Главный элемент строки матрицы

Главный элемент строки матрицы 90 Граничные условия в задачах теплопроводности 27 [c.311]

Дело в том, что матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которой приводит МКЭ,— сильно разреженная матрица ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали (рис. 1.4). Целое число/., представляющее собой наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке, называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем ОП требуется для хранения матрицы при реализации МКЭ в САПР и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит, в свою очередь, от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. [c.18]

Если компонентами вектора F будут, например, упругие силы или моменты, действующие в ветвях динамической схемы, то элементом г-й строки матрицы N будет, очевидно, равнодействующая или главный момент указанных сил, действующих на г-й узел динамической схемы. При этом полученная произвольным образом система знаков у ненулевых элементов г-й строки матрицы 5 будет определять взаимную полярность направлений упругих сил или моментов, действующих в соответствующих ветвях и приложенных к г-му узлу динамической схемы. [c.61]

Порядок квадратной матрицы определяется количеством строк или количеством столбцов. Элементы квадратной матрицы, расположенные на пересечении строк и столбцов, имеющих одинаковый порядковый номер, образуют главную диагональ матрицы. При этом, как обычно, счет столбцов ведут слева направо, а счет строк — сверху вниз. Квадратная матрица п-го порядка, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, расположенных на главной диагонали, называется диагональной. [c.21]

Поясним, что на главной диагонали этой матрицы стоят коэффициенты рассматриваемого полинома, от а др о-п, а каждая строка получается достраиванием диагонального элемента вправо [c.159]

Изображенные на рис. 3.1 элементы могут представлять лишь небольшую часть реальной конечно-элементной модели. Элементы, которые находятся вне области, занимаемой элементами А, В, С я О, никак не влияют на вид уравнения (3.4). Другими словами, совокупность отличных от нуля элементов в строке матрицы жесткости состоит из коэффициента на главной диагонали и коэффициентов, отвечающих степеням свободы в данном узле и узлам элементов, которые прилежат к данному узлу. Все остальные элементы в строке равны нулю. Если в полной конечно-элементной модели существует много степеней свободы, а матрица жесткости содержит относительно мало нулевых элементов, то такая матрица называется разреженной или слабо заселенной матрицей. [c.76]

Билинейные элементы на квадратной сетке для —Аи = f. Здесь в каждом узле одно неизвестное и типичная строка матрицы К (умноженная на ЗЛ) состоит из 8 на главной диагонали [c.245]

В матрице (20) рассматривают первые М- - строки и сдвигают влево элементы первой строки на М позиций, второй — на М—1 позицию и т.д. вплоть до последней, которая уже не подвергается сдвигу. В полученной системе исключают неизвестные до порядка М путем деления левых и правых частей системы уравнений (18) на главный элемент. Дальнейшее исключение неизвестных порядка выше т продолжается с последовательным присоединением к полученной последней строке (с предварительным сдвигом ее влево на одну позицию) остальных строк матрицы. Значения температур в узлах получают обратным ходом. [c.142]

Важным свойством матрицы является ее симметрия и положительная определенность. Симметрия матрицы означает, что примерно половину ее элементов не нужно запоминать. Положительная определенность матрицы означает, что элемент, стоящий на главной диагонали, всегда положителен и его величина больше любого другого коэффициента соответствующей строки или столбца. [c.203]

Для матрицы IIА ограничимся определением ее элементов лишь по главной диагонали, т. е. А Х (/=1, 2, 3, 4). Эти элементы представляют суммы произведений элементов первой строки на соответствующие элементы первого столбца, элементов второй строки — на соответствующие элементы второго столбца и т. д. матриц II А 2, т. е. их определяют по формуле [c.154]

Чтобы уменьшить погрешности округления при реализации k-то шага исключения, берут соответствующее уравнение и неизвестное не в естественном порядке, как это было в рассмотренном выше алгоритме, а находят их в результате специального поиска. Цель поиска определить уравнения с максимальным коэффициентом а Такой прием называют выбором ведущего элемента. При этом усложняется алгоритм пересчета коэффициентов уравнений, поскольку приходится как бы переставлять строки и столбцы в матрице линейной системы, чтобы найденный максимальный коэффициент оказался на ее главной диагонали. Эта процедура реализована в стандартных подпрограммах. Поэтому для решения линейной системы по методу Гаусса не следует самому составлять программу, используя простейшие формулы типа (1.11), а целесообразно брать какую-нибудь стандартную программу, в которой разработчики уже предусмотрели меры для уменьшения влияния погрешностей округления. [c.12]

Нам понадобится матрица 5-го порядка, составленная из коэффициентов полинома левой части уравнения (17.71), с соблюдением следующей закономерности. На главной диагонали располагаем коэффициенты ри Р2,. . > Рв] далее, продвигаясь вправо на одну позицию по любой строке от диагонального элемента, увеличиваем индекс на два (при этом учитываем, что рз+1 = = Ps+2 =. .. =Р25-1 = 0 продвигаясь вниз на одну позицию по любому столбцу от диагонального элемента, уменьшаем индекс на единицу (при этом р 1 = р а =. .. =р 5+2 = 0). Так, например, учитывая, что нас интересуют лишь четные а, поскольку число степеней свободы равно п 5/2, [c.73]

Так как сигналы Xi(t) обладают конечной мощностью, на главной диагонали матрицы (4.15) не может быть элементов, равных нулю, Рц((л) фО. По этой причине ни в одной из строк и ни в одном столбце (4.15) не могут стоять одни нули. Следовательно, определитель l- ( o) может обращаться в нуль, если две или несколько строк (столбцов) пропорциональны или связаны линейной зависимостью. Пусть, например, г-я и s-я строки пропорциональны (линейно зависимы) [c.118]

Все элементы матрицы равны по модулю единице. Элементы главной диагонали имеют знаки плюс. Знак каждого из остальных элементов определяется в первой строке и в первом столбце — знаком А , а остальных строках и столбцах — знаком произведения [c.192]

Смысл записи (30) и (31) следующий 6,, а,, с, — элементы матрицы — элементы главной диагонали bi — элементы слева от главной диагонали i — элементы справа от главной диагонали. Индексы под элементами (2, и 1, и и т. д.) означают пределы изменения индекса i (номера строки) для элемента. Например, Для элемента q в (30) индекс ( = 1 ч- и, для элемента с, в (31) i = 1 (ге — 1). В принятых обозначениях (29)—(31) матрицы коэффициентов, входящие в (27), записываются так [c.307]

Пример 3. Некоторый исходный сигнал записан в матрице А размером 16х 16 (в матрице. 4 записаны значения некоторой функции двух переменных в узлах квадратной равномерной сетки). Элементы матрицы А, расположенные в 4-м и 5-м столбцах 4-й и 5-й строк равны 1, остальные нули. Требуется вычислить двумерное преобразование Фурье ступенчатой функции, определенной в квадрате [О, 2тс]х[0, 2тс] и принимающей в нем значения либо О, либо 1 изобразить сигнал графически выполнить двумерное дискретное преобразование Фурье изобразить графически амплитуду образа выполнить обратное преобразование и изобразить результат вычислений повторить вычисления для матрицы В размером 32х 32. В матрице В элементы, расположенные на главной диагонали, равны 1, остальные — нулю. [c.211]

Компоненты глобальной матрицы жесткости К, расположенные на главной диагонали, должны быть положительны, а сумма компонентов в строке - равной нулю. Компоненты матрицы [А1, соответствующие номерам пар узлов, не принадлежащих одному элементу, равны нулю, поэтому она имеет ленточную структуру, причем ширина ленты, включающей ненулевые компоненты матрицы, зависит от способа нумерации узлов и в каждом конкретном случае может быть сведена к минимуму. Зто позволяет экономить память ЭВМ, расходуя ее для хранения не всей матрицы, а лишь элементов ленты. [c.218]

Компоненты матрицы [/С1, расположенные на главной диагонали, должны быть положительны, а сумма компонентов в строке — равной нулю. Матрица жесткости имеет ленточную структуру, причем ширина ленты, включающей ненулевые компоненты матрицы, зависит от способа нумерации узлов и в каждом конкретном случае может быть сведена к минимуму [45]. Это позволяет экономить память ЭВМ, расходуя ее для хранения не всей матрицы, а лишь элементов ленты. [c.231]

После преобразования системы уравнений проводится решение этих уравнений относительно неизвестных узловых значений. Существует несколько процедур построения решения. Одна из них уже обсуждалась в данной главе. Система уравнений имеет специальный вид ее матрица ленточная, причем диагональные элементы обычно положительны и доминируют над элементами соответствующих столбцов и строк вне главной диагонали. Это поз.воляет многие достаточно общие процедуры решения видоизменить так, чтобы повысить их эффективность. [c.256]

Матрицы Джонса наиболее употребительных в технике твердотельных лазеров элементов приведены в табл. 9. Первая строка таблицы не нуждается в комментариях — оптически изотропная среда изображается единичной матрицей Джонса. Матрицы для двух следующих элементов записаны в системе координат, совпадающей с их главными осями. Для частичного поляризатора (п. 2 табл. 9) Pi и р2 — амплитудные коэффициенты пропускания света, поляризованного в х и у направлениях идеальный поляризатор характеризуется значениями pi = 1, рг = 0. Линейная фазовая пластинка (п. 3 табл. 9) записана в такой форме, что ее медленная главная ось совпадает с х направлением набег фазы после прохождения через фазовую пластинку равен ф. [c.87]

Именно учет свойства разреженности матриц и лежит в основе метода сканирования М-матрицы. В этом методе запись уравнений ЗНК и ЗТК для главных контуров и сечений производится с помощью логической процедуры сканирования М-матрицы. При этом осуществляется просмотр строк и столбцов М-матрицы наличие ненулевого элемента приводит к записи очередного слагаемого в уравнениях ЗНК и ЗТК, конкретный смысл которого определяется по координатам ненулевого элемента. В частности, таким путем можно получить уравнения [c.82]

Если строки расположены так, что с,- > ,+i, y/i, то оптимальное в смысле критерия (37) решение будет составлено из элементов главной диагонали матрицы В [c.190]

Таким образом, для выделения из всей совокупности алгебр Ли (к) интересующих нас здесь алгебр следует конкретизировать рассматриваемую алгебраическую конструкцию, наложив условия простоты (в виде обобщенного критерия Картана невырожденности 4 ормы) и конечности [Я )) роста алгебры. Это приводит к жестким ограничениям на вид матрицы к. Именно, все ее элементы вне (на) главной диагонали — неположительные (положительные) целые числа, причем из к, , — О следует /,==0. (Отметим, что если бы мы допустили возможность кц = Ь при некотором I, то в силу тождества Якоби и соотношений (2.8), это повлекло бы за собой обращение в нуль всей г -й строки и, соответственно, г-го столбца.) Кроме того, для любого набора натуральных чисел й,. .., г , не превосходящих г, справедливо равенство [c.24]

Для хранения разреженных матриц применяются следующие способы прямой, упорядоченных и связанных списков. В первом способе для каждого ННЭ запоминаются числа ац, 1 и /. Этот способ применяется при вводе исходной матрицы, но неудобен для реализации метода Гаусса. Поэтому после ввода исходных данных переходят к другим способам хранения матрицы А, При хранении матрицы А с использованием упорядоченных списков ННЭ располагаются по строкам в соответствии с основным алгоритмом метода Гаусса. Вводятся дополнительные одномерные массивы указателей длиной п для хранения столбцовых и строчных индексов главных элементов, необходимых для выполнения прямого хода. Новые ВНЭ добавляются к строчно-упорядоченному и столбцовоупорядоченному спискам в процессе прямого хода. Это требует дополнительных затрат памяти и времени ЭВМ и процедур по сжатию информации. При хранении матрицы А с использованием связных списков ННЭ располагаются произвольно. В массивах указателей для каждого ННЭ хранятся адреса следующих элементов в той же строке и в том же столбце. Добавление нового ВНЭ в /-ю строку и /-Й столбец сводится к выборке первого элемента свободного списка и установке соответствующих связок, что значительно проще, чем в предыдущем способе. Основной недостаток этого способа — в ходе исключения нужны дополнительные вычисления на поиск главного элемента. [c.37]

Алгоритм Марковица основан на минимизации количества новых ВНЭ на каждом шаге прямого хода. Предположим, что первые к—1) шагов прямого хода закончены, необходимо найти к-й главный элемент. Обозначим г, — число ННЭ в -й строке матрицы А на к-и шаге — число ННЭ в -м столбце. Ценой Марковица для элемента называется число Мц,к — [c.38]

Очевидно, число независимых уравнений в [к] определяется ненуле выми членами в модальной матрице жесткости Гкт J Число нуле вых главных диагональных элементов дает число мод движени тела как твердого целого. Собственные векторы, отвечающие ука занным строкам матрицы, описывают вид соответствующих смеще ний тела как твердого целого. Так как главные диагональные члень являются также собственными значениями, поиск мод движени тела как твердого целого сводится к нахождению нулевых собствен ных значений. [c.64]

Наиболее простым и популярным критерием выбора порядка узлов является ширина ленты матрицы. Пусть известно, что только первые ш поддиагоналей и первые ш наддиагоналей в матрице К ненулевые (для трехдиагональных матриц по этому определению ш= 1). На каждом шаге процесса исключения эта информация должна использоваться наилучшим образом. Ниже каждого главного элемента может быть только на ненулевых элементов, подлежащих исключению более того, каждое исключе ние — это вычитание из одной строки другой с некоторым множителем, а мы знаем, что в строке не более 2ау -Ь 1 ненулевых элементов. Ленточная структура в процессе исключения сохраняется и переносится в сомножители L и 7. Для симметричной матрицы число операций равно примерно Nw 2 вме9то для плотной матрицы. [c.51]

Для достижения численной устойчивости в смешанном методе, где матрица коэффициентов не ограничена, в ходе исключения Гаусса необходимо разрешить выбор главного элемента (перестановку строк и столбцов). Вычислительные результаты подтверждают предсказанное убывание числа обусловленности и ошибок округления, хотя Коннор и Уилл представили неудовлетворительные результаты для элементов высокой степени смешанный метод обладает переменным успехом. Тем не менее понижение порядка — настолько ценное свойство, что стоит продолжать развивать эту идею. [c.151]

Х Ъ каждой строке матрицы В содержится не более пяти ненулевых элементов, задаваемых (г, /), т = 0, 1,2, 3, 4, для пары индексов (г, /), При использовании описанной выше нумерации узлов три из пяти ненулевых элементов в каждой строке расположены на главной и двух соседних с ней диагоналях. Для уравнения, относящегося к узлу (г, /), оставшиеся два ненулевых элемента располагаются на диагоналях, сдвинутых наТУ -/ (г) +1 позиций влево и наТУ - / (г+1) + 1 позиций вправо от главной диагонали. Для сеточной структуры на рис. 14.5 результирующая форма уравнения (14.5), удовлетворяющего условиям Дирихле на верхней и нижней границах и условиям Неймана на боковых, приведена на рис. 14.6, где пропущенные элементы имеют нулевые значения. Одни и те же коэффициенты 5 , Ли = О, 1, 2, 3, 4 использовались в каждой строке матрицы В только для иллюстрации на практике такое совпадение встречается редко. В общем случае каждый ненулевой элемент из В может иметь свое собственное значение. Из примера на рис. 14.6 видно, что в случае непланарной структуры ненулевые элементы матрицы В, наиболее удаленные от главной диагонали, не обязательно располагаются вдоль одной диагонали. Это обстоятельство [c.359]

Перейдем к другим коэффициентам а.,, и т. д. Возьмем для примера з- Этот коэффициент стоит в равенствах (6.100) множителем при Такой множитель может получиться в разложении определителя (6.97), если взять любые s — 2 элемента главной диагонали и умножить их на минор, который получается из матрицы G вычеркиванием всех строк и столбцов, пересекающихся на выбранных элементах. Так, например, если мы возьмем элементы bj, feji -I bs 3, то соответствующий минор будет [c.190]

Отметим, что при формировании матрицы G необходимо учитывать способ записи матрицы в машинной памяти для используемой стандартной подпрограммы решения системы линейных уравнений. В данном случае предполагается использование гюдпрограммы МСНВ из математического обеспечения ЕС ЭВМ [151, реализующей метод квадратного корня для симметричных ленточных матриц. При этом коэффициенты матрицы должны быть записаны в одномерный массив путем пос.1едовательного обхода верхней части ленты над главной диагональю по строкам. Такой пересчет индексов элемента матрицы в индекс одномерного массива реализован операторами 168—177. [c.155]

Замечание. Главное преимущество при разбиении матрицы па блоки <, о( тоит 11 следующем в дальнейшем блоки могут рассматриваться как обычные элементы матрицы. При умножении матриц (вектор така<е рассматривается как матрица) внутренние числа, указывающие размерности матриц и их блоков (попарно одинаковые), пропадают Например, в равенстве (22) такими числами являются 3 в пижней строке и 2 в верхней. Крайние числа ио-1 зывают числа строк и столбцов в той матрице и ее блоках, которые получаются в результате перемножения. [c.555]

Преобразуем 7 -матрицу в min /-матрицу, в которой строками и столбцами являются оси /, /, а элементами — значения допустимых межваловых расстояний [ц-. Матрица квадратная, симметричная относительно главной диагонали, которая зануле-вана (расстояние от вала до него же равно нулю), см. табл. 8, [c.124]

Oh получил решения ряда многозонных задач с помощью НМГЭ при этом использовалась процедура, основанная на гауссовском методе исключения и аналогичная известному приему, применяемому для решения систем с ленточными матрицами,— треугольному разложению матрицы ее главное отличие состояло в том, что вместо умножения и перестановки отдельных строк элементов операции умножения и перестановки выполнялись сразу над строками блоков (матрицами). Сравнение этой процедуры с обычной техникой решения ленточных систем приводит к следующим выводам. [c.421]

Если М — К, то матрица называется квадратной матрицей порядка N. Если М = 1, то получается (1 X Л/)-матрица она обозначается [ац] и называется матрицей-строкой. Соответственно (7И X 1)-матрица обозначается [сы ] и называется матрицей-столбцом. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Если все диагональные элементы (от Лц до Л,у/у) такой матрицы равны единице, то матрица называется единичной. М X М)-матрица, полу нная путем перемены местами строк исто. т1 цов (М X Л )-матрицы Л, называете гИранспонированной матрицей или транспозицией Л. [c.32]

Элементами матрицы могут быть числа, функции и сами матрицы. Номер элемента (его индекс) состоит из двух цифр или букв. Первая цифра соответствует номеру строки, в которой находится элемент, второй индекс — номеру столбца. Таким образом, элемент гп11 есть элемент, находящийся на пересечении -й строки и -то столбца. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Матрица может состоять из одной строки или одного столбца. Если все элементы матрицы, кроме расположенных на главной диагонали, равны нулю, то матрица называется диагональной- [c.56]

В задачах большого размера матрица К не умещается в оперативной памяти и для ее разложения требуются внешние запоминающие устройства. Замечательным свойством ленточных матриц (независимо от их размеров) является возможность выполнить весь процесс разложения за один проход. При этом имеется в виду, что ширина полосы мала, поскольку при работе с каждой строкой в процессе разложения требуются лишь элементы, лежащие иепосредствен-но над этой строкой, а также из-за симметричности матрицы, ниже главной диагонали. [c.201]

Матрицы Си, Oi3, С12, ац, Вц вычисляются последовательно без обращения матриц. Затем из сравнения элементов второй строки, расположенных на главной диагонали И правее ее,, хшлу-—таютсяг еще четыре уравнения [c.27]

Таблицы 1—3 содержат для среднезональных моделей средние значения температуры (первая и предпоследняя строки) и ее стандартные отклонения (вторая и последняя строки), представленные в °С и рассчитанные для зимы и лета с точностью до 0,1 °С. Здесь же приведены нормированные автокорреляционные матрицы Rtt pi, Р/), элементы которых (коэффициенты корреляции) определены с точностью до 0,001, причем они условно увеличены в 10 раза. Каждая таблица состоит из двух совмещенных треугольных матриц. При этом правый треугольник (выше главной диагонали) содержит коэффициенты корреляции (ги ри Рз))у определенные для зимы, а левый треугольник (ниже главной диагонали)—коэффициенты корреляции, полученные для лета (последние следует читать сверху вниз). [c.220]

Последние два члена не дают вклада в главные миноры, поскольку пропорциональны элементам первой и 5-й строк. Окончательно, для вычисления главных миноров матрицы У можнс [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...