Вектор единичный деформации

Пусть aj, П] и к] — единичные векторы соответственно волокна, нормальной линии и направления оси до деформации, а а, п и к — те же единичные векторы после деформации. Тогда градиенты однородной деформации, определяемой уравнениями (91) и (92), даются формулами [c.332]

Соответствующие им векторы единичной длины обозначим через ii, i2, is. В результате деформации репер Ji, J2, [c.14]

Вектор d9 направлен по касательной к траектории деформации в данной точке. Направление касательной характеризуется единичным вектором Pi. Модуль d5 =ds есть дифференциал дуги траектории деформации, причем [c.88]

Единичный вектор касательной к траектории деформаций [c.89]

Здесь R = (г — г ) — радиус-вектор от элемента й (в точке г ) к точке наблюдения деформации (точка г) v = WR — единичный вектор в этом направлении. Подставив эти выражения в (27,10) и произведя под интегралом требуемые дифференцирования, получим после вычисления [c.158]

На примере единичного сдвига мы видели, что дислокация в результате перемещения по плоскости скольжения покидает криС талл. Опыт же показывает, что при больших напряжениях кристаллы претерпевают значительные деформации. Для объяснения этого факта необходимо предположить, что в кристалле имеются источники, которые генерируют дислокации при напряжениях, меньших чем 10 G. Такими источниками, как мы видели в разделе о дислокациях, являются, например, источники Франка — Рида, которые начинают действовать при скалывающих напряжениях Gb/l, где / — длина источника, Ь — модуль вектора Бюргер-са. В реальных кристаллах источники Франка — Рида — это только один из возможных механизмов размножения дислокаций. Рождение новых дислокаций в процессе пластической деформации и их перемещение приводят к макроскопическому сдвигу вдоль плоскости скольжения. [c.134]

Компоненты единичного вектора п в направлении главных осей тензора деформации или, что то же самое, направляющие косинусы вектора -и, которые обозначим через Uj, определяются из уравнений [см. (1 .48)1 [c.18]

Выясним теперь геометрический смысл компонент деформации бу. Для этого выведем формулу, дающую изменение угла между отрезками, направленными в исходном состоянии по единичным векторам тя п. Обозначим через dr и бг соответственно эти элементы, через ds и 6s — длины элементов, через О — угол между ними. [c.215]

Последующее упрощение состоит в предположении малости поворотов единичных векторов е, при деформировании. Это предположение не зависит от предположения о малости деформаций удлинений и сдвигов в сравнении с единицей. При рассмотрении задач о равновесии и движении гибких тел вопрос о необходимости учета [c.108]

Например, если сторона пластины, скажем X = О, жестко заделана, то при любой деформации на этой стороне (na-Vo)x = = По. Следовательно, п ka здесь равняется единичному вектору По, откуда й = О и п = По. Таким образом, величина / равна постоянной (нулю в рассматриваемом случае). [c.313]

Обозначим через а поле единичных векторов, касательных к волокнам, и через п — поле единичных векторов, ортогональных к волокнам после деформации, описываемой уравнением (101) тогда [c.338]

Особенно простым видом деформации, который ранее нами не рассматривался, является чистый сдвиг в направлении, перпендикулярном волокнам. Пусть а, Ь и с—единичные векторы, определяющие направление волокна, градиента и сдвига соответственно, и пусть величина сдвига равна к, так что деформация описывается формулой [c.348]

Если мы примем во внимание, что два единичных вектора п , п , направленных каждый внутрь соответствующего тела, в момент удара будут прямо противоположны, то увидим, что величина w измеряет непосредственно до и непосредственно после составляющую скорости (относительной) — Я] точки относительно точки по ориентированному направлению щ (или, что то же, составляющую по Bj скорости точки Pj относительно Р< . Так как характер явления требует, чтобы непосредственно до удара оба тела стремились сблизиться, то следует принять w < 0. Если теперь, отказываясь от анализа тех сложных явлений деформации и последующего восстановления (частичного или полного), которые сопровождают удар, мы ограничимся совокупной оценкой их эффекта, то окажется естественным обобщение гипотезы Ньютона (п. 4), состоящее в допущении, что удар вызывает обращение стороны относительной нормальной скорости двух точек Pj, Pg И, одновременно, уменьшение соответствующей величины. Другими словами, нам придется положить [c.485]

Векторные уравнения равновесия стержня. При исследовании статики стержня введем две системы координат неподвижную декартовую с единичными векторами i, (рис. 3.1), относительно которой определяется положение стержня, и подвижную, жестко связанную с сечениями стержня, относительно которой рассматриваются малые упругие деформации элемента стержня. Дуга S осевой линии отсчитывается от некоторой фиксированной точки, выбор которой произволен. [c.66]

Внутренняя геометрия траектории деформаций описывается движением по ней пятигранника Френе, представляющего собой естественную систему координат. Пять взаимно ортогональных единичных векторов этой системы координат выражаются через пять производных к— / к [c.91]

Каждый веер единичных векторов отвечает определенному, указанному на рисунке значению изменения длины вектора деформации 4 от момента поворота траектории. [c.93]

Аналитическое вычисление градиентов базисных функций (7.50) для получения базисных полей е й (х) приводит к громоздким выражениям, поэтому в модуле формирования базисных векторов предусмотрено численное дифференцирование с использованием конечноразностных выражений для компонент деформаций е ., Яу, в представительных точках. Соответственно к численному интегрированию сведено вычисление работ / (7.65) единичной распределенной нагрузки на перемещениях Uy (х). [c.247]

Следовательно, хь I2 характеризуют изменения главных кривизн без учета влияния деформаций растяжения и сжатия. Величина т соответствует закручиванию элемента, которое характеризуется изменением угла между линиями а, а + rfa или р, Р -f- отнесенным к dp, da. Эта величина имеет размерность кривизны и называется кручением. Она определена без учета деформации сдвига. Учет деформаций еь у при определении изменений кривизны и кручения не выходит [3.7] за пределы погрешности, вносимой исходными гипотезами. Поэтому в теории тонких оболочек вопрос использования выражений изменений кривизн и кручения решается с точки зрения простоты записи уравнений. Поскольку при записи единичных векторов члены второго порядка малости не учитывались, полученные выражения соответствуют первому приближению, т. е. они [c.28]

Пусть ho и h- начальное и конечное расстояния между двумя параллельными материальными плоскостями внутри тела, заданные для какой-либо однородной деформации to- t. Известно, что отношение hjha одинаково для всех пар материальных плоскостей, параллельных данным плоскостям, и может поэтому рассматриваться как функция общего для них вектора единичной нормали п. [c.69]

В общем случае искомые пересечения определяют четыре промежуточных (между первым и вторым этапами) положения инвариантных векторов суммарной деформации (полюсы с% d на рис. 3.26 - для системы сдёига (111) [112 ]у). Стереографическая проекция для системы сдвига (111) [lOlJ дана в работе [121]. Векторы nj рассчитываем, решая систему двух уравнений - для плоскости Р и окружности кон векторы с и d - путем решения системы двух уравнений - для плоскости К 2 и окружности Нормаль к плоскости 2 определяется произведением указанного ранее единичного вектора в направлении сдвш а Р2Н матрицу поворота на угол Матрица поворота = [c.110]

Определим теперь поле перемещений элемента. Предположим, что деформации в направлении нормали к срединной поверхности пренебрежимо малы. Тогда перемещения внутри элемента будут однозначно определяться тремя декартовыми компонентами узлового перемещения срединной поверхности и двумя углами повората узлового вектора относительно двух взаимно ортогональных перпендикулярных к нему направлений. Если два таких ортогональных направления заданы векторами единичной длины иц и Он с соответствующими углами поворота (скалярами) а,- и то по аналогии с (14.2), опуская для простоты индекс сред , можно записать [c.298]

Sij dij относим к внешним параметрам (типа температуры). Так d3 как среди величин Эц только пять независимых в силу Эц = 0, удобно ввести пятимерное эвклидово пространство деформаций с неподвижным единичным ортогональным репером ёц (k=l, 2,..., 5) и пятью независимыми функциями 9k t). Единичные векторы координатного репера удовлетворяют условию е,е/==б,у. В этом пространстве зададим пятимерный вектор деформации [c.86]

Этот вектор эквивалентен направляющему тензору деформаций Эц1Э. т. е. связан с ним взаимно однозначными соотношениями. Если значения 3ij известны, то направляющие косинусы единичного вектора 3 находятся по формулам [c.87]

Решение. Выбираем оси координат в направлениях ребер куба. Пусть ось вырезанного из кристалла стержни имеет направление единичного вектора п. Тензор напряжений в растянутом стержне должен удовлетворять следующим условиям должно быть = рп(, где р — действующая на единицу площади оснований стержня растягивающая сила (условие на основаниях стержня) для направлений t, перпендикулярных п, должно быть = О (условие на боковых сторонах стержня). Такой тензор должен иметь вид а,/, == pntnk. Вычислив компоненты дифференцированием выражения (10,10) ) и сравнив ия с выражениями Oiit = pnjfife, получим для компонент тензора деформации выражения [c.59]

Определение линейной деформации. Рассмотрим онределепие лине1итой деформации в точке Л деформируемого тела (рис. 3.2). Линейная деформация в различных направлениях будет различна, п следует указать не только точку, в которой определяется деформация, но и се па равление. Пусть деформация определяется в направлении, задаваемом единичным вектором s (см. рис. 3.2). [c.58]

Перейдем к определению линейной деформации вдоль прямо , проходящей через точку А. Прямая лежит в-плоскости, параллельной плоскости уОх, п направлена под углом а к оси х. Направление характеризуется единичным вектором s. Рассмотрим отрезок AB = ds (см. рис. 3.8), лежащий па уназапном паправлепии. [c.63]

Из условия несжимаемости следует, что независимо от того, растяжимы ли волокна, дивергенция V-a для данной частицы совпадает с дивергенцией Vo-ao для той же частицы до деформации (Пипкин и Роджерс [26] см. также Спенсер [40]). Если поля а и ао являются полями единичных векторов, то дивергенции этих полей определяются кривизной траекторий, ортогональных волокнам. Для частного случая плоских деформаций неизменность кривизны нормальных линий может быть получена как следствие более общего результата о сохранении дивергенции. Уравнение, определяющее форму нормальных линий при осесимметричной деформации, также можно рассматривать как следствие этого результата (разд. V, Б). [c.346]

Мы сохраним обозначение ао для поля единичных векторов, касательных к волокнам в недеформированном состоянии тела, армированного растяжимыми волокнами поле а определим по-лрежнему через градиент деформации F и поле ао соотношением а = F-ao. В рассматриваемой задаче векторы а не являются, вообще говоря, единичными квадрат длины этих векторов [c.349]

Эти значения L (xi) и г х- являются теперь начальными для интегрирования прогоночных уравнений (11.75), (11.76) при д ЛГ1. Может показаться, что метод факторизации, в котором интегрирование методом начальных параметров исходной линейной системы дифференциальных уравнений (11.59) заменяется двукратным интегрированием нелинейных уравнений (11.75) и (11.76), не имеет существенных преимуществ. Однако это не так. Именно в тех случаях, когда вследствие краевых эффектов метод начальных параметров неприменим, метод факторизации приводит к хорошим результатам, так как элементы матрицы L и вектора г меняются медленно и могут быть легко определены численным интегрированием уравнений (11.75) и (11.76). Это видно, например, из графиков, представленных на рис. 11.3, которые показывают характер изменения по длине цилиндрической оболочки постоянной толщины (радиус R, толщина К) одного из решений однородного уравнения осесимметричной деформации г/ц х) = sh рл X X sin рх и элемента матрицы податливости, соответствующего перемещению, вызываемому единичной поперечной силой [c.476]

Данное здесь в применении к вектору перемещения и определение линейного тензора деформации распространимо на любой вектор (п. II. 2). Например, применение операции def к вектор-радиусу г приводит к единичному тензору [c.60]

Смотреть страницы где упоминается термин Вектор единичный деформации : [c.277] [c.630] [c.70] [c.79] [c.87] [c.7] [c.223] [c.17] [c.242] [c.395] [c.14] [c.337] [c.348] [c.233] [c.354] [c.163] [c.24] [c.64] [c.71] [c.87] [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...