Спектральное разложение стационарных процессов

СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ 5.1р Спектральное разложение стационарных процессов [c.207]

Рассмотрим связь между спектральным разложением стационарного процесса и обычным интегралом Фурье (см., например, [165]). Функция / (<) может быть разложена в интеграл Фурье, если сходится интеграл от / (t) , взятый в бесконечных пределах, и если / (<) имеет лишь разрывы типа конечных скачков [c.18]

СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ [c.7]

Спектральное разложение стационарных процессов [c.7]

Спектральное разложение стационарных случайных процессов. Стационарный процесс и (() может быть представлен в виде обобщенного интеграла Фурье [c.272]

Спектральное разложение стационарных н стационарно связанных процессов. [c.275]

Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характеристики производных случайного процесса. Например, по известным взаимным спектральным плотностям (а) находят взаимные корреляционные функции обобщенных скоростей и ускорений [c.292]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов u t) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) просто переносится и на однородные случайные поля и х), В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция 2(Асо) = 2( [со со2]) = 2(со2) — (соО [c.216]

Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов и ( ) (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) можно перенести и на однородные случайные поля (х). В этом случае роль гармонических колебаний играют плоские волны а случайная функция Z(Д(й) Z [(йр 2]) — 2(с 2) — Z( 1) от интервала оси частот (О здесь заменится случайной функцией 2(ДЛ) от многомерного интервала ДА = к, к"] — параллелепипеда (или, в случае полей на плоскости, прямоугольника) в пространстве волновых векторов к. Обозначив г йк) Z [k, А + йк ) = dZ к), можно записать спектральное разложение однородного случайного поля и х) в виде [c.20]

Заметим, что в силу условия (13.18) функция ( ) может быстро стремиться к бесконечности при приближении к нулю тем не менее формула (13.19) всегда имеет смысл, так как возрастание Я ( ) компенсируется стремлением к нулю функции 1 — os т (пропорциональной 0)2 при малых ю). Функция Е ( ) (или F( ) — E ( )/2) называется спектральной плотностью (или, короче, спектром) процесса со стационарными приращениями и (/). а представления (13.15) и (13.19) — спектральными разложениями этого процесса и его структурной функции. [c.81]

Алгоритм (49) позволяет воспроизводить на ЭВМ последовательности и сколь угодно большой длины, которые с самого начала обладают свойством стационарности. Весовые коэф([)ициенты а могут быть вычислены различными способами. Эффективным является способ, основанный на разложении в ряд Фурье спектральной плотности моделируемого процесса. Преобразование (49) при этом берется в виде [c.281]

Применение метода спектральных представлений. Стационарный и стационарно связанный векторный процесс f (О допускает каноническое спектральное разложение в форме [c.290]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Заметим, впрочем, что спектральные разложения существуют не только для обычных стационарных процессов, но и для более широкого класса стационарных в широком смысле процессов, удовлетворяющих лишь условиям [c.208]

Можно показать, что любой стационарный случайный процесс u t) допускает спектральное разложение, обобщающее разложение (5.1). При этом в общем случае надо считать, что п->оо в формуле (5.1), и допустить, что частоты юь. .., п могут неограниченно сближаться и их число на заданном интервале оси м может оказаться бесконечным (но сумма комплексных амплитуд Zk конечна). Обозначим сумму амплитуд Zk, отвечающих частотам (uk < U, символом Z( o). Тогда 2(о)) будет комплексной случайной [c.209]

Реальный физический смысл спектрального разложения (5.10) виден из того, что спектральные компоненты процесса, отвечающие отдельным участкам спектра, могут быть выделены экспериментально при помощи соответственно подобранных фильтров. Как известно, фильтрами называются устройства, пропускающие гармонические колебания из определенного интервала частот, но задерживающие колебания прочих частот. Если вещественный стационарный процесс (5.10) пропустить через фильтр с полосой пропускания А = [ 1, 2], то на выходе фильтра мы получим процесс [c.210]

Остановимся теперь вкратце на вопросе о спектральном разложении производных стационарного процесса u t). Производную [c.213]

Спектральное разложение многомерного стационарного процесса и(/) имеет вид [c.216]

Выше приводилась формула (17.2), представляющая корреляционную функцию действительного стационарного случайного процесса в виде интеграла Фурье. Предполагая, что процесс / (О стационарный и для него существует как корреляционная, так и структурная функция, мы можем на основании формулы (15) получить спектральное разложение структурной функции D (т) [c.29]

Локально однородное случайное поле может быть представлено в виде спектрального разложения, аналогичного разло кению процесса со стационарными прираш ениями (28.3) [c.41]

Рассмотрим сначала случай стационарного процесса и (/). Предположим, что и(/) = 0 (иначе вместо u. t) надо лишь рассмотреть процесс и (<)== (О — и(0)- Смысл спектрального разложения процесса и (О проще всего понять на следующем наглядном примере. Пусть и 1) — случайная функция (вообще говоря, комплексная )) [вида [c.8]

Перейдем теперь к вопросу о спектральном разложении процессов u(i) со стационарными приращениями (и отвечающих им структурных функций )(т)). При этом удобно начать со случая дифференцируемых процессов. В этом случае производная u (t) = v(t) будет стационарным процессом, имеющим спектральное разложение вида (11.10), [c.79]

Покажем теперь, что из спектрального разложения процессов со стационарными приращениями можно вывести также и ограничения на скорость роста D(t) при т->со, полученные на стр. 78 другим способом. В самом деле, применяя первое из элементарных неравенств [c.82]

Задача 15. Методом спектральных разложений получить корреляционные функции смещений (<) = х(<)а (0) и скоростей f t) = г)(<)г)(0) брауновской частицы, двигающейся в вязкой среде в поле и х) = ты х /1, в случае, когда процесс блужданий уже стал стационарным. [c.176]

Проанализируем Удалее характер распределений для и (t) и у ( ). Функция и (t) имеет известное распределение, вытекающее из решения исходной стационарной задачи. Если при решении этой задачи использован спектральный метод, то плотность вероятности для функции и () можно получить путем разложения и t) в ряд по степеням гауссовского процесса. При помощи такого разложения можно аппроксимировать также любое заданное распре- [c.152]

Воспользовавшись результатами примера 1) на стр. 20 и тем обстоятельством, что разложение (3) совершенно аналогично разложению (17. 2) для стационарного случайного процесса, можно сразу же написать одномерную спектральную плотность V (х) [c.39]

С помощью метода матрицы плотности описывается стационарный отклик нелинейной среды на несколько одновременно приложенных монохроматических электромагнитных полей. Разложение в ряд Фурье по степеням амплитуд приложенных полей особенно удобно для описания параметрического отклика в спектральных областях, в которых поглощение мало. По. мере приближения к резонансам материальной системы общий формализм позволяет выявить связь между Параметрическими процессами и одно- и многофотонными поглощательными и излучательными процессами. Обобщено проведенное ранее рассмотрение двух- и трехуровневых систем. Обсуждается также реакция произвольной нелинейной среды на электромагнитные поля. [c.383]

Это и есть общее спектральное разложение стационарного процесса и ), впервые полученное Колмогоровым (1940а) и Крамером (1942) (см. также Дуб (1956), Розанов (1990) или Яглом [c.209]

Это и есть общее спектральное разложение стационарного процесса u t), впервые полученное Колмогоровым (1940а) и Крамером (1942) (см. также Дуб (1953), Яглом (1952), Розанов (1963)). Смысл этого разложения в силу (11.9) состоит в возможности сколь угодно точной аппроксимации любого стационарного случайного процесса и (i) суммой некоррелированных между собой гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами ). [c.10]

Спектр МОЩНОСТИ. Большинство случайных процессов стационарны по времени, т. е. их общий характер с течением времени не изменяется. Это означает, что функции, описывающие эти процессы, не имеют оЬраза Фурье, поскольку они не абсолютно интегрируемы (функция не стре- мится к нулю при г со), Следовательно, применить обычные методь и понятия спектрального анализа к этим функциям нельзя. Да это и нецелесообразно, поскольку в случайных процессах интересны лишь среДние характеристию , а фазовые соотношения между гармоническими составляющими в спектральном разложении не имеют значения. Кроме того, полностью не известна функциональная зависимость случайных функций от времени. Поэтому в Фурье-анализе случайных процессов используются более подходящие для этих целей величины и понятия, [c.82]

Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл. [c.207]

Мы видим,, что корреляционная функция здесь зависит лишь от I2 — и, как это и должно быть для стационарного случайного процесса. При некоторых дополнительных условиях, налагаемых на величины Zk (и автоматически выполняюш,ихся, в частности, в случае, когда многомерные распределения вероятностей для величин ReZA и ImZfe все являются гауссовскими), все высшие моменты и конечномерные распределения вероятностей значений u(t) также будут зависеть лишь от разностей соответствующих моментов времени, т. е. процесс u f) будет стационарным. Равенство (5.1) и будет в таком случае задавать спектральное разложение этого стационарного процесса. [c.208]

Подобно тому как сам стационарный случайный процесс /(i) может быть представлен в виде стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса (19.2), процесс со стационарными приращениями также может быть представлен в виде спектрального разложения. Проще всего это разложение можно получить, используя то обстоятельство, что производная (t) — от процесса со стационарными приращениями / (i) сама является стационарным случайным процессом. Следовательно, (<) можно представить в виде разложения (19.2) [c.32]

Это представление стационарных случайных процессов и однородных случайных полей в виде суперпозиции гармонических колебаний или плоских волн является простейшим частным случаем возможного при весьма широких условиях представления случайной функции в виде суперпозиции компонент фиксированного фуикциоиального вида со случайными взаимно, некоррелированными коэффициентами (см., например, Яглом (1962, 1063). Ламли (1967)). Для случайных функций, определенных на Конечном интервале или в конечной пространственной области, такое обобщенное спектральное представление имеет вид разложения по специальной счетной системе ортогональных функций для функций в неограниченных областях оно записывается в виде интегрального разложения по континуальной системе функций, совпадающей с системой одномерных или многомерных гармоник лишь в случае стационарных процессов и однородных полей. [c.8]

Заметим, впрочем, что все факты, касающиеся спектральных разло- ений, справедливы не только для обычных стационарных процессов, но и ля более широкого класса процессов, удовлетворяющих лишь условиям (О = onst и B ti, = — ti) (так называемые стационарные в ши-юком смысле процессы). Аналогично об61гоит дело и в отношении рассма-риваемого в следующем пункте спектрального разложения однородных лучайных полей. [c.9]

Реальный физический смысл спектрального разложения (11.10) иден из того, что спектральные компоненты процесса, отвечающие I этом представлении отдельным участкам спектра, могут быть вы-[елены экспериментально при помощи соответственно подобранных Ьильтров. Как известно, фильтрами называются устройства, протекающие гармонические колебания из определенного интервала 1астот, но задерживающие колебания прочих частот. Если веществен-1ЫЙ стационарный процесс (11.10) пропустить через фильтр с поло-ой пропускания Д —[ р 2], то на выходе фильтра мы получим [роцесс [c.11]

Можно показать, что спектральные разложения такого же вида существуют и для любого недифференцируемого процесса u(t) со стационарными приращениями. Единственным различием по сравнению с дифференцируемым случаем является то, что в общем случае спектр E((u), определяемый соотнощением (13.17), может не убывать на бесконечности столь быстро, чтобы интеграл (13.18) был конечным. Вместо этого надо только, чтобы при любом о > О выполнялись неравенства [c.81]

Представляет интерес сравнить результаты, получаемые методом Райса, с результатами, которые следовали из анализа стохастического уравнения движения (см. результаты задач 28 из гл. 2 и 13, 29 из гл. 2 н 14 и др.) Они разные. Это и понятно в методе стохастических уравнений переход от одного этапа эволюции к следующему (от первой грубой шкалы t г к последующей < 1/Г) был полностью согласован в методе же Райса этого согласования нет (см. обсуждение в задаче 28 из гл. 2). Различие появляется уже при определении корреляционной функции Ap(t)Ap(t + At) (см. задачу 28), которая в метоле спектральных разложений в своем исходном виде уже не зависит от I, Ap t)Ap t + Д<) = тве" , а процесс приближения этой функции к стационарной не фиксируется (в отлтие от метода стохастических уравнений). [c.176]

Для введения спектральных моментов рассмотрим стационарный случайный процесс t) с математическим ожиданием т-- = = М ( ) = 0. Спектральная плотность S (со) и корреляционная функция Rl (т) такого процесса, являясь парой преобразования Фурье (3), за исключением условия нормировки обладают всеми основными свойствами, характерными для функций плотности вероятности (1.1.2) и характеристической функции (1.1.3). Следовательно, пользуясь разложением ехр (/озт) в ряд Маклоре-на, на основе (3) можно записать [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...