Эйконал уравнение

Эйконала уравнение Гамильтонова оптика 133, 134 Гауссова кривизна 97, 98 [c.652]

Эйконала уравнение 116 Эффективное поле 7 [c.312]

Уравнение (12.33) называется эйконалом, поскольку оно определяет фазу (эйконал). Уравнение (12.34) связывает амплитуду и фазу волны и называется уравнением переноса. Процесс распространения волны приближенно описывается уравнениями (12.33) и (12.34) в том случае, когда [c.251]

Эйконал, уравнение 44 Эйнштейна коэффициенты 705 >— принцип относительности 623 — формула 606 Эйри кружок 357 [c.751]

Эйконала уравнение А Эолова арфа 127, 1г Эффект Доплера 36, ) 119, 154 [c.206]

Эйконала уравнение 235 Эйри интеграл 425 [c.613]

Резюмируя, можно утверждать, 4jo введение понятия эйконала и вывод основных уравнений (для А —> О позволили строго обосновать взаимосвязь геометрической оптики и электромагнитной теории света. Выявилось также, что постулаты, часто используемые для обоснований построений и законов геометрической оптики (например, принцип Ферма), могут рассматриваться как прямые следствия общей теории распространения электромагнитных волн и целесообразность их применения определяется лишь удобством решения тех или иных задач. [c.277]

Получите уравнение эйконала и рассмотрите пример его использования для описания искривления лучей в оптически неоднородной среде. [c.458]

Эквивалентность уравнений Гамильтона — Якоби и эйконала была установлена Гамильтоном в 1834 г., а соответствующее волновое уравнение было получено де Бройлем и Шредингером [c.342]

Канонические преобразования, скобки Пуассона и Лагранжа, уравнение Гамильтона — Якоби, эйконал. [c.441]

Эти уравнения являются основными в описании и расчете характеристик усиления при некогерентном взаимодействии в приближении плоских волн> В более сложных случаях (неплоские волны) вместо уравнений (1.111) и (1.112) записывается система из трех уравнений для интенсивности излучения, инверсии населенностей рабочих уровней активной среды и эйконала поля излучения. Использование подобных уравнений в расчетах будет продемонстрировано в гл. IV. [c.31]

Есть два способа построения геометрической оптики. Первый, наиболее общий, связан с уравнением эйконала [1, 7, 8]. Второй — с вычислением интеграла Френеля — Кирхгофа методом стационарной фазы. Преимущество этого способа состоит в том, что он позволяет рассматривать геометрические и дифракционные эффекты с единой точки зрения (см. приложение 1). Именно таким образом строится дифракционная теория аберраций [7]. В нелинейной оптике первому способу соответствует [c.57]

Уравнение эйконала. Любая ю компонент амплитуды полей световых волн в вакууме удовлетворяет волновому уравнению (2.12). В среде, скорость распространения электромагнитных волн в которой i , волновое уравнение принимает для любой из компонент вид [c.118]

Первое из этих уравнений есть известное уравнение эйконала, а второе определяет изменение сечения трубки. Эти последние результаты вполне согласуются с обычной геометрической акустикой. [c.77]

Чтобы выяснить, как искривляются лучи в оптически неоднородной среде, получим из уравнения эйконала (7.5) дифференциальное уравнение для лучей. Радиус-вектор г точки Р, лежащей на луче, будем рассматривать как функцию длины дуги I. Тогда dr/d/=S и из (7.5) находим ndr/d/=VS. Продифференцируем это уравнение по I и преобразуем правую часть следующим образом d/d/(VS)= V(dS/d/)= Vn [здесь мы воспользовались тем, что dS/d/=V5 s=n]. Таким образом, [c.330]

Как из уравнения эйконала ns=VS получить дифференциальное уравнение для лучей [c.336]

Как из уравнения эйконала получить закон преломления лучей на границе раздела сред Сформулируйте принцип Ферма. Как его доказать с помощью основного уравнения геометрической оптики Приведите примеры применения принципа Ферма. [c.336]

Сначала, в 21, рассматривается лучевая структура полей в средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической оптики. [c.217]

Амплитуду А и эйконал 5 будем искать из требования, чтобы решение, записанное в форме (21.4), удовлетворяло волновому уравнению, и при этом используем условие, что к велико. Это можно сделать несколькими способами. Простейший из них состоит в том, чтобы искать А в виде лучевого разложения по обратным степеням к [c.219]

ЧТО функция 5 (гь Гу) удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда А(ги Гу) — уравнению переноса. Таким образом, [c.227]

Если показате.дь преломления одинаков для всех точек области (п = onst), то в такой оптически однородной среде. лучи прямолинейны. В частности, одним из простейших решений уравнения эйконала будет. линейная функция = n(aix -t- 9. / + 32). где aj, (Х2, аз — направляющие косинусы, для которых справедливо соотношение = 1. Следовательно, такое решение [c.272]

Умножив обе части равенства (6. 15) на gradS и сравнивая полученное выражение с исходным уравнением эйконала (6.15), замечаем [c.273]

Еслн уравнение (67,3) решено и эйконал ij) как функция координат и времени известен, то можно найти также и распре-деленне интенсивности звука в пространстве. В стационарных условиях оно определяется уравнением divq = 0 (q — плотность потока звуковой энергии), которое должно выполняться во всем пространстве вне источников звука. Написав q = сЕп, где Е — плотность звуковой энергии (см. (65,6)), и пмея в виду, что п есть единичный вектор в направлении к = У115, получим следующее уравнение [c.367]

Полученное нами уравнение известно в геометрической оптике как уравнение эйконала. Определяемые им поверхности L = = onst являются поверхностями постоянной фазы и, следовательно, определяют фронт волны. Все световые лучи будут перпендикулярны к этим поверхностям и, следовательно, тоже будут определяться уравнением (9.94). [c.340]

Опираясь на механику Гамильтона—Якоби и на результаты развития геометрической оптики в трудах Бельтрами, Липшица, Брунса, Ф. Клейна, Дебая, Зоммерфельда и Рунге, которые с помощью уравнения эйконала придали геометрической оптике обобщенный вид и нашли для ее соотношений векторное выражение, Шредингер исходил из гамильтоновой аналогии. Он применил неевклидово мероопределение ( 8 = 2Т(д , и все последующие рассуждения вел в пространстве конфигураций. Воспользовавшись построением ортогональных некоторому лучу поверхностей дей- ствия и уравнением Гамильтона—Якоби и показав, что эти поверхности распространяются в пространстве в виде волнового фронта, Шредингер пришел к выводу, что принцип Гамильтона выражает собой принцип Гюйгенса в его до-френелевой формулировке. Отсюда, воспользовавшись соотношением Я = Шредингер получает свое основное волновое уравнение, [c.861]

Хотя при выводе соотношения (1.6) ДОЭ предполагались плоскими, это свойство, как легко убедиться, нигде не использовалось. Поэтому все полученные соотношения и все сделанные выводы справедливы и для ДОЭ, расположенных на поверхностях произвольной формы. При этом функции Т)), Фо( , Т)), ФтСЕ.т)) задаются на криволинейной поверхности элемента, т. е. они в неявном виде включают в себя уравнение поверхности z = z l,y]), которое предполагается однозначным. Отметим, что для того, чтобы дифракционный элемент на криволинейной поверхности сформировал волну, эйконал которой был бы равен эйконалу записи, требуется, чтобы фронт падающей волны совпал с поверхностью элемента только в этом случае в соотношении (1.7) можно положить Ф = 0. [c.14]

Частные производные эйконала волнового поля, заданного на криволинейной поверхности, уже не имеют смысла направляющих косинусов светового луча, поскольку не совпадают с компонентами градиента эйконала в принятой системе координат. Развернем в данной точке ДОЭ систему координат таким образом, чтобы новая ось 2 совпала с нормалью к поверхности элемента. Эту систему координат назовем системой нормали и обозначим ее оси х, т)х, 2х. Теперь в окрестности рассматриваемой точки эйконалы всех волновых полей оказываются заданными в плоскости, касательной к поверхности элемента (в плоскости х х), следовательно, их производные по координатам Ех, Лх опять имеют смысл направляющих косинусов лучей, но уже в системе координат нормали. Найти производные функций Ф(Е, т)) по Ех и т)х достаточно легко, так как координаты , т] и х, rix связаны известными формулами для поворота системы координат [8] (естественно, при этом необходимо знать конкретное уравнение поверхности ДОЭ). В общем виде можно записать [c.16]

Основной инструмент при создании дифракционных элементов— фотошаблон или комплект фотошаблонов, если элемент должен иметь структуру с многоступенчатым профилем. Бинарный рисунок каждого фотошаблона ДОЭ образуется линиями, вдоль которых эйконал записи ДОЭ постоянен (назовем их изофазами). Поэтому для изготовления фотошаблона нужно прежде всего найти уравнение изофаз, в которое как параметр входила бы величина эйконала записи. Когда изофазы найдены, рисуют комплект фотошаблонов для изготовления многоступенчатого ДОЭ, что можно делать различным образом. Применяемый в настоящее время, по-видимому, наиболее рациональный способ состоит в следующем. [c.202]

Как уже отмечалось, чтобы изготовить фотошаблон (или комплект фотошаблонов) ДОЭ, необходимо прежде всего рассчитать структуру элемента, т. е. найти уравнение его изофаз. Для осевых ДЛ изофазы являются окружностями в силу аксиальной симметрии этих элементов, поэтому остается только получить зависимость радиуса окружности от эйконала записи ДЛ. Для того чтобы решить эту задачу, обратимся к данному в гл. 1 выражению для эйконала записи осевой ДЛ (1.19), которое представим здесь в следующем виде [c.206]

Соотношения (7.19), которые можно назвать уравнениями структуры осевой ДЛ, дают радиусы изофаз с точностью до седьмого порядка малости. В некоторых случаях можно получить точные уравнения структуры. Так, в двухлинзовом дифракционном объективе, работающем с увеличением р = —1, линзы не имеют сферической аберрации, причем у каждой из них один отрезок бесконечен. Следовательно, эйконал записи дается выражением (7.15) при = 0. Обращая формулу (7.15) при указанных условиях, получим точное уравнение структуры [c.208]

Получить из выражения (7.20) уравнение структуры асферики можно следующим образом. Вначале извлечем из эйконала записи квадратный корень, используя известные формулы извлечения корня из ряда [8], которые в данном случае приводят к выражению [c.209]

Для асферик не исключена ситуация, когда эйконал записи меняет свой знак в пределах светового диаметра элемента. Аналитическое обращение ряда (7.20) в этом случае осуществляют отдельно для каждого участка монотонности эйконала записи (но не для участков постоянного знака), однако получаемые выражения довольно сложны. Гораздо проще и удобнее найти уравнение структуры численно. Для этого составляют таблицу вида Фд. — р , где Фц. — результат подстановки р в выражение (7.20). Все точки таблицы берутся на участке монотонности [c.209]

В случае однородной среды интегрирование уравнения (2.3.10) дает ф(г) = к-г, где к = 2тги/Х. Вывод уравнения (2.3.10) мы предлагаем читателю провести самостоятельно в качестве упражнения (задача 2.5). Уравнение (2.3.10) называется в геометрической оптике уравнением эйконала. Поверхности постоянной величины ф, определяемые этим уравнением, представляют собой поверхности постоянной оптической фазы, или волновые фронты. Световые лучи определяются как траектории, ортогональные волновым фронтам ф т) = onst, и, следовательно, описываются также уравнением [c.41]

Ход доказательств в волновом варианте теории в общих чертах сводится к следующему. Для того чтобы определить значение, которое принимает волновая функция восстановленного излучения на поверхности изофазного слоя, в выражении (1) эйконал восстанавливающей волны L, в соответствии с уравнением (4) заменяется эйконалом объектной волны Lq, просуммированным с некоторой величиной Р, постоянной для всех точек данного изофазного слоя. При этом волна переходит в волну и, следовательно, одиночный изофазный слой уже способен восстановить объектную волну. Суммарное действие объема голограммы учитывается интегрированием по всем изофазным слоям в пределах изменений параметра Р, соответствующих изофазным поверхностям, проходящим через крайние точки объема голограммы (Р, и Рг на рис. 2,а). Нетрудно показать, что результатом такого интегрирования является зависимость в виде б-функции от длины восстанавливающей волны. Иными словами, интенсивность восстановленного голограммой излучения отличается от нуля только в том случае, когда длина волны этого излучения близка к длине волны излучения, используемого при записи голограммы. Таким [c.695]

Лучи и фронты. В этом и следующем пунктах мы будем исследовать уравнение (21.7). Решение задачи по определению поля в неоднородной сре е (да и вообще любой высокочастотной задачи) следует начинать с нахождения эйконала 5. Зная эту функцию, можно построить волновые фронты они задаются уравнением S — onst. [c.220]

Лучи в слое будем характеризовать их координатой в плоскости 2 — 0, обозначив в этой плоскости X через Таким образом, на плоскости 2 = 0 заданы начальная амплитуда Л( , 0)= 1 и эйконал 5( ) = sin0. Уравнения геометрической оптики имеют в данном случае вид ( ) [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...