Область притяжения положения равновесия

Область притяжения положения равновесия 24 [c.349]

Касание неустойчивого многообразия цикла на торе и устойчивого многообразия коразмерности 1 положения равновесия или цикла, лежащего в границе области притяжения Т при е<е. [c.162]

Пусть система на рис. 18.60 находится в первоначальном положении равновесия (ср = 0) под действием нагрузки, величина которой лежит внутри интервала р < р < р для определенности примем, что уровень нагружения задается значением р = = Р4 (см. рис. 18.61, а). При такой нагрузке система кроме указанного положения равновесия может иметь еще три наклонные Ф= Ф4 и вертикальное опрокинутое q> = л. Как было выяснено раньше, по отношению к малым возмущениям равновесие при ф = о является устойчивым. Сохраняя вертикальную силу Р неизменной, выведем систему из этого равновесия с помощью какого-либо бокового воздействия (силы или импульса), настолько большого, что вызванный им поворот стержня по абсолютной величине будет хотя бы немного больше угла ф4 . Такое возмущение равносильно сообщению системе некоторого дополнительного запаса энергии, достаточного для ее выхода из энергетической ямы в окрестности точки ф = 0 (см.рис. 18.61,б), преодоления энергетического барьера П4 и попадания в область притяжения другой энергетической ямы при ф = я. Ясно, что система, получив такое возмущение, будет переброшена из первоначального устойчивого равновесия ф = 0 в новое устойчивое Ф = я на рис. 18.61,6 этому перескоку соответствует движение изображающей точки по энергетическому профилю О- 4- 4. [c.405]

При д> д ъ зависимости от начальных условий маятник может совершать незатухающие периодические колебания с периодом 4я/vo относительно нижнего либо верхнего положения равновесия. Кроме того, возможны режимы регулярного вращения, когда за период колебаний оси подвеса маятник совершает один оборот в ту или иную сторону. Проекция фазового портрета на плоскость х, х при а = 0,1 л>о = 20 д = 95,92, полученная на ЭВМ, представлена на рис. 9.19, а [225]. Вид реализации процесса х 1), его спектральная плотность и форма предельного цикла, соответствующие колебаниям относительно верхнего положения равновесия, при тех же значениях параметров показаны на рис. 9.19, б, в и г. Отметим, что области притяжения предельных циклов снаружи являются довольно узкими. При сравнительно небольших отклонениях от этих циклов маятник переходит во вращательный режим. [c.280]

Пусть теперь -отрицательно определенная функция в области (1.8). Тогда любая фазовая траектория, начинающаяся в области v(x) < /, не только не выйдет из этой области, но будет неограниченно приближаться (при /—> ) к началу координат, пересекая каждую из поверхностей v = с <1 в направлении снаружи внутрь, ибо функция V непрерывно убывает вдоль траектории. Это и означает, что положение равновесия Х= О устойчиво асимптотически, причем все точки области v(x) < / принадлежат области притяжения начала координат. Иллюстрацией служит Рис. 1.3 рис. 1.3, на котором 7- граница области 0-8) [c.33]

Рассмотрим теперь семейство (2+). При е<0 особая точка О устойчива, однако ее бассейн (область ее притяжения) при e-v О становится малым (радиуса У—е). При е=0 особая точка О неустойчива, как и при е>0 все фазовые кривые, кроме положения равновесия, покидают некоторую окрестность особой точки при всех достаточно малых е О. Эта ситуация называется жестким возбуждением или жесткой гютерей устойчивости-. при прохождении е через нуль система скачком переходит на другой режим (стационарный, периодический или более сложный), далекий от изучаемого положения равновесия (рис. 4а). [c.22]

Рис. 6.22. Области притяжения для движения частицы в потенциале с двумя ямамн с затуханием в отсутствие вынуждающей силы [31]. Числа показывают, сколько раз траектории пересекают ось х = О до того, как приходят к одному нз двух положений равновесия х = 1.

Рис. 6.23. Гладкая граница области притяжения для частицы, совершающей колебания в потенциале с двумя ямами под действием вынуждающей силы малой амплитуды. Аттракторами служат периодические орбиты вокруг правого и левого положения равновесия [144] (The Ameri an Physi al So iety, 1985).

В гл. I мы рассмотрели пример популяции, в которой возникает еще одно нетривиальное равновесие (популяция с нижним критическим порогом численности или популяции типа Олли). Вообще эффект Олли , т.е. увеличение скорости роста популяции при объединении отдельных особей во взаимодействующие группы (самым простым примером такого объединения служит возникновение репродуктивных пар) может приводить к возникновению нескольких нетривиальных положений равновесия. Переход популяции из одного состояния в другое может происходить как вследствие естественной эволюции системы, так и под действием случайных возмущений. Иногда с такими переходами связывают понятие эластичности сообщества. Точнее, система считается эластичной , если случайные воздействия не разрушают ее, а приводят в другое стационарное состояние. Среди равновесных точек системы могут встречаться как устойчивые, в окрестности которых система будет проводить большую часть времени, так и неустойчивые, которые связаны с границами областей притяжения устойчивых состояний. [c.324]

ЩЬ) < О, что обычно имеет место для незначительно различающихся устойчивых положений равновесия (рис. 129, кривая 2). Пусть в начальный момент популяция находится в окрестности а. Тогда ее выход из области притяжения произойдет через точку Ь и Ь) < 0), и среднее время пребывания популяции на интервале (0 Ь) равно т ь ехр —2[ /(а) — ЩЬ )]1а . Если в начальный момент ТУо > Ь, то выход из области притяжения произойдет в точке М = Ь ЩЬ) < С/(°°)), а характерное время, в течение которого популяция будет находиться в окрестности с, равно Тсь ехр -2[6 (с) - и р)]1а . Таким образом, при ЩЬ) < О популяция больщую часть времени будет проводить в окрестностях устойчивых положений равновесия а и с, но иногда будет переходить из одной области притяжения в другую, т.е. установится циклическое движение между двумя устойчивыми положениями равновесия с характерным временем перехода порядка Тсь + аь) Заметим, что время, проводимое популяцией в окрестности соответствующих точек, определяется в данном случае глубиной потенциальной ямы, и оно тем больше, чем больше разность ЩЬ) Ща) или и(Ь) - Щс). Если же разность Ща) - Щс) > О, то популяция будет находиться в основном в окрестности точки с. В противном случае наиболее вероятным место пребывания популяции будет окрестность точки а. [c.327]

Согласно сделанному определению диссипативными могут быть системы самой различной природы (биологические, теплофизические, экономические и Т.Д.). Для таких систем обычно невозможно сформулировать физические признаки диссипативности и составить функцию Лагранжа. Вопрос о диссипативности таких систем можно пытаться решать с помощью второго метода Ляпунова, оценивая области притяжения устойчивых положений равновесия. В частности, если удастся доказать, что положение равновесия рассматриваемой системы асимптотически устойчиво в целом, то, очевидно, данная система является диссипативной. [c.87]

Применим к системе (П.75) критерий Дюлака. Полагая Р у, г) = (1 + ау)/(1 + г). имеем О = -ао/(1 + + ) < 0. Таким образом, предельные циклы в области (П.74) не сушествуют. Этим и определяется фазовый портрет системы (П.73) (рис. П.77). Положение равновесия / 0,0) асимптотически устойчиво, и область его притяжения служит все подпространство (П.74). [c.370]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...