Колебания гармонического амплитуда дифференциальное уравнение

Часть обобщенной силы зависящую от сил сопротивления, считаем равной нулю. Постоянные Н, р и Ь, характеризующие гармоническую возмущающую силу, соответственно являются амплитудой, круговой частотой и начальной фазой этой силы. В этом случае, как и в случае собственных линейных колебаний, из уравнения Лагранжа в предположении, что для кинетической и потенциальной энергий справедливы формулы (2) и (3), получают дифференциальное уравнение [c.412]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Кроме основных колебаний с частотой возбуждения (о и супер-гармонических колебаний, в системах с нелинейной восстанавливающей силой при гармоническом возбуждении могут также одновременно происходить субгармонические колебания с частотами (о/я (п — целое число). Субгармонические колебания могут возникать при относительно больших частотах возбуждения, причем их амплитуда может быть большой и превосходить амплитуду первой гармоники. На рис. 7 показаны зависимости амплитуд /1, и от частоты возбуждения для системы, описываемой дифференциальным уравнением [c.31]

Наличие нелинейной муфты создает особенности в работе агрегата при динамических режимах, в частности затягивание резонанса в область высоких частот, возможность возникновения колебаний с частотой в целое число раз меньшей, чем частота возбуждающего момента. Уравнение движения системы с нелинейной муфтой имеет точное решение лишь в отдельных случаях. При расчетах таких систем большое значение имеет зависимость частоты k от амплитуды при свободных колебаниях. Эта зависимость в графической форме носит название скелетной кривой. Виды скелетных кривых для некоторых нелинейных зависимостей вместе с формулами, связывающими частоту с амплитудой, даны в табл. III.2. Для построения скелетных кривых обычно пользуются приближенными способами [15]. При этом заранее предполагают (например, на основании эксперимента) существование дифференциального уравнения движения и форму его периодического решения. При гармонической линеаризации считают, что режим колебаний близок к гармоническому. Решение в общем случае получаем в виде (р = фо + Ф os (и + а). Частота свободных колебаний (скелетная кривая) может быть найдена из приближенных формул [c.61]

Это есть дифференциальное уравнение гармонического колебания (61), которое мы рассмотрели выше. Следовательно, груз, подвешенный на пружине, совершает гармоническое колебание около положения равновесия. Амплитуда этого колебания определяется из начальных условий движения груза, а период колебания находится по формуле [c.439]

Из найденных решений дифференциальных уравнений движения следует, что в направлении осей Ох и Оу точка совершает гармонические колебания с частотой со и амплитудами Ау и Лз фазы колебаний (о +ф1 и со -1-ф2, начальные фазы ф1 и ф2. [c.40]

Из этой системы связанных уравнений следует исключить плотность инверсии и найти зависимость поляризации от напряженности поля [в предположении, что происходит гармоническое колебание с круговой частотой оао и с комплексной амплитудой ( о)]. Структура уравнений позволяет обнаружить наличие нелинейной зависимости решение этих уравнений можно выполнить методом последовательных приближений. Из первого дифференциального уравнения сначала определяется [c.291]

Показать, что при возбуждении линии источником гармонических колебаний с частотой со комплексные амплитуды напряжения О и тока / как функции продольной координаты х подчиняются дифференциальным уравнениям [c.45]

Таким образом, доказано, что решением уравнения движения (38.3) действительно является гармоническое колебание, описываемое формулой (38.4), в которой амплитуда А и начальная фаза (р определяются формулами (38.7) и (38.8) - это колебание называют вынужденным колебанием. В формуле (38.4) отсутствуют произвольные постоянные, и, следовательно, вынужденное колебание представляет собой не общее, а частное решение дифференциального уравнения (38.3). Можно показать, что [c.126]

Однако в общем случае эта система представляет собой систему трансцендентных уравнений, решение которой невозможно даже при условии, что входящие в нее интегралы могут быть вычислены. Поэтому построим заменяющую (эквивалентную) систему дифференциальных уравнений, решение которой при гармонической форме внешнего возмущения с точностью до амплитуды первой гармоники будет соответствовать решению системы (2.73). Последнее осуществим путем замены нелинейной системы подрессоривания соответствующим образом выбранной эквивалентной линейной системой. Линеаризацию проведем с таким расчетом, чтобы эквивалентная линейная система подрессоривания при заданных условиях движения машины по гармоническому профилю обеспечивала колебания корпуса, по первой гармонике соответствующие колебаниям корпуса с реальной нелинейной системой подрессоривания. [c.53]

Колебания корпуса при установившемся движении гусеничной машины по гармоническому профилю с точностью до амплитуды первой гармоники описываются системой эквивалентных дифференциальных уравнений (2.,99). [c.93]

Равенство (9.2) можно рассматривать как дифференциальное уравнение, эквивалентное системе (9.1). При гармоническом возмущении частное решение итого линейного уравнения будет определять выпу [ дениое колебание той же частоты (о, но другой амплитуды R при сдвинутой фазе (предполагается, что п аменатель передаточной функции (9.. .5) не имеет корней, рапных (о). Из птого следует, что выход а можно представить равенством [c.289]

О вынужденных колебаниях легко находится разлол<ив негармоническую внешнюю силу в гармонический спектр, можно свести задачу к предыдущей — определению амплитуд и фаз вынужденных колебаний, возникающих под действием гармонических составляющих спектра внешней силы. Именно то, что в линейных системах, описываемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами и являющихся очень широко распространенным классом систем, имеют место как устойчивость формы гармонических колебаний, так и принцип суперпозиции, придает исключительный физический интерес математическому приему разложения периодической функции в спектр, т. е. именно в гармонический ряд, а не в ряд каких-либо других функци11. [c.622]

Применяя прямое и обратное преобразования, а также теоремы комплексного исчисления и методы решения нелинейных алгебраических уравнений, Г. Е. Пухов решил ряд задач с доведением их до численных результатов. В частности, получены формулы для расчета периодических процессов и процессов установления в электрических машинах постоянного тока с учетом нелинейности дифференциальных уравнений, в магнитных усилителях, в статических утроителях частоты и др. Кроме того, им получены расчетные формулы для определения периода колебаний и амплитуд гармоник лампового генератора, рассчитаны периодический процесс в цепи параметрического генератора и переходные процессы в ряде систем автоматического регулирования. При этом выяснилось, что определение качества переходных процессов проще производить комплексным методом, а не наиболее распространенным методом трапецоидальных частотных характеристик. Если комплексным методом исследовать почти синусоидальные процессы в нелинейных системах, то можно убедиться в том, что в этом случае он будет тождественен методу гармонического баланса Н. М. Крылова и Н. Н. Бого-л1обова. Метод Г. Е. Пухова подробно изложен в его книге [13]. [c.94]

Вынужденные колебания (случай гармонического возмущения). При умеренном нелинейном демпфировании пользуются линеаризацией сил трения и приходят к дифференциальному уравнению (20). Коэффициент к (или п) эквивалентного линейного трения определяют из условия равенства энергии, рассеиваемой за один цикл в нелинейном (заменяемом) и линейном (заменяюще.м) элементах трения, при этом коэффициент оказывается зависящим от частоты и амплитуды колебаний (табл. 17). [c.266]

Все программы, расчета на ЭВМ состоят из двух частей. Первая часть включает описание системы уравнений станка, подпрограммы для расчета отдельных коэффициентов этой системы. Вторая часть включает стандартные программы для решения системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений (процессор). В процессоре используется метод комплексных амп-, литуд, при котором решение находится в виде линейной комбинации функции где —комплексная амплитуда ш — круговая частота гармонических колебаний, задаваемых правыми частями уравнений. Система решается для ряда значений (до 100) в заданном интервале частот. На печать выдаются значения выходной координаты и всех переменных системы уравнений станка, что позволяет графически построить амплитуднофазовую частотную характеристику и формы колебаний станка при любой частоте. Если известна характеристика резания и возмущения от привода и фундамента, то задача решается от начала до конца с помощью ЭВМ. [c.185]

Дифференциальное уравнение движения. Опыт с маятникол], описанный в начале гл. I, дает осциллограмму, практически не отличающуюся (если начальное отклонение невелико и запись длится не очень долго, ср. 2) от синусоиды маятник совершает гармоническое колебание. Если при = 0 мы отклоним маятник на больший угол, мы получим синусоиду с большей амплитудой. Если при I = О мы не отклоним [c.56]

Наиболее простым из сферических излучателей — излучателем нулевого порядка—является пульсирующий шар. Это — сфера некоторого радиуса а, поверхность которой совершает малые радиальные колебания, синфазные и одинаковые по амплитуде (рис. 41). Очевидно, что поле пульси-рующ,его шара есть поле шаровой волны решение соответ-ствующ,его дифференциального уравнения (2.12) для простого гармонического колебания можно написать в виде [c.92]

Оно представляет собой дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Если переменная физическая веяичина х(/1 удовлетворяет дифференциальному уравнению (Зб.З). можно утверждать, что она изменяется по закону гармонического колебания (36.3 с круговой частотой о> . равной квадратному корню из коэффициента при j /t в этом уравнении, и с амплитудой и начальной фазой, которые определяются через начальные данные формулами вида Oe.eV [c.116]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...