Принцип минимума дополнительной энерги

Перейдем теперь к определению нижней границы модуля упругости. С этой целью воспользуемся принципом минимума дополнительной энергии. Согласно этому принципу, в каждой точке рассматриваемого тела удовлетворяются условия равновесия. При этом энергия деформации, полученная из распределения напряжений, уравновешивающих внешние силы, и соответствующая истинному распределению напряжений, является минимальной. Для составляющих напряжений а°, ... и энергии деформации для одноосного напряженного состояния можно положить, что =а, а другие составляющие равны нулю. Для этого случая можно записать следующее [c.37]

Условия (3.24) и (3.25) можно считать уравнениями Эйлера — Лагранжа, связанными с принципом минимума дополнительной энергии. Хотя (3.26) можно рассматривать в качестве естественных граничных условий модифицированного принципа минимума дополнительной энергии, опыт показывает, что точность определения коэффициента К ухудшится, если условия (3.26) не будут удовлетворены точно априори. [С другой стороны, заметим, что усилия, приложенные к поверхности трещины, можно сохранить в качестве естественных граничных условий модифицированного принципа минимума потенциальной энергии (3.9) при этом точность определения К не ухудшится.] Итак, если (3.26) удовлетворяются априори, функционал, представляющий дополнительную энергию, условия стационарности которого обеспечивают (3.24) и (3.25), может быть записан таким образом [c.201]

Принцип минимума дополнительной энергии [c.52]

Далее рассмотрим принцип минимума дополнительной энергии применительно к двумерной задаче 1.7. Заметим, что напряжения, выраженные соотношениями (1.61), образуют систему допустимых функций. Подставим их в функционал [c.61]

Докажите, что для плоской задачи, рассмотренной в 1.7, функционал принципа минимума дополнительной энергии имеет вид [c.73]

Докажите, что функционал принципа минимума дополнительной энергии (2.23) при введении множителей Лагранжа ц. И и " Иг преобразуется к виду [c.74]

Докажите, что принципы минимума дополнительной энергии и минимума потенциальной энергии в векторных обозначениях записываются соответственно в виде неравенств [c.74]

В предположении о малости перемещений принцип минимума дополнительной энергии может быть выражен через компоненты напряжений, как показано в 2.2. Однако сложная связь напряжений с перемещениями в теории упругости при конечных деформациях усложняет вывод принципа стационарности дополнительной энергии из Пд принцип более не выражается только через компоненты напряжений ). [c.96]

Сначала используем принцип минимума дополнительной энергии для вывода формулы для нижней границы. Пусть и Пе обозначают функцию напряжений и полную дополнительную [c.170]

Тогда из принципа минимума дополнительной энергии следует неравенство [c.171]

Сходные приемы применимы для анализа частных случаев обобщенного выражения (7.39). Например, потребовав, чтобы коэффициенты при Йх, 8w и 8w в (7.40) равнялись нулю, и исключив таким образом X и ш, получим функционал принципа минимума дополнительной энергии в виде [c.190]

Заметим, что принцип минимума дополнительной энергии для задачи о нагружении балки можно непосредственно получить из принципа (2.23), предполагая, что компонента определяется уравнением (7.35), а все остальные компоненты тензора напряжений дают пренебрежимо малый вклад в функцию дополнительной энергии (см. приложение Н). [c.190]

Коэффициент k вводится в уравнение (7.132), чтобы учесть непостоянство в поперечном сечении и влияние деформации -у,д. Приближенный метод определения значения k для балки, находящейся в статическом равновесии, дан в приложении Н, где используется принцип минимума дополнительной энергии. Для определения k можно использовать другой метод, так что некоторые результаты, полученные из данных выше приближенных уравнений, могут совпасть с результатами, получаемыми из точной теории колебаний или распространения волн [20, 21 ]. Подставляя выражения (7.130)—(7.132) в (7.125)—(7.127), получим [c.204]

В круглой пластине температура распределена по закону 6 (г). Поверхность диска предполагается свободной от усилий. Выведите с помощью принципа минимума дополнительной энергии уравнении для и Oq [c.252]

Оказалось, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы являются очень эффективными для анализа таких упрощенных конструкций. Подход, основанный на принципе минимума потенциальной энергии, обычно называется методом перемещений, а подход, использующий принцип минимума дополнительной энергии, называется методом сил ). Эти два метода являются главными методами анализа конструкций. Из-за недостатка места мы в основном остановимся на анализе ферм и рам, выдвигая на первый план вариационные формулировки. Для более подробного ознакомления с численными примерами и другими видами конструкций читатель отсылается к работам П—14], [c.290]

Функционал принципа минимума дополнительной энергии можно вывести из (10.24) обычным способом [c.294]

Таким образом, мы вывели принцип минимума дополнительной энергии из принципа минимума потенциальной энергии. Однако очевидно, что принцип минимума дополнительной энергии можно вывести другим способом с использованием принципа дополнительной виртуальной работы [c.294]

Подставляя выражения (10.30) в принцип минимума дополнительной энергии (10.25) и варьируя по Хр. получаем [c.295]

Мы видели, что в фермах и рамах характеристики деформаций, такие, как удлинения и углы поворота, связываются с внутренними силами и моментами с помощью дополнительной энергии элементов (см. уравнения (10.40) и (10.48)) и что принцип минимума дополнительной энергии обеспечивает условия совместности в большом [c.306]

Это соотношение означает, что связи между этими панелями остаются неразрывными после деформации. Однако в общем случае условия такого типа не выполняются. Таким образом, если нужно вычислить компоненты перемещений элементов независимо друг от друга, используя величины внутренних сил, полученных с помощью метода сил, то следует найти величины разрывов перемещений на границах между элементами. Для увеличения точности приближенного решения надо вместо состояния равномерного чистого сдвига ввести более сложный закон распределения внутренних сил. Очевидно, что эффективным средством такого увеличения точности является принцип минимума дополнительной энергии. [c.308]

Принцип минимума дополнительной энергии fa] Пто Модифицированный принцип дополнительной энергии [а, ц] [c.347]

В принципе минимума дополнительной энергии функционал можно записать в виде (ср. с выражением (2.23)) [c.348]

С другой стороны, допустимые функции в принципе минимума дополнительной энергии (13.33) должны удовлетворять не только уравнениям (13.1) и условиям (13.5), но и граничным условиям в напряжениях на границах между элементами [c.350]

Принцип минимума дополнительной энергии Обозначим напряжения в каждом элементе через [c.356]

И назовем каждое из них функцией напряжений. Совокупность этих функций напряжений может быть выбрана в качестве класса допустимых функций в принципе минимума дополнительной энергии, если они удовлетворяют следующим требованиям [c.356]

Следовательно, если функции напряжений выбраны так, что выполняются требования (i)—(iii), то в принципе минимума дополнительной энергии функционал дается формулой (ср. с (13.33)) [c.357]

Ставски 1152] сформулировал другую уточненную теорию, в которой наряду с деформацией сдвига по толш ине учитываются соответствующие нормальные напряжения. Основные уравнения, аналогичные по форме уравнениям классической теории трехслойных пластин, получены на основании принципа минимума дополнительной энергии. К сожалению, в этой работе рассмотрены только задачи статики с симметрично расположенными изотропными слоями. [c.193]

В то же время следует отметить работу Рыбицки [31], который при решении задач о плоском напряженном состоянии и об обобщенной плоской деформации на каждом шаге нагружения использовал принцип минимума дополнительной энергии. Метод Рыбицки аналогичен методу конечных элементов и, следовательно, обладает всеми положительными качествами последнего аналогия состоит в том, что структура в целом или ее локальная область исследуется путем разбиения на дискретные элементы. Рыбицки рассмотрел два типа элементов [c.227]

Аберсон и др. [26, 27] сделали одну из ранних попыток применения сингулярного элемента для описания движущейся трещины. Они воспользовались сингулярным элементом, приведенным на рис. 3(a), который включал в себя первые 13 членов собственных функций Уилльямса [28], определенных для стационарной трещины, находящейся в линейно-упругом теле. Собственные функции, использованные в [26,27], учитывают движения тела как твердого целого. Внутри сингулярного элемента вершина трещины перемещается между узлами А и В, как показано на рис. 3(a). После того как вершина доходит до узла В, происходит резкая смена схемы сетки, как это видно из рисунка. Для соблюдения условий совместности по перемещениям на границах между сингулярным и обычными треугольными элементами применяется модифицированный принцип минимума дополнительной энергии. Однако, как сообщается в [62], применение описанного подхода не привело к получению осмысленных результатов. [c.284]

Вариационные методы наиболее плодотворно применяются в теории малых деформаций упругого тела. В случае когда существует функция энергии деформации и при вариациях перемещений внешние силы остаются неизменными, принцип виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума потенциальной энергии. Этот вариационный принцип с помощью введения множителей Лагранжа дает семейство вариационных принципов, включающее принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. д. [c.18]

С Другой стороны, принцип дополнительной виртуальной работы приводит к установлению принципа минимума дополнительной энергии в случае, когда соотношения напряжения — деформации таковы, что существует функция дополнительной энергии и предполагается, что при вариации напряжений граничные условия в перемещениях остаются неизменными. Принцип минимума дополнительной энергии с помощью введения множителей Лагранжа приводит к принципу Хеллингера — Рейсснера, принципу минимума потенциальной энергии и т. д. Показано, что в рамках теории малых деформаций упругого тела эти два подхода к формулированию вариационных принципов являются взаимными и эквивалентными друг другу. [c.19]

Полагая, что величины и, v, w не изменяются при варьировании, из уравнения (2.22) можно вывести вариационный принцип минимума дополнительной энергии среди всех систем возможных напряжений а , Оу,. .., которые удовлетворяют уравнениям равнодесия и заданным краевым механическим условиям на действительные напряжения сообщают полной дополнительной энергии Пс [c.53]

Для доказательства обозначим компоненты действительных и произвольно выбранных возможных напряжений через а, Оу,. ... .., Тху и а х, Оу,. .., т ху соответственно и положим = Ох -j-+ Ьоу, al = Оу + Ьоу,. .., Тху Тху + Ьтху. Рассуждая так же, как и в предыдущем параграфе, получим, что первая вариация полной дополнительной энергии для действительного решения равна нулю, и поскольку В — положительно определенная квадратичная функция, то вторая вариация полной дополнительной энергии неотрицательна. Это и доказывает справедливость принципа минимума дополнительной энергии ). [c.53]

В этом параграфе будет показано, что принцип Хеллингера — Рейсснера и принцип минимума дополнительной энергии можно рассматривать как частные случаи обобщенного вариационного [c.57]

Таким образом, было показано, что поскольку принцип минимума потенциальной энергии выводится из принципа виртуальной работы, он может быть обобщен путем введения множителей Лагранжа и дает ряд вариационных принципов-, включающих принцип Хеллингера — Рейсснера, принцип минимума дополнительной энергии и т. п. Это показано в виде диаграммы на табл. 2.1. [c.59]

Принцип минимума дополнительной энергии был выведен в 2.2 из принципа Дополнительной виртуальной работы. Легко проверить, что принцип минимума потенциальной энергии можно вывести из принципа минимума дополнительной энергии, проводя в обратном порядке рассуждения этого и предыдущего параграфов. Эквивалентноегь этих двух подходов очевидна, так как речь идет о теории упругости при малых перемещениях. Однако особо отметим тот путь, который ведет от принципа виртуальной работы к принципу минимума потенциальной энергии и другим связанным с ним вариационным принципам, потому что этот метод имеет больше преимуществ при систематическом решении задач в механике твердого тела. [c.59]

Рассмотрим полумонококовую плоскую конструкцию, состоящую из панелей н стрингеров, как показано на рис. 10.16, н предположим, что внутренние силы этих элементов распределены так, как показано на рис. 10.8 и 10.9. Используя принцип минимума дополнительной энергии,в который вводятся уравнения равновесия с множителями Лагранжа, докажите, что условие совместности имеет вид [c.313]

Широко известно, что одним из первых математиков, принимавших участие в становлении МКЭ, был Курант. Он представил приближенный метод решения задачи кручения Сен-Венана с помощью принципа минимума дополнительной энергии, используя линейную аппроксимацию функции напряжений внутри каждого из совокупности треугольных элементов [1]. С другой стороны, наиболее важными и исторически первыми среди пионерских работ по МКЭ в задачах расчета конструкций считаются статьи Тёрнера, Клафа, Мартина и Топпа [2] и Аргириса и Келси [3]. После появления этих статей вариационный метод стал интенсивно использоваться в математических формулировках МКЭ. И обратно, быстрое развитие МКЭ сообщило мощный стимул к разработке вариационных методов за последнее десятилетие появились новые вариационные принципы, такие, как вариационные принципы со смягченными условиями непрерывности [4—8], принцип Геррмана для несжимаемых или почти несжимаемых материалов [9, 10] и для задач изгиба пластин [11, 12] и т. д. Цель части В состоит в том, чтобы дать краткий обзор достижений в области вариационных принципов, которые служат основой МКЭ в теории упругости и теории пластичности. С практическим использованием этих принципов при формулировке МКЭ читатель может ознакомиться по работам [5—7]. [c.340]

В этом параграфе, руководствуясь табл. 13.1, мы проследим вывод вариационных принципов, начиная с принципа минимума дополнительной энергии, выводя попутно модифицированный принцип дополнительной энергии и заканчивая модифицированным принципом Хеллингера — Рейсснера. Рассматривается та же задача, что и в 13.1. [c.356]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...