Суммы действительных случайных

Суммы действительных случайных переменных [c.37]

Учитывая случайный характер сочетаний действительных размеров деталей в изделии, воспользуемся уравнением для определения дисперсии суммы независимых случайных величин [c.98]

С увеличением объема выборок алгебраическая сумма случайных отклонении стремится к нулю, а величина х — к действительному значению измеряемого параметра. Степень приближения характеризуется средней квадратической погрешностью среднего арифметического [c.99]

Влияние случайных погрешностей измерения можно свести к минимуму многократным измерением одной и той же величины с последующим вычислением среднего арифметического из результатов измерения. Это обусловлено тем, что с увеличением числа измерений алгебраическая сумма случайных отклонений стремится к нулю, и, следовательно, среднее арифметическое из результатов измерения приближается к действительному значению измеряемой величины. Степень приближения характеризуется средней квадратической погрешностью среднего арифметического [c.27]

Чтобы подытожить наши результаты, покажем, что в пределе при очень больших N совместная плотность распределения действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров асимптотически (приЛ оо) принимает вид [c.53]

В предыдущем параграфе мы говорили о совместном распределении действительной и мнимой частей суммы случайных фазоров. Но во многих приложениях больший интерес представляет распределение длины а и фазы 0 результирующего фазора [c.54]

Наше приближение основывается на том, что при s сг мы имеем дело (рис. 2.16) с малым облаком распределения, центр которого совпадает с концом очень длинного известного фазора. В этом случае с очень большой вероятностью длина результирующей суммы случайных фазоров будет намного меньше длины известного фазора. Вследствие этого изменения длины а полного результирующего фазора определяются действительной частью суммы случайных фазоров, а изменения [c.59]

Читатель, возможно, уже заметил сходство статистических свойств функции Л12(7 ) со статистическими свойствами суммы, состоящей из постоянного фазора и суммы случайных фазоров (гл. 2, 9 п. Г). Однако имеется существенная разница между данным случаем и рассмотренным в гл. 2, 9, п. Г. В рассматриваемом здесь случае действительная и мнимая части не равны друг другу, тогда как в предыдущем случае они равны. Поэтому, вообще говоря, статистические свойства величины и фазы функции Л12(7 ) не совпадают со статистическими свойствами случайных переменных Л и 9 в гл. 2, 9, п. Г. [c.251]

Статистические свойства суммы, состоящей из постоянного фазора и суммы случайных фазоров с различными дисперсиями вдоль действительной и мнимой осей, исследовались ранее в литературе [6.18]. Плотность распределения такой суммы оказывается зависящей от двух ключевых параметров — коэффициента асимметрии [c.251]

Имеется одна тонкость, касающаяся метода случайных блужданий. В гл. 2, 9 было показано, что если число членов в сумме (Б.2) быстро растет, то, согласно центральной предельной теореме, распределение действительной и мнимой частей суммы асимптотически стремится к гауссовскому распределению. Это справедливо независимо от того, имеют ли фазы, связанные с индивидуальными вкладами, одинаковые распределения. Но по предположению действительная и мнимая части асимптотически являются совместно гауссовскими случайными переменными, т. е. они вместе описываются гауссовской плотностью распределения второго порядка [формула (2.9.5)]. В то время как гауссовский характер их маргинальных плотностей следует из центральной предельной теоремы, их совместный гауссовский характер менее очевиден. [c.507]

При изготовлении одинаковых деталей в больших количествах данные измерений наносят на карты или точечные диаграммы, одна из которых в качестве примера показана на фиг. 39. Из фигуры видно, что по точечной диаграмме довольно трудно уловить изменение измеряемой характеристики качества (например диаметра) детали, происходящее под влиянием систематически действующих факторов. Действительно, отклонение размера каждой отдельной детали является алгебраической суммой отклонений, появившихся под действием как систематически действующих, так и случайных факторов. [c.259]

На диаграмме записывают также суммы значений параметров в выборке Х(, наибольшие х,, и наименьший Х( , значения параметра (в табл. 4.3 не указаны). С увеличением числа измеряемых деталей (что имеет место при большом числе выборок) алгебраическая сумма случайных отклонений стремится к нулю, а величина х - к действительному [c.75]

При симметричных законах распределения средний арифметический размер определяет эмпирический центр группирования, около которого располагаются размеры большинства деталей в партии (см. табл. 4) и от которого отсчитываются случайные отклонения (погрешности). Разность между действительным размером или значение м середины интервала и и средним арифметическим размером I называется его отклонением от среднего (остаточной погрешностью). Алгебраическая сумма отклонений от среднего равна нулю. [c.66]

При многократном измерении одной и той же величины каждое измерение содержит, как правило, ту или другую погрешность, разной величины и знака. При этом случайные погрешности компенсируют одна другую, и согласно теории вероятностей при большом числе измерений сумма случайных погрешностей измерений приближается к нулю. Поэтому среднее арифметическое значение результатов многократных измерений представит собой практически значение действительной измеряемой величины А, если число измерений весьма велико и систематические погрешности предварительно исключены. В противном случае разность между средним арифметическим М и действительным значением А будет представлять систематическую погрешность измерения. [c.247]

Если фазы комплексных чисел А изменяются при изменении п случайным образом, то фазы большого числа членов в сумме (4.46) распределены случайно и среднее значение должно быть очень малым. Значение (и) будет максимальным, если фазы всех чисел Ап одинаковы. В действительности для этого достаточно, чтобы фаза коэффициента /1 1 отличалась от фазы коэ ициента А на одну и ту же величину ф при любом п. Таким образом, величина (и) имеет максимальное значение при [c.461]

Мы будем рассматривать такие переменные А. которые являются суммами большого числа микроскопических (молекулярных) переменных. Для рассматриваемых здесь экстенсивных параметров это всегда имеет место. Непосредственно видно, что таким свойством обладает число частиц (или масса) для малого объема. Энергия малой подсистемы также обладает указанным свойством. Действительно, внутри областей, для которых мы определили переменные А (число частиц в них имеет величину порядка 10>2—10 ), находится большое число групп, содержащих 100—1000 частиц, причем энергией взаимодействия между этими группами можно пренебречь (эту энергию можно рассматривать как поверхностный эффект). Можно, далее, показать, что переменные А ведут себя как суммы большого числа независимых случайных переменных, так что мы имеем право воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей. Это приводит к следующему гауссову распределению [c.185]

Сглаживаемая линия была получена в результате проведения измерений макета, и ее можно рассматривать как результат наложения на гладкую линию случайных колебаний, возникающих вследствие неизбежной неточности макета. Другими словами, результат измерений - это сумма К + К1 гладкой составляющей К и случайных колебаний К1, причем частота составляющей К1 тем больше, чем чаще расположены точки замера на линии. Так как на линиях большой протяженности располагается много точек замера, то составляющая К1 имеет относительно большую частоту и относительно малую амплитуду. Малая амплитуда добавки К1 при значительной длине линии не позволяет оценить гладкость линии на небольшом экране дисплея. Действительно, чтобы оценить характер развития линии, нужно рассматривать линию целиком. При этом масштабирование линии приводит к тому, что малая амплитуда добавки К1 становится меньше разрешающей способности дисплея и случайные колебания заметить не удается. Если вместо самой кривой изобразить график зависимости ее кривизны от натурального параметра, то амплитуда добавки К1 умножится на квадрат ее частоты и случайные колебания станут заметными. [c.93]

При большом количестве стандартных деталей и узлов, из которых формируется машина, каждую деталь или узел можно рассматривать как случайную величину, а машину в целом как сумму большого числа независимых случайных величин. Слагаемые этой суммы подчиняются самым разнообразным законам распределения. Но если выполняются именно эти условия, то в соответствии с формулировкой известной теоремы Ляпунова (при неограниченном увеллче-нии числа слагаемых случайных величин плотность вероятности суммы подчиняется нормальному закону распределения) следует ожидать, что габаритные пропорции гаммы станков могут быть близки друг к другу. А если вкусам коллектива конструкторов в действительности отвечает золотое сечение, то с большой долей вероятности можно ожидать проявления и закрепления в этих пропорциях золотого сечения. [c.77]

Та), или имеется лишь одна составляющая с известной (определенной) начальной фазой ф, то сумма (t, Tq)] представляет модель нестационарного по математическому ожиданию случайного процесса. Действительно, определяя его статистические характеристики осреднением по выборочному ансамблю нз N реали- [c.283]

Результаты многих исследований показывают, что даже при испытании достаточно большого количества образцов в каждом варианте величина а отклоняется от единицы [23, 34, 40, 46, 52, 56, 66, 67, 76—79]. Эти отклонения имеют детерминированную и случайную составляющую. Детерминированная составляющая возникает из-за того, что действительные закономерности накопления усталостных повреждений более сложны, чем простое линейное суммирование относительных долговечностей. Так, например, вполне отчетливо проявляется тренировка (при а < < сгк) и разупрочнение (при сг > а ) при одноступенчатом однократном изменении амплитуды напряжений (а — амплитуда начальной тренировки — амплитуда напряжений при испытаниях образцов после тренировки). Заметные отклонения От линейной гипотезы получаются при наличии в программном блоке амплитуд, которые меньше предела выносливости и амплитуд >(Т-1д наряду с большими кратковременными перегрузками. В этих случаях сумма относительных долговечностей а может снижаться до значений а = 0,05-г-0,10. Случайная составляющая связана со значительным рассеянием как самих долговечностей N и Л/ ум так и их средних значений Ni и Мсуш (при числе образцов п = == 5-Г-20), входящих соответственно в выражения (5.17) и (5.31). Поэтому при исследовании закономерностей накопления усталостных повреждений при меняющихся амплитудах необходим статистический подход, позволяющий выявить соотношение между детерминированной и случайной составляющими величины а, и тем самым получить более обоснованные выводы о действительных закономерностях накопления усталостных повреждений. Не-учет случайной составляющей, имевший место во многих работах, в ряде случаев приводил к недостаточно обоснованным выводам. Приближенная оценка доверительных интервалов для суммы относительных долговечностей а показывает [23], что при среднеквадратическом отклонении логарифма долговечности 0,2 и справедливости линейной гипотезы в среднем (медианное значение а = 1) 95% доверительный интервал для а составляет 0,6 < <а < 1,6 при условии вычисления а по формуле (5.31) по средним значениям Л/сум и Ni, найденным по результатам испытания 15—20 образцов на каждый вариант при = 0,6 аналогич- [c.170]

Вычисления упрощаются, если предположить, что оптическая ширина полосы Ау падающего излучения намного больше ширины полосы В электрических сигналов, поступающих на вход схемы умножения. Такое предположение уже делалось в предыдущем пункте по другим соображениям. Оно хорошо выполняется для истинно тепловых источников, но требует осторожности в случае квазитепловых источников. Если действительно у В, то из выражения (6.3.17) видно, что электрический ток 1к () в любой момент времени равен интегралу по большому числу интервалов корреляции полей падающих волн. Поскольку поля падающих волн рассматриваются как комплексные круговые гауссовские случайные процессы (тепловое излучение), отсутствие корреляции означает их статистическую независимость каждый ток в действительности равен сумме большого числа статистически независимых вкладов, а вследствие этого в силу центральной предельной теоремы токи 1к () можно в хорошем приближении считать действительнозначными гауссовскими случайными процессами. [c.264]

Как отмечалось выше, решения, полученные на основе бор-новского приближения, с одной стороны, и преобразования Рытова— с другой, приводят к разным плотностям распределения амплитуды Л возмущенной волны. Единственной случайной величиной, присутствующей в рещении, в обоих случаях является возмущение показателя прело.мления п. Выражение (8.4.42) дает полевое возмущение О как суперпозицию огро.миого числа незавпси.мых вкладов различных частей турбулентной среды. В соответствии с центральной предельной теоре.мой. мы вправе ожидать, что действительная и мнимая части величины 111 подчиняются гауссовскому, или нормальному, распределению. Предсказываемое распределение интенсивности полной волны зависит от дисперсий действительной и мнимой частей величины и1 и от их корреляции. Если эти дисперсии равны, а коэффициент корреляции равен нулю, то сум.ма величин Ыо и 11 будет равна сумме постоянного (неслучайного) фазора и кругового комплексного гауссовского фазора. Согласно результатам гл. 2, 9, п. Г, при этих условиях величииа Л= и [c.375]

При не слишком малом т распределение р(У т х, о) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т > Г, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непересекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, не могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем не менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения У(т) при т > Г существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для (т) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях облака , создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях теплового следа за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для (т) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин [c.494]

Пример. Среди 1000 деталей 50 бракованных. Брак составляет р — 0,05, или 5%. Вероятность того что отдельн ,1е, взятые из общего числа, детали окажутся бракованными, также равна /- — 0,05, Из общего числа берем случайную выработку из 20 деталей, В среднем можно ожидать, что в каждой выборке будет пр — 20.0,05 — 1 бракованная деталь. В отдель )Ых выборках в действительности получают О или 1, или 2, 3. 4 и очень редко (может быть всего I раз) 5 или б бракованных деталей. Следовательно, фактические наблюдения дают в выборках О или 5 или 10, или 30% брака. Только среднее значение из многих к) выборок, т. е. пр, равное сумме бракованных деталей, деленной на 20 к, приблизительно будет равно ожидаемому числу бракованных деталей, т. е. одной детали. Это среднее значение суммы может получиться в виде смешанной дроби, которую не следует округлять. Например, в 10 выборках по 20 шт. [c.115]

С другой стороны, следуя Обухову (1954), легко показать, что любое изотропное векторное случайное поле и х) может быть представлено в виде суммы двух некоррелированных друг с другом полей, одно из которых соленоидально, а второе потенциально. Действительно, условие соленоидальности поля и х) означает, что [c.55]

Представим себе изолированную систему, состоящую из большого числа п молекул, и выберем две любые из этих молекул. Пусть фазовая функция нашей системы, зависящая только от динамических координат первой выбранной молекулы, а ф(Р) функция, зависящая только от динамических координат второй молекулы. Тогда функции (f P) и ф Р), рассматриваемые как случайные величины, не будут независимыми, так как неизменность полной энергии Е системы известным образом связывает между собой динамические координаты двух выбранных нами молекул. Можно, конечно, ожидать, что ввиду большого числа молекул эта стохастическая зависимость между величинами (f P) и ф(Р) окажется весьма слабой. В частности, мы можем до всяких вычислений предвидеть, что коэффициент корреляции этих двух величин окажется ничтожно малым. Это и действительно так, как мы скоро убедимся однако, во многих вопросах (в частности, при вычислении дисперсий сумматорных функций) такие коэффициенты корреляции приходится суммировать в очень большом числе, вследствие чего получаемые суммы часто оказываются даже бесконечно большими, порядок которых не позволяет пренебрегать ими ). Вот почему необходимо уметь найти хотя бы приближенные выражения для таких межмолекулярных коэффициентов корреляции. Этому вопросу мы и посвящаем настоящий параграф. [c.99]

Отметим, что применительно к динамическим системам с воздействиями, моделируемыми гауссовскими марковскими процессами, мы в части III разовьем другую технику статистического анализа. Касаясь же идеи аппроксимации марковских гауссовских воздействий другими моделями случайных процессов, представляется интересным и другой вариант аппроксимации — не суммой дихотомических, а одним телеграфным процессом Кубо — Андерсона с гауссовским распределением значений а. Такие процессы точно переходят в гауссовские в пределе белого шума (v -> с , o /v = onst) и в противоположном пределе (v ->-0, = onst). Можно думать поэтому, что и в промежуточной области значений v указанные процессы близктг по характеру своего действия. Действительно, как показано в [6] на примере осциллятора Кубо [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...