Функция Ляпунова и функция Четаева

Функция Ляпунова и функция Четаева. [c.29]

Метод Четаева был применен для получения функции Ляпунова и при исследовании других случаев движения твердого тела. Для теории гироскопов имеет значение проведенное этим методом самим Четаевым исследование устойчивости вертикального волчка с учетом массы колец его карданова подвеса при вертикальной оси внешнего кольца. В. В. Румянцев исследовал устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной оси при различных допущениях, в том числе и для волчка Ковалевской. На основе метода Четаева дано новое доказательство устойчивости регулярной прецессии волчка Лагранжа. Тем же методом пользовались при исследовании устойчивости вращения твердого тела, подвешенного на струне. [c.135]

В настоящее время так называемый прямой метод Ляпунова (или метод функций Ляпунова ), являвшийся у Ляпунова и Четаева основным в задачах устойчивости, получил весьма широкое распространение как один из самых мощных качественных методов исследования дифференциальных уравнений самого общего вида, включая, например, уравнения функционального анализа в линейном банаховом пространстве. Кроме старых задач устойчивости движения механических систем, эти методы позволяют рассматривать новые задачи теории автоматического [c.11]

Характер поведения возмущенных движений, определенный той или иной функцией V из классических теорем I, И, IV Ляпунова и теоремы 2 Четаева, лежащих в основе метода функций Ляпунова, является не только необходимым, но и достаточным условием существования такой функции. При этом выяснилось, что свойства гладкости функций V могут быть намного выше, чем гладкость правых частей уравнений возмущенного движения (1.1) (Н. Н. Красовский, 1959, 1966). [c.20]

При решении вопросов обращения основных теорем метода функций Ляпунова было выяснено, что при условиях теорем I, II, IV Ляпунова и теоремы 2 о неустойчивости Четаева наряду с доказываемым свойством устойчивости имеют место некоторые дополнительные свойства (равномерность асимптотической устойчивости и др.). В связи с этим возник вопрос о том, как эти дополнительные свойства связаны с тем или иным ограничением, налагаемым на соответствующую функцию Ляпунова. Выяснение этого вопроса приводит к разнообразным обобщениям и модификациям основных теорем метода функций Ляпунова. Предложенные многими авторами обобщения и модификации выясняют связь свойств функций Ляпунова со свойствами траекторий (ослабление равномерности и т. д.), уточняют оценки качества устойчивости, облегчают построение функций V для конкретных задач путем ослабления требований к этим функциям и т. п. [c.21]

Так, в случаях, исследованных Ляпуновым и Четаевым, функции Ха (х, t) представляют собой линейные формы переменных Xs с постоянными или непрерывными и ограниченными коэффициентами р г, Ла (х, ) представляются рядами по целым степеням х , начинающимися членами не ниже второго порядка малости, с ограниченными коэффициентами. Критерий Ляпунова был обобщен Э. Коттоном и К. П. Персидским (1936-1937). [c.47]

Метод Четаева оценок свойств систем при помощи квадратичных функций Ляпунова получил широкое распространение, и рядом исследователей были получены полезные для практики эффективные оценки скорости затухания переходного процесса в нестационарных системах. [c.50]

Известно [20], [47], [71], [87], [133, осесимметричным гравитационным полем допускает круговые решения. В. Г. Деминым получены [87], [134] необходимые и достаточные условия устойчивости таких орбит материальной точки (спутника). Необходимые условия получены с помощью теоремы Ляпунова первого метода ( 3,05). Достаточные условия получены с помощью способа Четаева ( 3.07) образования линейной, относительно параметров и ( 3.07), и квадратичной, относительно первых интегралов, связки (задача имеет два известных первых интеграла [87]), т. е. функция Ляпунова отыскивается в виде [c.847]

Действительно, по условию теоремы Ляпунова производная определенно-положительна во всех точках окрестности нуля (не нарушая общности, можно считать, что > 0) и, следовательно, она определенно-положительна и в той области, в которой функция V принимает положительные значения (область V 0). Таким образом, выполнены все условия теоремы Четаева, что служит доказательством теоремы Ляпунова. [c.51]

Освоение методов Ляпунова, в связи с запросами к теории устойчивости в механике, физике, технике, астрономии, обусловило интенсивное развитие теории. Начало этому положено трудами Н. Г. Четаева и возглавленной им Казанской школы механиков. В монографии Н. Г. Четаева предложены различные видоизменения и дополнения теорем, составляющих у Ляпунова основу метода F-функций. Число авторов и работ по теории устойчивости весьма велико. В последующем изложении мы ограничимся в основном периодом, заканчивающимся в начале 50-х годов, и только вкратце охарактеризуем основные направления развития. [c.126]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Важным для обоснования универсальности метода функций Ляпунова является вопрос об обратимости основных теорем, лежащих в основе этого метода. Действительно, если вторым методом Ляпунова пользоваться как основным при решении задач устойчивости, то должна быть уверенность, что соответствующие функции в самом деле существуют. Сам А. М. Ляпунов не рассматривал вопроса о существовании в общем случае функций, удовлетворяющих его основным теоремам. Этот вопрос впервые был поставлен Н. Г. Четаевым перед участниками его семинара по устойчивости в Каэаня и к настоящему времени разрешен трудами ряда советских и иностранных ученых. Первой работой в этой области была статья И. Г. Малкина (1930), в которой рассматрива лись автономные системы второго порядка. Было показано, что для устойчивого установившегося невозмущенного движения может не существовать знакоопределенной не зависящей от времени функции, производная которой в силу уравнений возмущенного движения была бы знакопостоянной противоположного знака однако можно найти такую функцию, зависящую явно от времени. [c.18]

Метод Четаева построения функций Ляпунова из известных первых интегралов уравнений возмущенного движения оказалось возможным применить также в задачах устойчивости движения по отношению к части переменных (В. В. Румянцев, 1957 М. Е. Темченко, 1958) и в задачах устойчивости твердых тел с полостями, содержащими жидкость (В. В. Румянцев, 1955, 1959—1960). [c.36]

Вопрос о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия консервативной системы был поставлен, как известно, В. Томсоном (лордом Кельвином), установившим ряд теорем. Эти теоремы Кельвина впервые были строго даказаны приь1енением функций Ляпунова в весьма изящной форме Четаевым (1946), обратившим при этом внимание на принципиальную и прикладную важность введенных Кельвином понятий вековой и временной устойчивости и возможность гироскопической стабилизации. Впоследствии, например, Четаев (1956) показал, что равносторонний треугольник в плоской задаче трех тел неустойчив при постоянстве угловой скорости со вращения луча соединяющего какие-либо два тела из трех, и его нельзя стабилизировать добавлением каких-либо гироскопических сил. В случае движения относительно центра масс системы, когда onst, вообще, лапласов треугольник не имеет вековой устойчивости, но может иметь гироскопическую устойчивость. [c.38]

Близкий к методу Четаева возможный способ построения функций Ляпунова для линейных уравнений с переменными коэффициентами предложил Я. Н. Ройтенберг (1958). Этот способ состоит в выделении из коэффициентов уравнений части, не зависящей от времени. Система преобразуется так, чтобы выделенная постоянная часть имела канонический вид, корни характеристического уравнения которой были бы простыми. Функция Ляпунова V строится далее в виде суммы квадратов новых переменных со знаком минус. Условия устойчивости доставляются условиями определенной положительности У, накладывающими на переменные части коэффициентов некоторые ограничения. Успешность решения задачи зависит от удачного разделения уравнений на постоянную и переменную части. Для большей гибкости процедуры предлагается варьировать функцию Ляпунова введением коэффициентов перед квадратами переменных. Этот способ Я. Н. Ройтенберг (1965) распространил в дальнейшем на линейные уравнения в конечных разностях. Роль производной функции Ляпунова здесь уже играет в силу системы первая разность функции Ляпунова (см. Ю. И. Неймарк, 1958). [c.43]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Под обращением теоремы Лагранжа понимается доказательство неустойчивости положения равновесия консервативной системы, если для него силовая функция 7 не имеет максимума. Эта задача до исследований Четаева была решена Ляпуновым лишь для следующих двух частных случаев 1) в положении равновесия 17 имеет изолированный минимум, и это обнаруживается из рассмотрения совокупности членов наинизшего порядка в разложении этой функции по степеням приращения координат 2) отсутствие максимума силовой функции обнаруживается по членам второго порядка в разложении 17 в указанный ряд. П. Пенлеве показал на примере, что ставить задачу обращения теоремы Лагранжа имеет смысл лишь для изолированных положений равновесия. [c.17]

В работе А. Г. Пилютика и П. А. Талалаева (1965) приводятся некоторые соображения о преимуществах неравенств Четаева вида (12.1) по сравнению с другими оценками и дается способ построения квадратичной формы V. Функция V строится по методу Ляпунова как решение уравнения [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...