Классическая теория упругости однородные задачи

А — линейный оператор, соответствующий классической задаче теории упругости однородной среды В — линейный оператор, которым система (5.3) отличается от классической (за счет зависимости механических характеристик от координат) [c.44]

Рассмотрим. условие совместности деформаций в классической теории упругости, поскольку подобные соотношения б удут играть существенную роль в дальнейшем изложении. Вопрос заключается в определении вектора перемещений по заданному линейному тензору деформации е, согласно (2), поскольку компоненты е. имеют простой физический смысл и могут быть определены опытным путем. Имея шесть уравнений (2) относительно трех неизвестных функций Mi, задачу можно решить наложением определенных условий на величины е . Разделим тело на элементарные объемы (кубики) и сообщим каждому из них деформацию (локальная деформация полагается однородной внутри кубика). Деформированные кубики можно сложить в сплошную среду только при определенной согласованности деформации отдельных кубиков. В обычном случае для вектора перемещений в точке ri можно записать [c.100]

Таким образом, рассматриваемый случай приводится к двум связанным и последовательно решаемым задачам классической плоской теории упругости однородного изотропного поля. Поэтому многие краевые задачи для системы уравнений (5.13) при помощи предложенного подхода можно решить в квадратурах. Рассмотрим плосконапряженное состояние пластин кусочно-постоянной толщины. [c.263]

Таким образом, мы подходим к теории упругости анизотропного тела с позиций классической линейной теории упругости однородного или неоднородного тела. При этом, конечно, из нашего поля зрения выпадают динамические задачи, задачи об устойчивости и колебаниях, о больших деформациях и некоторые другие и задачи для неупругого анизотропного тела. [c.14]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

Ha первом этапе итерационного процесса разыскивается решение Uq первого из уравнений (5.5) при заданных граничных условиях. Очевидно, что система функций Uq является решением классической задачи теории упругости для заданной области. На последующих этапах находятся решения ц,-, при этом правая часть соответствующих уравнений может рассматриваться как некоторые фиктивные объемные силы или результат воздействия фиктивного температурного поля. Граничные условия на всех последующих этапах итерации однородны. Если на первом этапе в силу тех или иных причин [c.44]

Имеются существенные основания предположить полезность, если не точность, теории эффективного модуля даже при наличии градиентов макроскопических напряжений. Решение задачи о свободной кромке и успешные оценки для задач с локальным повреждением, таким, как трещины слоев, свидетельствуют об этом. Кроме того, необходимо отметить, что модели, построенные с учетом теории эффективного модуля, коррелируют с разрушением, описываемым на основе таких эмпирических законов разрушения, как законы классической механики упругого разрушения и критерий для средних напряжений. Однако это не подтверждает, что данные модели тщательно обоснованы, так как прямого экспериментального доказательства точного влияния этих геометрических особенностей просто не существует. Таким образом, физика процесса разрушения в композитах остается такой же тайной, как в однородных материалах, и наше понимание разрушения сильно зависит от информации, полученной из эксперимента Следовательно, моделирование с помощью теории эффективного модуля дает приближенные, а не точные, результаты, для которых требуется экспериментальное подтверждение. [c.12]

В простейшем и наиболее важном для приложения случае линейной теории однородных изотропных упругих тел задача сводится к разысканию интегралов вырожденной гиперболической системы дифференциальных уравнений теории упругости или системы уравнений термоупругости, которая не относится к классическим каноническим типам, удовлетворяющих в некоторой области D X [О, оо) заданным начальным и граничным условиям (I, 14 и 15). [c.312]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

Это физически линейные соотношения. Материалы, для которых имеет место линейная связь (3.1) называются гиперупру-гими. Мы будем рассматривать геометрически и физически линейные задачи. Такие задачи являются предметом классической теории упругости. Однородность заключается в том, что и и Л постоянны. Обобщённый закон Гука выведен в предположении изотермичности процесса деформаций. [c.238]

В работе Кира (Кеег) [1] (1964) используются представления о силах сцепления и плавности смыкания берегов трещины. В рамках классической теории упругости определяются напряжения сцепления и область трещины, где действуют напряжения сцепления. Рассмотрена осесимметричная трещина в случаях однородного растяжения и сдвига, а также аналогичная двухмерная задача при однородном растяжении. В книге Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица [1] (1965) дано изложение теории плавно смыкающейся трещины в упругой среде при помощи математического аппарата теории дислокаций. Отмечено, что в своем буквальном виде изложенная теория... фактически применима к идеально хрупким телам, т. е. сохраняющим линейную упругость вплоть до разрушения (таким как стекло, плавленый кварц) . [c.403]

Начало исследований, посвященных вопросу развитая трещин, относится к 1913 г., ко гда появилась работа Инглиса [1], в которой в рамках классической теории упругости была решена задача о равновесии бесконечного тела с изолированной эллиптической полостью в однородном поле напряжений. Впоследствии Н. И. Мусхелишвили [2] получил решение для более сложного случая произвольного поля апряжений. [c.73]

Макроскопическая трещина — предмет изучения собственно механики — имеет размеры, превышающие на несколько норяд-ков размер наибольшего структурного элемента, содержащего в себе достаточное количество кристаллических зерен для того, чтобы свойства его не отличались от свойства любого другого элемента тех я е размеров, который можно выделить из материала. Именно это условие позволяет решать задачу о трещине в рамках механики сплошной среды. Сформулированное условие относится к идеальной для применимости теории ситуации, в действительности это требование может быть смягчено, что приводит к известным натяжкам, но не делает теорию беспредметной. Но считая материал сплошным, однородным, упругим и пользуясь аппаратом классической линейной теории упругости, мы приходим неизбежным образом к парадоксальному выводу о том, что напряжения по мере приближения к концу трещины растут неограниченно. Этот парадокс служит расплатой за простоту, свя-заиную с распространением линейной теории упругости на область, где она заведомо неверна. [c.9]

В работах В. А. Карташова 47, 48] и Р. Я. Сунчелеева [136 общих свойств исходных уравнений указано на возможность моделирования неоднородных сред некоторого типа однородными. Результаты этих исследований позволяют использовать классические решения в задачах теории упругости неоднородных тел, [c.39]

Таким образом, расчет усредненного поля напряжений в композите с макротрещиной сводится к классической задаче теории упругости для ор-тотропного однородного упругого тела с математическим разрезом. Эта задача может быть эффективно решена во многих случаях [1]. При этом оказывается, в частности, что с точностью до некоторого множителя распределение напряжений и деформаций вблизи фронта трещины будет одним и тем же для тел различной конфигуращш и внешних нагрузок, а коэффициент интенсивности напряжений К зависит лишь oi нагрузок и формы тела. При этом на продолжении трещины вблизи ее конца имеет место то же соотношение, что и в изотропном однородном теле [c.101]

Что касается классической линейной теории упругости для однородных изотропных тел. то здесь первая теорема существования была получена для первой краевой задачи Фредголь-мом [8] ) в качестве приложения открытых им фундаментальных теорем об интегральных уравнениях. Ту же задачу и тоже с использованием теории интегральных уравнений Фредгольма рассматривали также Лауричелла [21], Марколонго (24] и позже Лихтенштейн 123]. [c.143]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

История вопроса, насыщенная дискуссиями и порой драматическая, восходит, конечно, к классическим трудам Л. Эйлера [331 ] о выпучивании упругих сжатых стержней. В фундаментальных монографиях и обзорных работах [4, 46, 51, 52, 60, 85, 103, 104, 116, 130, 134, 189, 194, 204, 206, 222, 240,265, 300, 311, 321] можно найти сведения об эвлюции взглядов на проблему устойчивости, обсуждение различных подходов к постановке задачи — статического, энергетического, метода неидеальностей, динамического метода и областей их применимости, сопоставление экспериментальных и расчетных теоретических результатов, обсуждение путей дальнейшего развития теории и т.д. Следует отметить, что большинство глубоких результатов в задаче устойчивости относится к однородным изотропным оболочкам и получено в рамках гипотезы недеформируемых нормалей. Несмотря на значительные достижения [52, 60, 117, 265 и др. ], задача устойчивости слоистых анизотропных композитных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью разработана с меньшей полнотой и требует дальнейших исследований. [c.59]

Рассматривается плоское напряженное состояние кусочно однородной упругой плоскости, в которой на линии раздела сред (действительной оси) расположена классическая открытая трегцина и отслоивгиееся тонкое гладкое жесткое включение. Плоскость на бесконечности нагружена с заданными напряжениями и врагцениями. С использованием теории краевых задач на римановых поверхностях найдены явно в элементарных функциях комплексные потенциалы, коэффициенты интенсивности напряжений (КИП). Рассмотрены примеры, приведены графики КИН. [c.301]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...