Примеры конечных элементов и пространств конечных элементов

Примеры конечных элементов и пространств конечных элементов [c.53]

Правильность сделанных выводов подтверждают фото 45 и 46. Эти примеры показывают, что композиционно портрет можно решить по-разному достаточно выразителен по рисунку и первый его вариант (фото 45). Положение фигуры здесь почти центрально, но и кадрирование снимка сделано с учетом особенностей центральной композиции — ни справа, ни слева от фигуры нет сколько-нибудь значительного лишнего, не мотивированного свободного пространства. А во втором варианте (фото 46) фигура смещена от центра, зафиксирована в правой части картинной плоскости. Но сделано это с определенной целью — ввести в кадр новый сюжетный элемент и использовать его для композиционного и смыслового завершения картины. И, конечно, дело здесь не просто в декоративном обогащении рисунка новый компонент обладает активной характеризующей силой, и такой вариант портрета сообщает о главном персонаже много дополнительных сведений. [c.90]

В главе 1П даются краткие сведения из теории пространств Соболева и коэрцитивных форм, необходимые для применения развиваемой теории метода конечных элементов к численному решению уравнений в частных производных. Здесь же на двух примерах рассмотрены вопросы существования и единственности обобщенных решений уравнений в частных производных. [c.6]

Мы поясним метод конечных элементов и введем необходимый математический аппарат на хорошо известном примере. Возьмем одномерное пространство, чтобы конструкция элементов была проста и естественна, а математические преобразования вели прямо к цели — требуется всего лишь интегрирование по частям вместо использования общих формул Грина. Итак, мы выбираем уравнение [c.13]

Заметим, что в абстрактном методе конечных элементов не требуется, чтобы функции Ф интерполировали в некотором узле Zj и были кусочно полиномиальными. (Мы докажем, однако, что последние наиболее эффективны.) Интерполирующим свойством будет обладать любой базис, лежащий в пределах узлового метода конечных элементов, но наша абстрактная теория этим свойством не пользуется. В качестве примера рассмотрим кубические сплайны одной переменной. В этом случае М = 1, и подходящий выбор для Ф[ — это В-сплайн, приведенный на рис. 1.9. Пространство 5 всех комбинаций Е <7гФ г тогда совпадает с пространством сплайнов, т. е. дважды непрерывно дифференцируемых кусочно кубических функций, стыкующихся в точках X = О, /г, 2/г,. ... Существенно, что В-сплайн Ф] не является интерполирующим, он отличается от нуля на четырех интервалах вместо двух, позволенных в узло- [c.126]

Рассмотрим простой пример области Я, состоящей из нескольких плоских фигур, которые, будучи связанными вместе, образуют кусочно-гладкую поверхность в трехмерном пространстве. Предполагается, что каждая плоская фигура имеет относительно простую форму многоугольника (например, треугольника, прямоугольника, шестиугольника). Удобно каждую такую плоскую фигуру считать конечным элементом, принять = Я и выбрать в качестве узловых точек элементов вершины многоугольников. Во многих приложениях с помощью подходящего набора таких плоских конечных элементов может представляться какая-либо гладкая поверхность, но сейчас это для нас несущественно. [c.55]

Конечно, мы только наметили способ определения внутренних сил в окрестности точки М твердого тела. Как видно из изложенных соображений, внутренние силы в окрестности точки М, распределенные на элементе плоскости Q, существенно зависят от ориентации этой плоскости в пространстве. Изменяя положение плоскости Q, мы будем находить различные распределения внутренних еил в окрестности точки М плоскости Q. Вопрос об описании распределения внутренних еил в окрестности некоторой точки трехмерного тела подробно рассматривается в механике непрерывной среды — в механике твердого деформируемого тела, в гидромеханике и пр. Этот вопрос выходит за пределы теоретической механики. Заметим, что распределение внутренних еил суш,ественно зависит от распределения внешних сил. Заменяя систему внешних сил эквивалентной системой, мы изменим распределение внутренних сил. Следовательно, при определении внутренних сил нельзя преобразовывать систему внешних сил. Далее мы будем иметь возможность рассмотреть применение метода сечений на ряде конкретных примеров. [c.243]

Несмотря на то, что конечный результат обоих упомянутых процессов совершенно одинаков, корпускулярный и волновой механизмы передачи возмущения через пространство существенно различны как по существу, так, и это самое главное, по своим возможным последствиям. Действительно, нетрудно заметить, что корпускулярная теория предполагает передачу импульса посредством переноса частицы. В волновой теории частицы не перемещаются — перемещается только энергия. Однако для данного случая, как, пожалуй, для всей волновой теории в целом, более важным является тот факт, что соответствующее свету возмущение передается через элементы пространства как через некие промежуточные звенья. В примере, приведенном на рис. 5, б, такими звеньями являются шары Ъ, с, d, в трехмерном пространстве роль звеньев, через которые передается световое поле, выполняют двумерные поверхности. [c.18]

Простая аналогия ведет от рассмотренных в разд. 4.1 и 5.1 примеров к следующему обобщению. Пусть О — группа отражений конечного порядка, элементы которой действуют в евклидовом пространстве оставляя инвариантным скалярное произведение х,у). По предположению, группа порождается конечным набором генераторов v = l, 2,. .., г, которые задают отражения в гиперплоскостях с вектором нормали Пу, [c.96]

В нашем примере допустимым пространством Же будет пространство непрерывных функций. Кусочно постоянные функции сразу отбрасываются. Поэтому проще всего взять в качестве множество функций, линейных на каждом интервале [(/—1)/г,/Л], непрерывных в узлах х = к и равных нулю при л = 0. Производная от такой функции кусочно постоянна и обладает, очевидно, конечной энергией таким образом, S — подпространство пространства Же- Такие пробные функции мы будем называть линейными элементами. [c.39]

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров конечных элементов и базисных функций на них или функций формы для элементов заметим, что конечноэлементная аппроксимация должна удовлетворять условиям линейной независимости и плотности в соответствующем функциональном пространстве. Проверка этих условий иногда представляет непростую задачу. Поэтому здесь эти вопросы рассматривать не будем, а ограничимся указанием собтветству-ющей литературы [159, 173, 372]. [c.146]

Предоставляем читателю проверить на любом из примеров, что базисные функции пространства конечных элементов получаются из базисных функций конечных элементов следую1цим образом Пусть фд Бд — одного из видов (2.3.25), )- соотвстствуюн],ий узел [c.98]

В разд. 2.2 описываются различные примеры конечных элементов, являющихся или и-симплексами [симплициальные конечные элементы), или -прямоугольниками (прямоугольные конечные элементы) со всеми степенями свободы—значениями в точках (лагранжевы конечные элементы) или некоторыми степенями свободы — производными по направлениям (эрмитовы конечные эле-менгы), что приводит к включению Хд(=Я (й) (конечные элементы кло1(а ё ) или включению Х (=Я ( 2) (конечные элементы класса й ), если они объединяются в пространство конечных элементов Х/у [c.46]

Произведя триангуляцию на множестве Q с помощью специального процесса, который будет проиллюстрирован в следующем разделе и далее мпогочислсннымн примерами, определяем пространство конечных элементов В данный момент, не уточняя, будем просто помнить, что Хд — конечномерное пространство функций, определенных на множестве У (на данном этапе мы будем сознательно игнорировать требования пространств конечных элементов, функции которых могут иметь два различных определения, исходя из соседних конечных элементов см. разд. 2.3). [c.49]

Последний вопрос, который мы хотим рассмотрегь в этом разделе, состоит в том, как учесть краевые условия в пространстве конечных элементов. Как и прежде, будем в основном руководствоваться примерами. [c.101]

Для п 2 это пример истинного и юпараметрпческого конечного элемента, стороны которого пе криволинейны Это происходит потому, что функпии из пространства ([О, ] ) аффиппы по направлению каждой координатной оси. Одпако это верно только для размерности 2. Если, например, п 3, то грани множества К — части гиперболических параболоидов и, следовательно, вообп1е говоря, криволинейны. [c.228]

Эти пространства входят в категорию пространств узловых конечных элементов (в том смысле, который мы обсуждали ранее), и потому, быть может, стоит рассмотреть также и пример пространства, рассматриваемого в абстрактном методе конечных элементов. Пространство бикубических сплайнов, принадлежащих классу 9 в О, вероятно, подходит лучше всего, но в данной задаче с этим лространством работать трудно. Неприятности связаны с главным краевым условием ы = О на трещине РРъ Бикубический сплайн, равный нулю на этой прямой, будет в точке Р таким, что не сможет как следует аппроксимировать истинное решение и, все производные которого сингулярны. Чтобы обойти эту- трудность, потребуем, чтобы сплайны при переходе через прямые РСг, PQз и PQ4 были всего лишь непрерывными ( °), пространство таких сплайнов обычно называют сплайн-лагранжевым [c.312]

Пример 7.2. Преобразования локальных координат. Как видно из предыдущего примера, введение системы локальных координат часто является лишь формальностью, призванной подчеркнуть тот факт, что при построении локальных аппроксимаций / е) (х) отдельные конечные элементы рассматриваются независимо от других. Часто модели можно строить, используя одни и те же координаты и в глобальных и во всех локальных системах, и вся разница между ними — формальная разница в обозначении локальных и глобальных узловых точек. Однако в некоторых случаях использование систем локальных координат, отличных от глобальных, имеет существенное значение. Как правило, эти случаи характеризуются тем, что окончательная конечноэлементная модель представляет собой ансамбль конечных элементов некоторой размерности, вло)аднных в пространство более высокой размерности, скажем локальные поля/(е) (х) определены в пространстве размерности ге, а окончательная модель — в пространстве размерности А > ге. Одним из примеров такого типа является трехмерная ферма, состоящая из брусьев, локальное поведение которых может быть описано одномерными функциями. Локальные системы используются также в тех случаях, когда ориентация или расположение элемента в связанной модели либо его форма таковы, что введение локальных систем облегчает построение функций (х). [c.55]

Щвумерные задачи. Для того чтобы проиллюстрировать использование конечных элементов в пространственно-временной области, рассмотрим простой пример одномерного упругого стержня длины Ь с поперечным сечением А под действием заданной силы Р ( ) на свободном конце или при заданном начальном перемещении и х, 0) = / х). В обычных конечноэлементных моделях продольное перемещение и = и х, ) аппроксимируется одномерными интерполяционными функциями флг ( ) (Л = 1, 2,. . ., ТУе), помноженными на являющиеся функциями времени узловые перемещения. Мы же сейчас будем считать перемещения значениями локального поля (х, 1), определенного в некоторой области двумерного пространства (х, t). Интерполяционные функции являются функциями как продольной координаты х, так и времени т. е. фJv = фJv (х, ). Для типичного конечного элемента [c.170]

Компактные группы. Это Г., в к-рых из каждой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Компактные Г. имеют конечный объём . Более точно, инвариантная мера Г. конечна в том и только в том случае, если Г. компактна мера на Г. паз. инвариантной, если меры подмножеств В ш gB равны для любого подмножества BdG и элемента g G). Среди дискретных Г. компактными являются только конечные Г. Примеры компактных Г. Г. вращений окружности и сферы (и вообще Г. движений компактны многообразий), Г. унитарных преобразоваиий в конечномерном гильбертовом пространстве и (и) и Г. ортогональных преобразований в конечномерном евклидовом пространстве 0(п). [c.542]

Нориальвая нагрузка, распределенная по границе полубеско-" печного пространства. Решение для случая распределенной нормальной нагрузки можно, разумеется, получить наложением, записав решение (5 48) для каждого малого элемента нагрузки и просуммировав их, путем интегрирования по -области нагружения. Однако получающиеся при этом интегралы не всегда легко вычисляются. В качестве примера рассмотрим отнесенную к единице площади сжимающую нагрузку ро (т. е. сжимающее напряжение), равномерно- распределенную по крзпговой области на границе иолубес-конечного пространства с радиусом Ъ и пентром в начале координат. [c.335]

Пример 2, Любая (конечная или бесконечная) система элементов гильбертова просз анства, ортогональных и отличных от нулевого, минимальна. Так, например, система функций зткях1а (й=1, 2,. . ) минимальна в пространстве 1г[0, а]. [c.163]

Необходимым требованием к проведению испытаний на надеж-нрЬть должен быть как можно более пол 1й учет факторов, воздействию, которых подвергаются изделия при эксплуатации. Однако в современной научно-технической литературе вопросы испытаний изделий на работоспособность и надежность освещаются в подавляю- щем большинстве на примерах однофакторных, реже двухфакторных экспериментов. Описание результатов испытаний изделий, при которых одновременно варьируются три фактора внешней среды, встречается в периодической литературе чрезвычайно редко. В то же время известно, что на изделия при эксплуатации одновременно влияют не один-два фактора, а значительно больше. Например, на ходовую часть и механизмы управления автомашин, автобусов, троллейбусов и других видов транспорта в процессе эксплуатации воздействуют следующие основные факторы внешней среды переменные, силовые нагрузки от перевозимых грузов (по всем трем осям пространства), вибрации от работающего двигателя и агрегатов, удары и вибрации вследствие неровностей дорожного рельефа, температура и влага окружающей среды, пыль, биологическая среда, песок и др. Элементы летательных аппаратов (самолетов, вертолетов, ракет) критичны к воздействию таких внешних и внутренних факторов, как силовые нагрузки в полете (старт, ускорение за счет работы двигателей, торможение), маневренные нагрузки (изменение скорости полета, траектории), аэродинамиче-. ские нагрузки, нагрузки от порывов ветра, вибрации в широком диапазоне амплитуд и частот от работающего двигателя и агрегатов, колебания питающих напряжений, температура, влага, вакуум, солнечная радиация, электромагнитные и радиационные поля, излучения и т. д. Уже из этих двух примеров (их можно привести большое число) видно, что количество одновременно действующих на изделие при эксплуатации факторов может быть значительно больше трех и достигать двенадцати—пятнадцати, а В отдельных случаях восемнадцати—двадцати [16]. Конечно, для того чтобы осуществить такой многофакторный эксперимент, нужно преодолеть ряд трудностей как теоретического, так и технического характера. [c.4]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...