Уравнения Четаева

Обозначим через ЬХ . 8у , проекции на координатные оси перемещений бГг точек данной системы, удовлетворяющие уравнениям Четаева, т. е. уравнениям [c.94]

Такую систему можно назвать системой типа Гаусса или типа Четаева. Для такой системы, как на это впервые указал Н. Г. Четаев. будет, очевидно, справедлив и принцип Даламбера — Лагранжа, т. е. сумма элементарных работ заданных сил и сил инерции на всяком перемещении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равна нулю. [c.95]

Уравнения (2.3) являются частью гамильтоновой системы, описывающей движение по геодезическим левоинвариантной метрики 1у. Вычислим скобку Пуассона двух функций Г и С, заданных на дуальном пространстве д. Для этого надо рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом Г и вычислить производную от функции С в силу этой системы. В переменных т,д эти уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (2.2) д [c.28]

От уравнений (3.14) можно перейти к уравнениям Четаева [c.39]

О, то вектор е существует и единственен с точностью до сдвигов вдоль вектора р. Положим К[р, е) = Н[с х р,р). Утверждается, что если функции e(i) и p(i) удовлетворяют каноническим уравнениям ё = —дК/др, р = дК/де, то функции m(i) = e(i) х p(i) и p(i) удовлетворяют уравнениям Четаева (3.15). Для доказательства вы- [c.40]

Обобщенные уравнения Четаева [c.16]

Канонические уравнения Четаева. И. Четаев [3-6] преобразовал уравнения Пуанкаре к каноническому виду введением вместо и 1/ ( , ж. Г ) новых переменных уз и функции iii (i, ж, у), определенных уравнениями [c.16]

Подставив (2.1), (2.2) в уравнения Пуанкаре (1.15), получим канонические уравнения Четаева [c.17]

Обобщенные уравнения Четаева содержат как частные случаи [c.17]

Используя интеграл энергии, можно понизить порядок уравнений Четаева на два. Действительно, разрешим интеграл Н" х у) + /г = О относительно переменной 1, так что [c.18]

Канонические уравнения Четаева являются уравнениями Гамильтонова типа в неканонических переменных. [c.19]

Докажем теперь, что канонические уравнения Четаева (2.3) и (2.4) могут быть выражены в виде [c.21]

Сравнивая правые части уравнений (2.3) и (2.4) с формулами (2.14), убеждаемся в справедливости (2.13). Это доказывает, что канонические уравнения Четаева являются гамильтоновыми уравнениями в неканонических переменных. Уравнения такого вида, которые зачастую более удобны, чем уравнения Гамильтона в канонических переменных, изучаются в современной теории гамильтоновых систем [27, 37, 38]. Следовательно, для таких систем справедливы результаты Четаева [3-6. [c.21]

Канонические уравнения Четаева (2.3) при (5 =0 могут быть выведены из принципа (2.17), принимая во внимание уравнения (1.11) [c.22]

Поэтому уравнения Четаева (2.3) эквивалентны уравнениям [c.23]

Обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева для неголономных систем. Уравнения Пуанкаре, подобно уравнениям Больцмана-Гамеля, применимы для описания движения голономных и неголономных систем. Эта задача была уже исследована в работах 14-17], как и в работах [21-23], где уравнения Четаева были рассмотрены в этом смысле. [c.29]

С помощью преобразования Лежандра (2.1) уравнения движения неголономной системы (3.6) преобразуются к виду канонических уравнений Четаева [c.31]

Они называются уравнениями Четаева [66]. [c.148]

Сосчитаем скобку Пуассона двух функций f ш h, определенных на дуальном пространстве g они зависят только от переменных rai,..., га . Для этого надо (следуя общему правилу) рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом h и вычислить полную производную по времени функции / в силу этой системы. В переменных ж, га уравнения Гамильтона имеют вид уравнений Четаева (1.7) [c.175]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области V О, существующей в сколь угодно малой окрестности пуля переменных Х - при всех t производная которой V в силу этих уравнений была бы определенно-положительной (функцией в области V О, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.220]

Теорема (Четаева о неустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что существует функция V xi Ж2,..., Хт) такая, что в сколь угодно малой окрестности (1) существует область V > О и во всех точках области V > О производная V в силу этих уравнений принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.525]

Будем предполагать, что все корни уравнения (17.179), называемого характеристическим, простые, т. е. все они разные (нет кратных корней). В случае наличия кратных корней вопрос усложняется. Этот случай рассмотрен в книге Н. Г. Четаева Устойчивость движения (М. Наука, 1965). [c.136]

Подчеркнем также значение теорем Н. Г. Четаева, дающих признаки устойчивости и неустойчивости для того случая, когда система дифференциальных уравнений первого приближения неправильная [c.130]

Найдем достаточные условия устойчивости движений (6.1.12) —(6.1.14), следуя методу Н. Г. Четаева. Первый интеграл уравнений относительного движения спутника на круговой орбите (2.1.11) в случае динамической симметрии имеет вид [c.202]

Обосновываются и практически применяются новые и более общие формы принципов. В их числе принцип освобождаемости и общее уравнение для несвободных динамических систем принцип наименьшего отклонения, принцип изменяемого действия, включающий интегральный принцип равенства действия и противодействия, вириальный интегральный принцип, интегральный принцип для систем Четаева-Румянцева принцип изменения нарушения симметрии, используемый при решении проблем инерционности движения и гравитации принцип предикативности (логической и математической строгости) в механике. [c.1]

Отсюда приходим к заключению если к данной неголономной системе применйм принцип Гаусса, то сумма элементарных работ реакций неголономных связей на всяком перемеи ении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равна нулю. [c.95]

Таким образом, приходим к выводу для того чтобы к данной неголономной системе был применйм принцип Гаусса, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ реакций неголономных связей на всяком перемещении системы, удовлетворяющем уравнениям Четаева, равнялась нулю. [c.95]

Таким образом, приходим к заключению если к движению материальной точки, подчиненному неголономной связи (10), применйм принцип Гаусса, то элементарная работа реакции этой связи равна нулю на ьсяком перемещении точки, удовлетворяющем уравнению Четаева. [c.97]

Гамильтоновость уравнений (2.3) установлена Н. Г. Четаевым [8]. Обсуждение уравнений Четаева содержится в [3]. Выполним преобразование Лежандра системы (2.1), (2.3) при условии, что Т задано соотношением (3.3) [c.333]

Устойчивость состояния равновесия консервативной системы можно исследовать без составления уравнений движения. Для итого достаточно записать выражение для потенщшльиоп энер-гпи системы в возмущенном движении и истребовать выполнения условий ее минимума в исследуемом положеини равновесия (критерий Лагранжа). Неустохиивость устанавливается с помощью теорем Четаева (см. библиографические ссылки па стр. 268). [c.269]

Теорема 1 (теорема Четаева о пеустойчивости). Если дифференциальные уравнения возмуи енного движения таковы, что существует функция V Х, Х2,. .., х, ) такая, что в сколь угодно малой окрестности (I) существует область F>0 и ео всех точках области F > О про- [c.376]

Теорема Четаева. сли дифференциальные уравнения возмущенного движения позволяют найти функцию V (х), для которой в сколь угодно малой окрестности нуля существует область F О, и если производная V функции F, вычисленная в силу этих уравнений, положительна во всех точках области V > О, то певозмущенное движение неустойчиво. [c.49]

При достаточно малых по модулю значениях и и I производная Г будет не знакоопределенной, а только знакопостоянной функцией переменных ци t. Поэтому, пользуясь выбранной фунцией V (2.54), мы не можем применить теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости II неустойчивости движения. Ненрименима к ней и теорема Четаева о неустойчивости движения. Воспользуемся теоремами Красовского. В качестве многообраапя К возьмем совокупность точек, для которых и Ф О, i = О (на плоскости (i, и) это ось и). Покажем, что многообразию К не принадлежат целые траектории системы. Для этого внесем в уравнение движения (2.53) значения переменных i и и, определяющих К. При t = О и и О эти уравнения примут вид [c.74]

Книга содержит лезщии по университетскому курсу теоретической механики, а также но ряду ее дополнительных разделов, читанные в разное время (30-е — 50-е годы) известным советским ученым и замечательным педагогом чл.-кор. АН СССР Н. Г. Четаевым студентам и аспирантам Казанского и Московского университетов. Книга содержит кинематику, статику, динамику и аналитическую механику, а также оригинальные курсы лекций по теории уравнений Пуанкаре, теории притяжения, релятивистской механике и некоторым главам аналитической динамики. [c.2]

Спецкурс Уравнения Пуанкаре читался П. Г. Четаевым в 1955 г. В нем наряду с развитием идеи Пуанкаре об использовании так называемых групповых переменных для написания уравнений движения рассматривается вопрос интегрируемости уравнений связей, т. е. условий голопомности связей, на чем обычно в механике не останавливаются. [c.7]

Еще одно направление, в котором развивались исследования по аналитической механике,— применение понятия теоретически устойчивых двия№пий к исследованию действительных движений механики. Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создании аналитической механики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Чета-евым в работах 1931 — 1945 гг. Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случае их устойчивости в первом приближении уравнения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях [c.289]

Н. Г. Четаевым, который предложил взять линейную комбинацию (с постоянными коэффициентами) левых частей первых интегралов системы дифференциальных уравнений движения (либо их квадратов и произведений), подобрав коэффициенты так, чтобы это выражение было положительно знакоопределенной функцией. Сам Четаев таким образом исследовал устойчивость движения продолговатого снаряда по настильной траектории и получил обоснование известного критерия устойчивости, выведенного в свое время выдающимся баллистиком Н. В. Маиевским. [c.135]

Теорема Четаева о неустойчивости движения. Теорема. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти функцию V, ограниченную в области У>0, существующей в сколь угодно малой окрестности невозмущенного движения, производная которой dvidt, взятая в силу уравнений возмущенного движения, была бы определенно положительной в области 1/>0, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.579]

П. А. Кузьмин родился 16 ноября 1908 г. в Оренбурге. В 1925 г. он окончил в Сызрани среднюю школу, работал, учился в школе ФЗУ и в 1928 г. поступил на математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета. В 1932 г. закончил университет уже по аэродинамическому отделению и в том же году стал работать ассистентом в только что организованном на базе этого отделения Казанском авиационном институте. В 1935 г. он окончил аспирантуру, запдитив диссертацию по качественным методам дифференциальных уравнений под руководством профессора Н. Г. Четаева. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...