Уравнение Фоккера—Планка —Колмогорова

Аналитические методы статистического анализа нелинейных динамических систем условно можно подразделить на следующие 1) исследование на основе уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова (ФПК) [42 и др. 1 2) характеристические функции на основе уравнений В. С. Пугачева [25, 68, 69] 3) статистическая линеаризация многомерных нелинейных функций И. Е. Казакова [33, 34, 54] 4) метод моментов [33, 74, 69] 5) семиинварианты (кумулянты) [251 6) метод малого параметра, усреднения и асимптотический метод [27, 50] 7) канонические разложения [85] 8) метод Винера [85 ] с использованием рядов Вольтерра и ортогональных спектров [85] и др. [c.144]

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА—ПЛАНКА—КОЛМОГОРОВА (ФПК) [c.157]

Если процессы являются марковскими, то функцию распределения вероятностей W Xi,. . ., х,г, t) определяем из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.161]

Составление уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды. Для применения стохастических методов и замены обобщенного уравнения ФПК обычным уравнением ФПК необходимо, чтобы время корреляции флюктуаций возмущений т ор было значительно меньше релаксации Грел амплитуды и фазы процесса колебания на выходе системы < Грел или, что то же самое, время корреляции должно быть мало по сравнению с длительностью переходных процессов в системе. [c.186]

Решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. Определим стационарное распределение. Тогда = 0, и из уравнения (4.97) получим [c.188]

Функции (1.34), (1.35) подчиняются прямому уравнению Колмогорова (уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова ) [c.18]

В этом случае эволюция обобщенных координат и обобщенных скоростей будет представлять собой многомерный непрерывный марковский процесс. Совместная плотность вероятностей координат и скоростей должна подчиняться уравнению Фоккера— Планка—Колмогорова, а определение среднего времени, в течение которого изображающая точка достигнет некоторой границы в фазовом пространстве, сводится к краевой задаче для уравнения Понтрягина (1.67). [c.30]

Стохастические дифференциальные уравнения (5.14) описывают эволюцию компонент двумерного марковского процесса. Плотность вероятности перехода или совместная плотность вероятности компонент р (xi, ух, t) подчиняется прямому уравнению Колмогорова (уравнению Фоккера—Планка—Колмогорова) [c.139]

УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА — КОЛМОГОРОВА [c.32]

Если процессы являются марковскими, то функция распределения вероятностей ш (х . .., 1) определяется из уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова [c.33]

Одномерное уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова можно обобщить, не используя понятие процесса Маркова. [c.35]

В работе [45] выведено обобщенное уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для процессов, описываемых уравнением тина (1.91) [c.35]

Отмеченные выше методы основаны на корреляционной теории. Поэтому основное внимание в них уделяется способам построения передаточных функций дифференциальных уравнений с переменными параметрами. По-нашему мнению, для оценки статистических параметров выхода системы можно успешно применить стохастический метод, основанный на составлении и решении уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова. [c.138]

Общая схема приближенного решения этого уравнения пг> методу Бубнова—Галеркина приводится в следующей главе, где рассматривается наиболее общий вид уравнения Фоккера— Планка—Колмогорова. [c.144]

Стохастический метод дает возможность с помощью уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова исследовать стационарный и нестационарный режимы движения системы, а также рассмотреть практически важный случай, когда внещнее возмущение представляет собой произведение детерминированной и случайной функций времени. Оба эти метода позволяют получить приближенные рещения весьма сложных нелинейных задач. [c.146]

Таким образом, мы теперь располагаем всеми необходимыми данными для составления уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова и вычисления функции плотности вероятности. [c.170]

В дальнейшем нас будет интересовать главным образом одномерная плотность распределения амплитуды, так как с помощью этой функции определяются необходимые для расчета вероятностные параметры выхода системы. Вполне возможно определение и двумерной (совместной) плотности распределения амплитуды и фазы и одномерной плотности распределения фазы, но вычисление этих функций, особенно двумерной плотности для переходного процесса, значительно труд нее, так как в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет содержать производные по Л, и ф,-. [c.171]

Одномерная функция распределения амплитуды ш(Л,) определяется из уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.171]

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова применимо как в случае стационарного внешнего возмущения, так и в случае нестационарного. Для нестационарного внешнего возмущения функции М и К в уравнении (4.92) будут зависеть от Л, И а для стационарного процесса они от t не зависят Поэтому [c.171]

Отметим, что при нестационарном случайном возмущении функция распределения не может быть стационарной, а при стационарном возмущении функция распределения может быть и стационарной и нестационарной. Так, например, если мы рассматриваем движение системы при стационарном внешнем возмущении в стационарном установившемся режиме, не интересуясь переходным процессом, то функция распределения будет стационарной, а если рассматривается движение системы, начиная с какого-то момента времени, в котором она характеризуется определенными начальными условиями, то функция распределения будет нестационарной, но с течением времени, по мере затухания переходного процесса в системе, она будет стремиться к стационарной. Изучить переходный режим движения системы с помощью уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова затруднительно. В дальнейшем будет показано, что в этом случае уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова будет уравнением в частных производных с переменными коэффициентами, для которых общих методов решения пока не существует. В дальнейшем будем предполагать, что внешнее возмущение стационарно и имеет нормальный закон распределения. [c.172]

Перейдем к построению решения в случае нестационарной задачи, когда возникает необходимость в исследовании переходного процесса и связанного с ним определения вероятностных характеристик движения системы. Для решения нестационарного уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова Р. Л. Стратонович рекомендует использовать метод разделения переменных и искать решение в рядах по собственным функциям. Этот классический метод решения уравнений приводит к тому, что нестационарное решение выражается в форме [c.176]

Для рещения уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова [c.182]

Маркова и для определения их одномерных плотностей вероятности можно составить уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. [c.198]

Так как флюктуации фазы в этом случае удовлетворяют процессу Маркова, го для определения ее одномерной плотности вероятности Г0 Ь) можно составить уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова. В данном случае это уравнение будет иметь вид [c.201]

Соответствующее уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности логарифма амплитуды будет [c.201]

Если воспользоваться методом разделения переменных, то решение нестационарного уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова определяется выражением (4.112). Уравнение для собственных функций Хп и) (4.113) при аа = 0 имеет вид [c.211]

Уравнение (14.1) есть уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова для непрерывного марковского процесса в пространстве конфигураций. В работах В. М. Гончаренко (1962, 1964), М. Ф. Диментберга (1962, 1964), [c.359]

После получения решения уравнения Фоккера—Планка— Колмогорова (22) с начальным условием (24) и граничными условиями (25) вероятность q ,d t, 1о) вычисляется интегрированием по формуле (21), а вероятность рс,4 t, 1о) того, что границы будут достигнуты за время от О до t, определяется согласно формуле (8). [c.185]

Таким образом, из решения уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова может быть найдена вероятность выхода траектории марковского процесса из области, одна из границ которой является отражаюш ей. [c.186]

Уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова. В качестве простейшего примера рассмотрим простой марковский процесс с одной переменной х(1). Введем обозначения х = х(0 и х = (<+ т). Можно показать, что если пределы выражений [c.540]

Уравнение (63) называют обычно уравнением Фоккера—Планка— Колмогорова (уравнением ФПК). [c.541]

Кроме основных понятий и определений, относящихся к случайным процессам, будут изложены две основные теории исследований динамических систем корреляционная теория и стохастическая теория, связанная с теорией процессов Маркова и уравнениями Фоккера — Планка — Колмогорова. Корреляционная теория обычно используется при исследовании линейных систем с постоянными и переменными параметрами и нeлинeйньfx после предварительной их линеаризации (любым методом), а стохастическая теория весьма удобна для исследования нелинейных и параметрических (линейных и нелинейных) систем. [c.5]

Методы исследования динамических систем, основанные на замене реального процесса внещних возмущений эквивалентным б-коррелнрованным, с использованием уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова, называются стохастическими. Эти методы тесно связаны с процессами Маркова. Широкое распространение стохастических методов в физике, астрономии, радиотехнике, автоматическом регулировании, а также в теории колебаний механических упругих систем объясняется тем, что сравнительно простыми средствами удается получить приближенные рещения сложных задач. [c.32]

Составим уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (1.92 для определения одномерной функциин распределения амплитуды w Ai) [c.144]

Чтобы решить нестационарное уравнение Фоккера—Планка—Колмогорова (4.97), воспользуемся хорошо известным приближенным вариационным методом Бубнова—Галёркина [86]. [c.177]

Функцию х(0 считаем случайной функцией времени, статистические характеристики которой заданы. Реальный процесс изменения параметра х(0 заменяем на эквивалентный б-корре-лированный и используем стохастические методы, связанные с составлением уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова для определения функций плотности вероятности искомых величин. [c.190]

Зспомнпм, что р (I, t I о) есть плотность вероятности перехода 113 первоначальной точки (с, й) в какую-либо внутреннюю точку интервала (с, й) для тех траекторий процесса ( ), которые до момента времени 1 ни разу не достигли границ и, следовательно, находятся внутри интервала в любой предыдущий момент времени. Для этих траекторий справедливы уравнение Фоккера— Планка—Колмогорова и обратное уравнение Колмогорова. Применительно к рассматриваемолху однородному во времени одномерному марковскому процессу они соответственно имеют впд [80] [c.185]

Отметим, что решение уравнения Фоккера—Планка—Колмогорова с граничными условиями (25) позволяет с похмощью (8) найти вероятность достижения заданных границ неоднородным марковским процессом (О У которого коэффициенты сноса и Диффузии зависят от времени. [c.185]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...