ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Существование и единственность решений из "Вычислительная гидродинамика " Математические проблемы существования и единственности решений уравнений в частных производных, описывающих течения жидкости, далеки от своего завершения как для самих дифференциальньтгуравнений, так и для их конечно-разностных аналогов. В 1961 г. появилась монография Ладыженской, посвященная этим проблемам для стационарного течения вязкой несжимаемой жидкости изложение существа ее работы дано Эймсом [1965]. Основываясь на сравнении задачи о течении несжимаемой жидкости, описываемом уравнениями Навье — Стокса, с другими задачами, Эймс (с. 480) предполагает, что единственное стационарное решение существует только ниже некоторого неизвестного предельного значения числа Рейнольдса, выше этого значения в некотором интервале чисел Re существует несколько решений и, наконец, выше некоторого другого, также неизвестного, значения числа Рейнольдса решений вообще не существует. (Однако Эймс также задается правомерным вопросом, справедливы ли сами стационарные уравнения Навье — Стокса для чисел Рейнольдса, превышающих некоторое значение, при котором возникает турбулентность.) При конечно-разностном решении этой задачи положение может еще более усложняться из-за неясности граничных условий. [c.24] Существование решения представляет собой в некотором смысле меньшую проблему в том случае, когда расчеты ведутся по нестационарным уравнениям, а этот подход оказался, вообще говоря, наиболее успешным при решении полных уравнений для течения вязкой жидкости. Будучи уверенными в справедливости нестационарных уравнений Навье — Стокса, мы склонны думать, что численное решение, полученное по физически реальным начальным условиям, имеет.определенную ценность. Если же стационарного решеиия не существует, то, проводя нестационарные конечно-разностные расчеты, мы можем убедиться в этом. Может случиться, однако, что непрерывное течение, которое неустойчиво по отношению к малым возмущениям, будет оставаться., устойчивым при численном моделировании. Это может иметь место как при крупномасштабной неустойчивости (такой, как отрыв вихрей), так и при мелкомасштабной турбулентности в сдвиговом слое. Кроме того, внесение в полные уравнения Навье — Стокса приближенных допущений (например, линеаризации Буссинеска) лишает уверенности в существовании решения. Это особенно относится к тем случаям, когда приходится работать с непроверенными уравнениями состояния. Годунов и Семендяев [1962] показали, что при использовании определенного класса уравнений состояния численное решение газодинамических задач может быть неединственным. [c.25] Вопрос о единственности полученного численного решения вызывает даже большее беспокойство просто потому, что существует много примеров (как физических, так и чисто математических) неединственности стационарных решений. Наиболее очевидным примером физической неединственности течений являются работа двухрежимных приборов струйной автоматики и две устойчивые ориентации вихревой нити при обтекании стенки с полусферической выемкой (Снедекер и Дональдсон [[1966]). В этих случаях имеет место выбор между двумя зеркально-симметричными картинами. [c.25] При рассмотрении всех этих примеров естественно напрашивается следующий вопрос к какому из решений должна сходиться численная схема, если она вообще сходится к какому-либо решению На этот вопрос нельзя дать определенный ответ. Необходимо руководствоваться физическим опытом, т. е. экспериментом и интуицией, для проверки разумности получаемых решений. Появление более строгих критериев зависит от разработки более совершенной математической теории, которая появится в будущем. [c.26] Вернуться к основной статье