Методы Гильберта и Чепмена — Энскога

МЕТОДЫ ГИЛЬБЕРТА И ЧЕПМЕНА - ЭНСКОГА [c.115]

Гл. 5. Методы Гильберта и Чепмена — Энскога [c.116]

Уравнения (1.5) описывают метод последовательных приближений решения уравнения Больцмана. Интересно, что на каждом шаге надо решать одно и то же уравнение с различным неоднородным членом, который должен быть выражен через функции распределения предыдущих приближений. В этом отношении метод подобен методам Гильберта и Чепмена — Энскога здесь, однако, оператор, действующий на неизвестную функцию Ъ-п,, не просто оператор , а более сложный интегро-дифференциаль-ный оператор. Иными сл евами, уравнения, которые нужно решать, столь же сложны, как и исходное уравнение Больцмана, не считая нелинейности, которой мы избежали. Появление в каждом приближении одного и того же оператора позволяет рассмотреть лишь первое приближение, т. е. изучать уравнение [c.142]

Другими словами, если в уравнении Больцмана и уравнениях сохранения перейти к безразмерным координатам, отнеся х и у к характерной длине 6, то все рассуждения методов Гильберта и Энскога— Чепмена остаются без изменения. Уравнения Навье—Стокса будут иметь обычный вид, и член с вязкостью будет пропорционален малому [c.162]

В предыдущих главах были рассмотрены некоторые методы решения уравнения Больцмана, основанные на его линеаризации и разложениях по малому параметру, разложениях типа Гильберта и Чепмена — Энскога. Процедура линеаризации обычно применялась вместе с использованием кинетических модельных уравнений. Однако можно показать, что модельные уравнения способны аппроксимировать не только линеаризованное уравнение Больцмана, ыо также и его решения (гл. 6) следовательно, метод гл. 7 можно считать точным до тех пор, пока использование линеаризованного уравнения Больцмана оправдано. [c.219]

Цель метода Энскога — Чепмена состоит в установлении указанной связи и получении замкнутой системы гидродинамических уравнений. Установим вначале искомую связь, несколько изменив рассуждения метода Гильберта, приведенные в предыдущем параграфе. Вывод уравнений гидродинамики методом, близким к оригинальному методу Энскога — Чепмена, приведем позднее. [c.146]

Как и метод Гильберта, метод Энскога — Чепмена не позволяет решить задачу с произвольной начальной функцией распределения /, так как эта теория учитывает лишь начальные гидродинамические величины (первые моменты от /). В то же время решение уравнения [c.153]

В методе Чепмена — Энскога делается попытка преодолеть одну из многочисленных неоднородностей разложения Гильберта. В качестве исходной здесь используется макроскопическая информация о том, что, кроме кинетических слоев (порядка е), в окрестности границ суш ествуют и вязкие слои (порядка 8 /2), и дается единое описание как вязких слоев, так и нормальных областей. В то же время этот метод ликвидирует неоднородность финального слоя , так как в нем учитываются вклады различных порядков по 8 в производные по времени от пространственных производных. На самом деле факты существования вязких слоев и финального слоя взаимосвязаны, и в теории Чепмена — Энскога проста принимается во внимание существование и практическая важность режимов с, (еЛ 1 (где Т ж д. — характерные время и длина Т можно заменить другой характерной длиной, отличной от д). [c.130]

Ситуация иная в случае пограничных слоев. Мы уже знаем, что разложение Гильберта полностью ие замечает не только кинетические пограничные слои, но также и вязкие пограничные слои последние выявляются при помощи метода Чепмена — Энскога и метода, кратко описанного в 4. В то же время кинетические слои порядка 8 опускаются всеми описанными до-сих пор разложениями по степеням е чтобы восстановить их, мы должны применить растянутую переменную X = х1 г, аналогичную переменной т, использованной выше для начального слоя. [c.136]

Для пограничных слоев возникает ситуация, в принципе аналогичная описанной выше, но практически существенно отличающаяся от нее. Мы уже знаем, что в разложении Гильберта совершенно не представлены не только кинетические, но также и вязкие пограничные слои последние учитываются методом Чепмена — Энскога и методом, кратко описанным в разд. 4. Но кинетические слои порядка г отсутствуют во всех существующих разложениях по степеням е чтобы учесть их, нужно использовать растянутую переменную X = х/г, аналогичную переменной т, использованной ранее для начального слоя. [c.283]

Гл. 5. Методы Гильберта и Чепмена — Энскога пературы принимают вид (Грэд [6]) [c.136]

Метод элементарных решений связан с методом Чепмена — Энскога по крайней мере с двух точек зрения. Во-первых, разложение решения на дискретную и непрерывную части отражает (по крайней мере в простейших модельных уравнениях) отделение решения Чепмена — Энскога (справедливого вдали от твердых границ и некоторого начального состояния) от решения в переходной области, описываемой кинетическими слоями. Во-вторых, элементарные решения особенно эффективны при исследовании задач связи для методов Гильберта и Чепмена — Энскога (особенно для установления граничных условий). Это продемонстрировано нахождением коэффициента скольжения для модельного уравнения БГК. Для более общих модельных уравнений задачу определения граничных условий аналитически решить, вообще говоря, нельзя. Но всегда можно получить довольно точное описание решения, оценивая коэффициенты разложений или поправки к модельным уравнениям низшего порядка. В частности, отделяя нормальные и поперечные степени свободы, можно найти в квадратурах температурный скачок (Черчиньяни [10] гл. 6), результат оказывается очень близким к точному. [c.214]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Основной результат метода Чепмена — Энскога заключается в возвращении к макроскопическому описанию Навье — Стокса — Фурье путем соответствующего разложения определенных решений уравнения Больцмана. Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. С другой стороны, рассматривая высшие приближения метода Чепмена — Энскога, мы получаем дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнеттовские и супербарнеттовские уравнения), относительно которых ничего неизвестно, нет даже должных граничных условий. Эти уравнения более высокого порядка никогда не имели заметного успеха в описании отклонений от механики газа как континуума. Более того, предварительный анализ проблемы граничных слоев, по-видимому, дает одинаковое число граничных условий для приближений любого порядка (см. следующий параграф), в то время как порядок производных увеличивается. [c.130]

Таким образом, можно ожидать, что теория Чепмена — Энскога гораздо точнее теории Гильберта. Однако, если рассматривать высшие приближения метода Чепмена — Энскога, то будут получаться дифференциальные уравнения все более высокого порядка (так называемые барнетовские и супербарнетовские уравнения), относительно которых ничего не известно, нет даже надлежащих граничных условий. Эти уравнения никогда не приводили к сколько-нибудь заметным успехам при описании отклонений от модели Навье — Стокса. [c.275]

Другой подход предложил Даррозе [38], рассматривавший степенные разложения типа Гильберта, но не по е, а по V В результате он обнаружил два пограничных слоя внешний слой толщины 0(e ), который можно отождествить с прандт-левским вязким пограничным слоем, и внутренний слой толщины 0(е), соответствующий кнудсеновскому, или кинетическому, пограничному слою. В прандтлевском слое функция распределения не относится к гильбертовскому классу, но сохраняет свойства функциональной связи с макропараметрами течения (как это известно из успешного применения метода Чепмена— Энскога на уровне Навье — Стокса). Однако при таком разло женин уравнения Навье — Стокса не появляются вместо них по лучаются уравнения Прандтля для пограничного слоя. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...