случаях возможно разложение в ряд Фурье по скнусам или косинусам. Тогда при тех же обозначениях под т (v, 7) понимается уже относительная спектральная амплитуда или коэффициент пространственной модуляции интенсивности света. Точно так же можно разложить в ряд или интеграл Фурье реакцию кристалла, т. е. возникающее в кристалле пространственное распределение величины показателя преломления Ая х, у, z). [c.8]

В данной работе для количественного описания крупномаспЕтабных структур использован метод ортогонального разложения поля турбулентных пульсаций скорости. Описание этого метода можно найти в [3, 4]. Для исследования турбулентных течений он был предложен Ламли [5]. Идея ортогональных разложений естественна и вводилась для разных целей многими авторами (см., например, обзор в [5]). Идея метода заключается в представлении поля скорости в виде комбинации стандартных возмущений (колебаний) со случайными и некоррелированными коэффициентами. В однородной турбулентности таким представлением является разложение мгновенного поля скорости в интеграл Фурье по системе гармонических функций ехр(гкг). Коэффициенты разложения (амплитуды гармоник) оказываются некоррелированными случайными функциями волнового вектора к. В неоднородной турбулентности разложения скорости по гармоническим функциям также возможно, однако коэффициенты разложения коррелиро-ваны между собой. [c.431]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

X os 2nvt. Разложение этого выражения в интеграл Фурье дает лорен-цовскую форму линии (см. гл. V) [c.112]

Если в однородном и изотропиом случайном поле выделить какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь на этой прямой, то в результате получим случайную функцию одного переменного х. К ней можно применить все результаты, относяш,иеся к стационарным случайным функциям. В частности, можно записать разложение корреляционной функции в интеграл Фурье [c.37]

Наиболее последовательное использование представления о том, что среднее значение f и пульсация f функции I отличаются в первую очередь характерными периодами (или длинами волн) состоит в определении среднего значения f как части разложения функции f в интеграл Фурье. отвечаю-щей интегрированию по области значений соответствующей переменной (частоты или волнового числа), меньших по абсолютной величине некоторого фиксированного числа ро. Легко понять, что в этом случае условия (3.3), (3.4), (3.5) и (3.6) будут выполняться ) будут выполняться также и первые два из условий (3.7 ), следующизс из (3.7). Однако общее условие (3.7) здесь, вообще говоря, не будет иметь места для его выполнения необходимо наложить на рассматриваемые функции и д некоторые весьма специальные условия, несовместимые с предположением о том, что их преобразования Фурье всюду отличны от нуля (см. по этому поводу подробное исследование Изаксона (1929), а также заметку Кампе де Ферье (1951). [c.165]

Качественное интегрирование существенно- облегчит и количественное интегрирование или, точнее, облегчит решение тех количественных вопросов, которые возникают в физике колебаний. В конечном счете теория колебаний не интересуется численными значениями функций в тот или другой частный момент времени ее в основном интересуют те количественные характеристики, которые определяют протекание этой функции на значительных отрезках времени, например в случае периодической функции — ее период, величины коэффициентов разложения в ряд Фурье, спектральный состав для функций, изобразимых при помощи интеграла Фурье, и т. д. [c.34]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...