Гауссовская плотность распределения

Можно показать, что с физической точки зрения первый член в формуле (4.4.12) представляет вынужденное излучение, а второй— малую остаточную величину спонтанного излучения. В этом случае логично приписать величине Un t) гауссовское распределение и предположить, что эта величина не зависит от 9(0-В фиксированный момент времени первый член имеет плотность распределения, определяемую формулой (4.4.3), тогда как второй член имеет гауссовскую плотность распределения. При работе достаточно далеко за порогом гауссовская функция имеет стандартное отклонение а, намного меньшее S. Поэтому свертка двух функций плотности приводит к слегка сглаженному варианту приведенных на рис. 4.8, а зависимостей для плотности распределения амплитуды. [c.142]

Мы приходим к выводу, что интенсивность / (приблизительно) описывается гауссовской плотностью распределения [c.143]

Заметим далее, что, как явствует из симметрии гауссовской плотности распределения (6.2.36) относительно среднего зна- [c.256]

Имеется одна тонкость, касающаяся метода случайных блужданий. В гл. 2, 9 было показано, что если число членов в сумме (Б.2) быстро растет, то, согласно центральной предельной теореме, распределение действительной и мнимой частей суммы асимптотически стремится к гауссовскому распределению. Это справедливо независимо от того, имеют ли фазы, связанные с индивидуальными вкладами, одинаковые распределения. Но по предположению действительная и мнимая части асимптотически являются совместно гауссовскими случайными переменными, т. е. они вместе описываются гауссовской плотностью распределения второго порядка [формула (2.9.5)]. В то время как гауссовский характер их маргинальных плотностей следует из центральной предельной теоремы, их совместный гауссовский характер менее очевиден. [c.507]

Гауссовская плотность распределения 23, 40 [c.513]

Плотность распределения большого числа независимых вибрационных воздействий, сравнимых по уровню, может считаться близкой к гауссовскому нормальному закону [c.19]

Таким образом, задача построения совместной плотности распределения Гауссовского процесса и его первых двух производных сводится к вычислению моментов в матрице (1.33). [c.22]

Для Гауссовских процессов совместную плотность второй и третьей производных и совместную плотность распределения процесса и его второй и третьей производной при второй производной, равной нулю, можно записать в следующем виде [c.137]

Подставляя плотность f (О, Xq, 0,х , х), матрица моментов которой выписана в виде соотношения (1.40), в формулу (4.55), получаем следующее выражение для плотности распределения времени между соседними экстремумами для Гауссовских процессов [c.138]

Рассмотрим задачу об определении среднего числа превышений случайным процессом х (t) произвольного уровня х. Для этого достаточно задать совместную плотность распределения процесса и его первой производной в совпадающие моменты времени и воспользоваться соотношением (4.70). Для Гауссовского процесса X (t) эту плотность можно записать в следующем виде [c.145]

Конкретизируем полученные соотношения для расчета долговечности применительно к Гауссовскому стационарному процессу изменения напряжений а (t), заданному корреляционной функцией К (т). За интервал времени между нагружениями примем интервал времени между соседними максимумами. Плотность распределения этого интервала обозначим через / (т). Эту плотность определяют по заданной корреляционной функции К (т) соотношениями (4.62)—(4.64) и (4.107). [c.182]

Для случая Гауссовского стационарного процесса с параметром сложности структуры плотность распределения половин его приращений между двумя соседними экстремумами можно приближенно описать соотношением (5.46). Подставляя его в уравнения (5.52)—(5.54), получаем [c.190]

Поскольку для Гауссовских процессов совместное распределение амплитудных и средних напряжений мало отличается от нормального, то совместную плотность распределения амплитудных и средних напряжений можно записать в следующем виде [c.192]

Поскольку в формулы для определения вероятности статического разрушения и для расчета долговечности при стационарных Гауссовских процессах нагружения в качестве основных характеристик входят средние частоты появления нулей щ и экстремумов йд, то точность их расчетного определения, проверяемая по данным, полученным непосредственно с осциллограмм реальных процессов, рекомендуется принимать в качестве критерия для выбора этой модели процесса. При этом одномерная плотность распределения процесса не должна противоречить распределению, характерному для данной модели случайного процесса. [c.221]

Ограничимся рассмотрением только гауссовских процессов. Для таких процессов достаточно иметь корреляционную функцию второго порядка, определяемую (10.2). Совместное распределение любого числа его значений будет описываться многомерным гауссовским распределением [42]. Гауссовским будет также совместное распределение значений процесса и всех его производных. В частности, плотность распределения процесса и его первых двух производных для п моментов времени можно записать в следующем виде [c.81]

Пусть дана совместная плотность распределения процесса X (/) и его первых двух производных для двух произвольно выбранных моментов времени / х , х ,, Хо, То, х , х , iii, т ). Для гауссовских процессов эта плотность определяется соотношениями (10.7) и (10.9). [c.88]

Для случая гауссовского стационарного процесса с параметром сложности структуры k решение системы уравнений (10.81) и определение плотности распределения амплитуд (10.82) описано в 11. [c.99]

Стационарные процессы. Для гауссовских стационарных процессов X (t) совместная плотность распределения процесса и его первой производной f х, ) определяется матрицей моментов [c.99]

Сопоставив соотношения (11.72) и (11.61), приходим к выводу, что если в качестве [ (со) принять нормированный энергетический спектр заданного процесса S ( ) = S ( o)/s , а величину а считать случайной с произвольным законом распределения и вторым моментом М [с ] 2s то квазислучайный процесс (11.54), определяемый двумя случайными величинами а и со, можно будет считать построенным с точностью до воспроизведения его корреляционной функции. Свободу выбора вида распределения величины а можно использовать для получения, например, гауссовского одномерного распределения процесса у (t). Для этого достаточно распределение амплитуды а принять релеевским (это характерно для узкополосных гауссовских стационарных процессов), при котором второй момент М [а ] 2s . Таким образом, сформированный квазислучайный процесс (11.54) можно считать эквивалентным заданному гауссовскому случайному процессу с точностью до воспроизведения корреляционной функции и одномерной гауссовской плотности его распределения. Построенный квазислучайный процесс (11.54) нельзя считать полностью совпадающим (по определению) с гауссовским стационарным процессом. Для этого необходимо, чтобы не только одномерная плотность распределения была гауссовской, но и распределения любой кратности (п-мерные распределения) также были гауссовскими. Вместе с тем представление случайного процесса в виде простого соотношения ( 1.54) открывает большие возможности для приближенного изучения поведения динамических систем при случайных воздействиях, так кяк при этом могут быть широко ис- [c.117]

Учесть эффект торможения трещины при смене уровней напряжений в соседних циклах нагружения и пороговое значение КИН можно так же, как и при дискретных потоках нагрузок (см. 20). Так, учет эффекта торможения трещин сводится к оценке отношения двух соседних максимумов в процессе нагружения. Полагая, что эти максимумы статистически независимы и каждый из них распределен по закону Релея (21.1), после несложных вычислений находим, что отношение двух соседних максимумов в гауссовских узкополосных процессах имеет следующую плотность распределения [c.217]

Численный анализ показывает, что в рассмотренном. простейшем примере степенной ряд (3.13), представляюш,ий приближенное решение, содержит только положительные слагаемые. По величине дисперсии обеспечивается практически равномерная сходимость, приближенная функция плотности вероятности имеет смысл при любом числе членов ряда. На рис. 3.4 представлена функциональная зависимость Uq — g (и) при трех членах и соответствующее распределение. Для сравнения штриховой линией показан график гауссовской плотности дисперсия этого распределения определена по методу статистической линеаризации. Фактическое распределение имеет более островершинный характер, что и проявляется в приближенном решении. [c.66]

В формулах (5.33), (5.34) ф и) — корректирующая функция, характеризующая отличие р и, и) от гауссовской плотности Ро (м, о) — дисперсия случайного воздействия v (ст = (о )) о о, й, г — неизвестные параметры базового распределения С — нормировочная константа. При выборе базового распределения учтено, что воздействие v (t) представляет собой центрированный стационарный гауссовский процесс, а функция и (t) может иметь математическое ожидание, отличное от нуля. [c.148]

В ряде практических ситуаций важно обнаружить и выделить из шумов полезный сигнал, являющийся некогерентным (например, при приеме многомодового излучения лазера, прошедшего турбулентную атмосферу при обнаружении ретранслированного и несущего информацию или отраженного от цели когерентного излучения оптически шероховатой отражающей поверхностью и т. д.). Поскольку некогерентный сигнал и шумовое поле имеют гауссовское распределение амплитуд и описываются гауссовскими весовыми функциями (плотность распределения вероятностей комплексной амплитуды), то и весовая функция, соответствующая суперпозиционному полю также является гауссовской. В частном случае при выделении некогерентного сигнала и медленно флуктуирующих шумов при близких частотах сигнала й шума и медленных флуктуациях сигнала распределение вероятностей потока фотоэлектронов характеризуется законом Бозе—Эйнштейна (10 а) 1 табл. 1.1). Однако в общем случае присутствие шумового поля вызывает изменение распределений при этом спектрально — корреляционные характеристики шумового поля, величина смещения центральной частоты шума относительно центральной частоты сигнала и время наблюдения Т существенно изменяют вид получающихся распределений. [c.48]

Если плотность распределения случайного коэффициента фх является гауссовской, то и распределение скорости описывается тем же законом. Стандартные отклонения параметров SV и фх совпадают. [c.229]

Гауссовская (нормальная) плотность распределения [c.23]

Следовательно, плотность распределения переменной Z асимптотически стремится к плотности гауссовского распределения. [c.41]

Рис. 2.8. Гауссовская (нормальная) плотность распределения.

Наиболее важной для нашего дальнейшего изложения является форма 2.7.7), когда мы имеем две совместно распределенные гауссовские случайные переменные U и V, каждая из которых имеет нулевое среднее значение и сг = = (Т = (Т . В этом случае плотность распределения (2.7.7) становится равной [c.43]

Рнс. 2.9. Контуры постоянной плотности распределения в случае совместной гауссовской плотности с й = й = О, [c.43]

И В случае гауссовского распределения плотность распределения и принимает вид [c.50]

Учитывая, что г и / представляют собой суммы многих независимых случайных вкладов, мы приходим к выводу, что в силу центральной предельной теоремы г и i будут приблизительно гауссовскими случайными переменными при больших значениях Л ). Чтобы определить детальный вид совместной плотности распределения для г и i, мы должны сначала вычислить г, /, (Т , и их коэффициент корреляции р. [c.52]

На рис. 2.14 представлены кривые зависимости величины арА а) от а/а при разных значениях параметра k = s/a. При увеличении модуля известного фазора плотность распределения изменяется по форме от рэлеевской плотности до рассматриваемой в следующем пункте параграфа приблизительно гауссовской плотности со средним значением, равным S. [c.57]

Плотности распределения (3.6.1) соответствует совместная характеристическая функция п совместно гауссовских случайных переменных [c.86]

Действительно, плотность распределения п-го порядка (3.6.1) зависит только от средних значений и ковариаций п выбранных величин. Если случайный процесс U(i) стационарный в широком смысле, то среднее значение не зависит от времени, а ковариации зависят только от разностей рассматриваемых моментов времени. Отсюда прямо следует, что д-мерная функция плотности не зависит от начала отсчета времени при всех п и, стало быть, процесс U(i) является строго стационарным. Поэтому, когда мы имеем дело с гауссовским случайным процессом, обычно не указывают тип стационарности, которым обладает этот процесс, ибо два наиболее важных вида стационарности эквивалентны. [c.88]

Что касается интенсивности одномодового колебания, то заметим, что она равна квадрату длины интенсивного фазора с постоянной амплитудой и случайной фазой S и слабого кругового комплексного гауссовского фазора А , представляющего комплексную огибающую гауссовского шумового члена. Плотность распределения интенсивности / можно найти, если заметить, что [c.142]

Вертикальная подпорная стенка высоты Л = 5 м постоян- ного сечения толщины а == 1,1 м нагружена гидростатическим давлением воды, уровень которой может быть различным. Плотность материала стены составляет 2,2 т/м . Считая высоту Н уровня воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским законом распределения, с математическим ожиданием шн = 3,0 м и средним квадратическим отклонением сгн = 0,5 м, определить вероятность опрокидывания стенки. Определить также минимально допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероятность ее опрокидывания не должна превышать 3-10 [c.443]

Для практики важно рассмотреть дей твие на нелинейные системы случайных стационарных сигналов с гауссовским законом распределения плотности вероятности. Для вычисления центральных и-мерных моментов гауссовского стационарного случайного троцесса существует следующая рекуррентная формула [ 16] [c.113]

Отметим еще одно важное свойство i ауссовских процессов, которое можно использовать при статистическом анализе нелинейных систем. Плотность распределения вероятности случайного сигнала на выходе любого нелинейного элемента изменяется. Поэтому, если на входе такого элемента действует случайный сигнал с гауссовским законом шютности распределения вероятности, то на выходе сигнал уже не будет гауссовским. Если после нелинейного элемента сигнал поступает в линейное частотно-зависимое звено, у которого полоса пропускания меньше, чем полоса частот сигнала, то сигнал по своим свойствам приблизится к гауссовскому сигналу. Такое приближение тем точнее, 1ем е полоса пропускания линейного звена по отношению к спектру сигнала на выходе нелинейного звена [ 16]. Это свойство случайных сигн шов позволяет упростить анализ и синтез тракта ОЭП при воздействии случайных сигналов. [c.115]

Метод экстршумов. Для Гауссовских стационарных процессов плотность распределения максимумов, принимаемая при методе экстремумов за плотность распределения амплитуд напряжений, задается соотношением (4.97). Подставляя его в формулы (4.39), (5.33), (5.35) и (5.36) аналогично тому, как это было сделано в методе превышений, можно вычислить среднее значение ожидаемой долговечности и накопленного к некоторому заданному моменту времени усталостного повреждения, а также их дисперсии. [c.185]

Расчет усталостной долговечности прш ировдссах простой структуры. Для случайных процессов нагружения, имеющих простую структуру (см. рис. 14.1, а), понятие цикла нагружения определяется однозначно. В отличие от простого гармонического нагружения необходимо в этом случае лишь учитывать случайный характер распределения амплитуд напряжений в циклах нагружения. Так, для стационарных узкополосных гауссовских процессов распределение амплитуд подчиняется закону Релея с плотностью [c.148]

Среднее значение циклов нагружения, как следует из соотношения (21.16), представляет собой вероятностную смесь двух величин нуля и значений процесса, соответствующих его точкам перегиба, при условии, что в этом процессе нагружения учитываются только циклы с (Тщах О, Для гауссовских процессов нагружения распределение сгд является симметричным относительно нуля, и поэтому для таких процессов плотность распределения расчетного среднего напряжения [c.221]

Если случайный процесс изм енения напряжений стационарный гауссовский и имеет узкополосный сцектр (см. 17), то е го амплитуды распределяются пр формуле (77), При этом вместо амплитуды нагрузки 5а следует подставить <Та. В этом случае не требуется схематизация цроцесса. Плотность распределения амплитуд напряжений до фр1 мул,е (77) непосредственно используется для определения порогового значения предела выносливости сг1 [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...