Уравнение Фоккера-Планка для лазера

Уравнение Фоккера-Планка для лазера. Примем следующие допущения, типичные в теории лазеров [c.135]

Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена. Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность, шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко понять и который позволит провести прямое сравнение с экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а последнее затем будет приведено (при выполнении определенных условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5. Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантовомеханического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей, недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией квантованных полей, мы приведем следующее важное соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит, что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными, их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических позициях. [c.250]

В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать очень небольшую, но интересную область в окрестности порога, в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию распределения лазерного излучения. Это можно сделать различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми и классическими величинами, что позволяет преобразовать уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера— Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми, и после решения уравнения получить искомую функцию распределения. Такой подход будет изложен в гл. И. В математическом плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер, но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь рассуждений, в которых оператор b считается с-числом, будет дано в следующей главе. [c.280]

Обобщенное уравнение Фоккера — Планка для лазера [c.305]

В предыдущей главе мы показали, как уравнение для матрицы плотности затухающей полевой моды может без потерь информации быть преобразовано в классическое уравнение Фоккера— Планка. Теперь мы можем поставить вопрос может ли аналогичная процедура быть применена к матрице плотности лазера (11.12), которая содержит и полевые, и атомные (или электронные) переменные Здесь возникает одно усложнение, которое связано с различием между бозе-операторами Ь, Ь+ и ферми-операторами электронов а , а. Хотя их коммутационные соотношения внешне различаются лишь знаком, это различие приводит к серьезным трудностям, если пытаться вывести операторные уравнения типа (11.49). Тем не менее получить уравнение Фоккера—Планка и в этом случае возможно, однако (в силу особых свойств операторов Ферми) это уравнение Фоккера—Планка содержит производные всех по- [c.305]

Уравнение (11.96) вместе с выражениями (11.97) — (11.100) представляет собой обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера. Отметим, что некоторые слагаемые имеют привычный для уравнения Фоккера—Планка вид и выражаются только через пер- [c.308]

В этом разделе мы хотим показать, как обобщенное уравнение Фоккера—Планка, вывод которого в общих чертах был намечен в предыдущем разделе, приводится к обычному уравнению Фоккера—Планка. Чтобы проделать это преобразование, мы должны оценить заранее масштаб величин и, v, D в лазере. Разумеется, в исходном уравнении самого общего вида [c.309]

Уравнение Фоккера—Планка (11.123) содержит и полевые, и атомные переменные. Вместе с тем из полуклассического подхода нам известно, что в случае лазера на пороге генерации атомные переменные можно исключить. Оказывается, что и из уравнения Фок кера—Планка вблизи порога атомные переменные легко исключить Это можно сделать двумя способами либо непосредственно в урав нении Фоккера—Планка, либо с помощью уравнения Ланжевена Выбор того или иного способа определяется отчасти личным вку сом, отчасти соображениями удобства. Кружной путь через урав нение Ланжевена на самом деле проще, так что мы выбираем его Как показано в классической статистической физике, уравнение Фоккера—Планка (11.123) совершенно эквивалентно следующей системе уравнений Ланжевена [c.313]

В заключение отметим, что обобщенное уравнение Фоккера— Планка (11.123) приложимо и в том случае, когда лазер находится значительно выше порога (при этом метод адиабатического исключения может оказаться уже неприменимым). [c.315]

СИЛЫ. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и квантовомеханическому состоянию системы, получим полуклассические уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение других методов, например метода матрицы плотности или подхода, основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут указаны в следующем разделе. [c.317]

II.3. Обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера [c.341]

Возник интересный вопрос почему квантовомеханический процесс может описываться классическим уравнением Фоккера— Планка Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответствия, который позволяет нам установить связь между квантовомеханическим описанием и классической формулировкой, не теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка теории была предложена Вигнером (1932 г.), который рассмотрел квантовые системы, описываемые операторами координаты и импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан (1963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но, конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3). В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить принцип соответствия. Задача была решена Гордоном (1967 г.) и Хаке- [c.30]

В предыдущей главе мы излагали квантовую теорию лазера на основе квантовых уравнений Ланжевена. Преимущество этих уравнений состоит в том, что их физический смысл легко уяснить благодаря аналогии с полуклассическими уравнениями для лазера. Они довольно легко решаются (даже в квантовом случае) для допорогового и надпорогового режима путем линеаризации. Вместе с тем небольшой интервал значений накачки в окрестности порога, в котором происходят наиболее интресные явления, нельзя проанализировать с помощью квантовых уравнений Ланжевена. Это связано с тем, что, хотя уравнения и применимы, не известен способ их решения для данной области. Поэтому в разд. 10.5 мы вынуждены были обратиться к уравнению Фоккера — Планка. Там мы выводили классическое уравнение Фоккера—Планка из квантовых уравнений Ланжевена на основе эвристических соображений. Цель настоящей главы — восполнить указанный пробел. Мы хотим здесь вывести прежнее уравнение Фоккера—Планка из первых принципов , причем сложную квантовомеханическую задачу будем решать по этапам с помощью вполне обоснованной и хорошо известной приближенной процедуры. В данном разделе мы сделаем первый шаг на этом пути п выведем уравнение для матрицы плотности лазера. От читателя требуется знакомство с основными свойствами уравнения для матрицы плотности. [c.291]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...