Дифференциальные уравнения второго порядка

Если выписать полное решение этого линейного дифференциального уравнения второго порядка с правой частью, то получим закон движения массы М, в котором будут смешаны свободные колебания системы, зависящие от начальных условий и параметров системы, и вынужденные колебания, определяемые характером возбуждения и параметрами системы. Как показывает практика, свободные колебания в системе затухают довольно быстро и остаются лишь вынужденные колебания. Вибрационные машины основной технологический процесс выполняют в установившемся режиме, когда свободные колебания уже затухнут, [c.302]

Обсудим здесь в общем виде проблему, возникающую в связи с уравнением Эйлера. В классической ньютоновской гидромеханике уравнение движения (7-1.4) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. При этом члены второго порядка возникают только в связи с вязким членом следовательно, [c.257]

Оно является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, и решение его может быть записано в форме [c.76]

Последнее равенство есть дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, решение которого может быть записано в виде [c.84]

Уравнение (196) может быть сведено к дифференциальному уравнению второго порядка. Квадратуры, к которым это дифференциальное уравнение в свою очередь сводится, не берутся, а вычисления графическим методом весьма гро- [c.91]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Уравнения Лагранжа (41) представляют собой п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для обобщенных координат q . Эти уравнения многими способами можно свести к системе 2п уравнений первого порядка путем введения новых переменных. Канонические уравнения или уравнения Гамильтона дают такую систему дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентную уравнениям Лагранжа, в наиболее удобной симметричной форме. [c.416]

Подставляя выражения (16.4) в уравнение (16.1), для определения перемещения и получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (уравнение [c.445]

Уравнение Навье —Стокса с учетом (2, 4. 1)—(2. 4. 3) можно преобразовать в дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных для функции 7 ( , 6) [c.30]

Продифференцируем (2. 6. 41) по I, затем выразим и подставим в (2. 6. 40). В результате получим последовательность неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функции ( ) [c.58]

Подставляя (4. 4. 15),(4. 4. 16) в уравнение (4. 4. 12), без труда получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции и (х) [c.143]

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение, как известно из математики, имеет вид [c.267]

Уравнение (XI.23) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, однородное, линейное, с постоянными коэффициентами. Общий интеграл этого уравнения имеет вид [c.299]

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e" . Полагая в уравнении (67) л =e" получим для определения п характеристическое уравнение n - -k =0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми ( 1,2= = ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид [c.233]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Дальнейшее решение задачи зависит от характера полученных дифференциальных уравнений. В данном случае получены независимые друг от друга линейные дифференциальные уравнения второго порядка, и для решения их можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса математики. Составляем характеристическое уравнение, соответствующее первому уравнению [c.258]

Уравнения Лагранжа II рода представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций q,, q ,. .. q . [c.396]

Рассмотрим еще второй способ решения полученной системы (а) двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка [c.414]

Так как система (1= -) состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка, то при ее интегрировании появляются шесть произвольных постоянных С[, Съ Сд, С4, Сц и Со- Для их определения в условии задачи должны быть дополнительные данные, называемые начальными условиями движения. [c.28]

Общее решение х этого неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами равно сумме общего решения Хг соответствующего однородного уравнения и частного решения уравнения с правой частью, т. е. [c.37]

Это нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрирование уравнения (1) для определения уравнения движения груза х /( ) связано с вычислительными трудностями. Вместе с тем вычис- [c.38]

Уравнение (1) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования составим характеристическое уравнение = [c.59]

Уравнение (1) является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его интегрирования составим характеристическое уравнение — Л = 0, откуда А, = /е. Следовательно, решение дифференциального уравнения (1) запишется в виде [c.61]

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.107]

Итак, для определения движения системы п материальных точек, входящих в состав системы, следует решить систему Зя обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с Зя неизвестными функциями одной независимой переменной t. Для нахождения бя постоянных, интегрирования должны быть заданы 6я начальных условий движения. При этом следует иметь в виду, что внешние и внутренние силы могут зависеть как от времени, так и от положений, скоростей и ускорений точек системы. Решение подобных задач оказывается трудным и громоздким. [c.142]

Уравнения (1 ) называются уравнениями Лагранжа второго рода ) При наличии голономных связей, наложенных на систему, число уравнений Лагранжа равно числу независимых обобщенных координат, т. е. числу степеней свободы. Система (1 ) состоит из обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. [c.472]

Для определения уравнений движения свободного твердого тела приходится интегрировать систему шести дифференциальных уравнений второго порядка. Задача решается в квадратурах только в исключительных случаях. [c.543]

Система уравнений Лагранжа второго рода представляет собой систему s обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат. Интегрирование этих уравнений дает нам обобщенные коорди наты Qu Qi, , как функции времени и 2s произвольных постоянных интегрирования. Далее на основании формул (3.19) можно получить декартовы координаты в зависимости от времени t и 2s произвольных постоянных интегрирования. [c.60]

Нахождение закона движения данной точки сводится к интегрированию системы (7), т. е. системы трех совместных дифференциальных уравнений второго порядка, в которых неизвестными функциями являются координаты движущейся точки х, у, z, а аргументом — время t. Проинтегрировав эту систему дифференциальных уравнений, получим X, у, Z в функциях времени и щести произвольных постоянных, т. е. найдем общее решение (общие интегралы) системы (7) в виде [c.322]

Прямолинейное (вдоль оси л ) движение свободной материальной точки определяется одним дифференциальным уравнением второго порядка [c.351]

Уравнение (34) есть неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Как известно. общее решение этого уравнения будет [c.370]

Это уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции г (д ). [c.418]

Пусть Т = Т д, ц, /) — кинетическая энергия системы. Уравнения движения материальной системы могут быть записаны [3,10 в форме и дифференциальных уравнений второго порядка [c.6]

Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для интегрирования этого уравнения составим характеристическое уравнение i [c.319]

Выражение (4.13) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно обобщеннон координаты q и называется дифференциальным уравнением движения механиз1ма. Оно может быть также получено из уравнения Лагранжа второго рода. [c.123]

Полученное уравнение называется точным уравнением изогнутой оси бруса.Оно является нелинейным дифференциальным уравнением второго порядка, интегрирование которого, как известно, представляет значительные труднссти. В связи с этим н так как в подавляющем больншнстве рассматриваемых на практике задач прогибы малы, точное уравнение (10.43) заменяют приближенным уравнением — уравнением для малых перемещений. [c.272]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Систему S дифференциальных уравнений (125.6) называют урт-нсниями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q , q , q . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах [c.343]

Второй способ. Так как в данном случае функция f(x)== 4tnx является линейной функцией от х, то дифференциальное уравнение (120) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. [c.250]

Для решения этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим соответствующее характеристическое уравнение /. -j- А = 0. Корни характеристического уравнения равр(ы — и решение уравнения запишется в виде [c.188]

Из этого факта следует, что динамическая система, определяемая точечным отображением плоскости в плоскость с простейшими установившимися движениями и некратными неподвижными точками, может быть описана дифференциальными уравнениями второго порядка тогда и только тогда, когда ее сепаратрисные кривые седловых неподвижных точек не взаимопересекаются. Заметим, что требованию некратности можно всегда удовлетворить, заменяя отображение некоторой его степенью. На рис. 7.105 приведены точечные отображения с простейшими установившимися движениями. У одного из них сепаратрисные инвариантные кривые седловых неподвижных точек не пересекаются, и оно может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка, причем без периодических движений. У второго такие пересечения имеются, и оно уже не может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка. [c.360]

Следовательно, движение свободной механической системы, состоящей из 11 материальных точек, oijределяется системой Зп дифференциальных уравнений второго порядка. [c.272]

Подставляя в (263), получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициен1ами [c.441]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...