Четаева функция

Так, в случаях, исследованных Ляпуновым и Четаевым, функции Ха (х, t) представляют собой линейные формы переменных Xs с постоянными или непрерывными и ограниченными коэффициентами р г, Ла (х, ) представляются рядами по целым степеням х , начинающимися членами не ниже второго порядка малости, с ограниченными коэффициентами. Критерий Ляпунова был обобщен Э. Коттоном и К. П. Персидским (1936-1937). [c.47]

Теорема Н. Г. Четаева. Если в изолированном положении равновесия потенциальная энергия, предполагаемая аналитической функцией обобщенных координат, не имеет минимума, то равновесие неустойчиво. [c.311]

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия V (q) является однородной функцией q и если в положении равновесия она не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. [c.228]

Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что > 0) и, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция V принимает положительные значения (область V 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова. [c.51]

Для линейных сил положительного сопротивления диссипативная функция Р введена в 1873 г. Релеем. Определение полной и частичной диссипации для таких сил дано Четаевым. Здесь приведены обобщения этих понятий на произвольные силы сопротивления 138]. [c.160]

Прежде чем перейти к теореме Четаева о неустойчивости движения, необходимо дать дополнительное определения области F > О (см. 2.4). Совокупность значений переменных х , удовлетворяющих в области (7.1) неравенству V х, t) О, называется областью F > О, а поверхность V х, i) = Q — границей последней. Для функции V х, t), зависящей явно от t, граница области [c.220]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области V О, существующей в сколь угодно малой окрестности пуля переменных Х - при всех t производная которой V в силу этих уравнений была бы определенно-положительной (функцией в области V О, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.220]

Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V xi Ж2,..., Хт) такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область V > О и во всех точках области V > О производная V в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.525]

Функцию У, удовлетворяющую теореме Четаева о неустойчивости, называют функцией Четаева. [c.526]

Достаточно заметить, что при условиях теоремы 2 выполняются условия теоремы Четаева о неустойчивости. Действительно, пусть функция V определенно-положительна. Тогда, в силу того, что V не является знакопостоянной функцией, противоположного с V знака, существует область V > О, расположенная сколь угодно близко к началу координат, и в этой области V > 0. [c.527]

Если W тождественно равна нулю, то из (27) сразу следует, что функция V положительна в области V > О, которая обязательно существует в сколь угодно малой окрестности начала координат (при необходимости, когда, например, функция V определенно-отрицательна, надо вместо V взять функцию —V). Следовательно, если W = О, то условия теоремы Четаева выполнены. [c.527]

Значит, в этих точках П — нечетная функция бф и по теореме Четаева соответствующие равновесия неустойчивы (см. 18.3, раздел 2). [c.403]

Изменение энергии П, будучи функцией нечетной степени, знакопеременно, и, значит, по теореме Четаева положение ф = 0 в точке бифуркации неустойчиво. [c.409]

Освоение методов Ляпунова, в связи с запросами к теории устойчивости в механике, физике, технике, астрономии, обусловило интенсивное развитие теории. Начало этому положено трудами Н. Г. Четаева и возглавленной им Казанской школы механиков. В монографии Н. Г. Четаева предложены различные видоизменения и дополнения теорем, составляющих у Ляпунова основу метода F-функций. Число авторов и работ по теории устойчивости весьма велико. В последующем изложении мы ограничимся в основном периодом, заканчивающимся в начале 50-х годов, и только вкратце охарактеризуем основные направления развития. [c.126]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

Для доказательства рассмотрим функцию Четаева вида [c.581]

Следуя методу Н. Г. Четаева [73], будем искать функцию Ляпунова L в виде квадратичной связки интегралов [c.387]

В настоящее время так называемый прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова ), являвшийся у Ляпунова и Четаева основным в задачах устойчивости, получил весьма широкое распространение как один из самых мощных качественных методов исследования дифференциальных уравнений самого общего вида, включая, например, уравнения функционального анализа в линейном банаховом пространстве. Кроме старых задач устойчивости движения механических систем, эти методы позволяют рассматривать новые задачи теории автоматического [c.11]

При построении К-функций неизбежно встает вопрос всегда ли при наличие в системе того или иного типа устойчивости сушествует К-функция с соответствующими свойствами Возникает проблема обращения теорем МФЛ, впервые поставленная Н.Г. Четаевым еще в 30-е годы XX столетия перед участ- [c.89]

Укажем также условие неустойчивости равновесия, найденное Н. Г. Четаевым ) равновесие неустойчиво, если потенциальная энергия является однородной функцией обобщенных координат и в равновесном положении при д =. .. = = О не достигает минимума. [c.435]

Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей движение по геодезическим левоинвариантной метрики 1у. Вычислим скобку Пуассона двух функций Г и С, заданных на дуальном пространстве д. Для этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом Г и вычислить производную от функции С в силу этой системы. В переменных т,д эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2) д [c.28]

О, то вектор е существует и единственен с точностью до сдвигов вдоль вектора р. Положим К[р, е) = Н[с х р,р). Утверждается, что если функции e(i) и p(i) удовлетворяют каноническим уравнениям ё = —дК/др, р = дК/де, то функции m(i) = e(i) х p(i) и p(i) удовлетворяют уравнениям Четаева (3.15). Для доказательства вы- [c.40]

Определение. Функцию У( , х), удовлетворяющую условиям а) - в), будем называть функцией Четаева для системы уравнений (2). [c.433]

Теорема. Если для системы (2) существует функция Четаева, то решение х = О системы (2) неустойчиво. [c.433]

Так как существует функция Четаева, то можно указать А.0 > О и точку Хо Ф О, принадлежащую шару I х < 6(8) и области [c.433]

Г), где G S) определяется функцией Четаева. [c.433]

Следовательно, У = 51 2 функция Четаева и движение неустойчиво. [c.434]

Канонические уравнения Четаева. И. Четаев [3-6] преобразовал уравнения Пуанкаре к каноническому виду введением вместо и 1/ ( , ж. Г ) новых переменных уз и функции iii (i, ж, у), определенных уравнениями [c.16]

Функция ] названа Четаевым главной частью полного интеграла. Из (2.27) следует, что интегралы (2.26) можно записать в виде [c.26]

Приведем в этой связи несколько выдержек из статьи Н. Г. Четаева (1936). К объяснению какого-либо механического явления природы сначала подходят с определенными гипотезами о коренных движущих силах, что позволяет для переменных изучаемой материальной системы писать некоторые дифференциальные уравнения движения. В том случае, когда решения этих дифференциальных уравнений кладут значения изучаемых функций Фд вблизи их опытных данных (в пределах ошибок эксперимента), гипотезу принимают за закон природы, по крайней мере до тех пор,, пока не обнаружатся в опыте новые и несовместимые с принятой гипотезой факты... [c.14]

Теорема 1 (теорема Четаева о пеустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмуи енного движения таковы, что существует функция V Х, Х2,. .., х, ) такая, что в сколь угодно малой окрестности (I) существует область F>0 и ео всех точках области F > О про- [c.376]

Теорема Четаева. сли дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область F О, и если производная V функции F, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области V > О, то певозмущенное движение неустойчиво. [c.49]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Теорема Четаева. Если потенциальная энергия П коя-серватавной системы является однородной функцией отклонений qi,. ., qn и в положении равновесия qi —. .. = = О не имеет минимума, то это положение равновесия неустойчиво. Примеры. 1. Пусть П = Л(1 — osa ) п=. Функция П [c.199]

Н. Г. Четаевым, который предложил взять линейную комбинацию (с постоянными коэффициентами) левых частей первых интегралов системы дифференциальных уравнений движения (либо их квадратов и произведений), подобрав коэффициенты так, чтобы это выражение было положительно знакоопределенной функцией. Сам Четаев таким образом исследовал устойчивость движения продолговатого снаряда по настильной траектории и получил обоснование известного критерия устойчивости, выведенного в свое время выдающимся баллистиком Н. В. Маиевским. [c.135]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области У>0, существующей в сколь угодно малой окрестности невозмущенного движения, производная которой dvidt, взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы определенно положительной в области 1/>0, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.579]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Мысль о введении нескольких функций Ляпунова для упрощения исследования устойчивости, по-видимому, впервые высказал П. Дюгем в самом начале XX столетия [Duhem, 1902]. Однако непосредственное влияние на развитие этого направления теории устойчивости оказали последующие результаты Н.Г. Четаева 30-х годов, получившего условия неустойчивости с двумя функциями Ляпунова [Четаев, 1946]. [c.92]

Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть V = V(t, х) - функция t е R и X е R , определенная при i iq и I х1 Н (Н >0), обладаюгцая следуюш,ими свойствами [c.432]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...