Скорость волн в тонком стержне

Скорость волн в тонком стержне. Если стержень тонкий, то деформации и напряжения вдоль координаты х связаны известным законом Гука [c.85]

Распространение возмущений в системе с большим числом степеней свободы. Скорость распространения. Возбуждение волн. Группа волн и ее скорость. Волновое уравнение. Волны в сплошном шнуре. Отражение волн. Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний. Волны в упругих тепах. Поперечные волны. Энергия, переносимая волной. Вектор Умова. Продольные волны. Скорость волн в тонком и толстом стержнях. Отражение и прохождение волн на границах двух сред. Удельное волновое сопротивление. [c.63]

Скорость продольных волн в тонком стержне [c.167]

Как соотносятся скорости объемной продольной волны и продольной волны в тонкой пластине, а также скорость продольной волны в тонком стержне со скоростью объемной сдвиговой волны, если материалом для всех этих случаев служит сталь (у = 0,28). [c.210]

Согласно (40.3) коэффициент при второй производной по времени в волновом уравнении есть величина, обратная квадрату скорости. В нашей задаче р/Е = l/v , откуда получаем следующую формулу для скорости распространения продольных упругих волн в тонком стержне [c.136]

Рис. п.1. Зависимость соотношения скоростей продольных С , поперечных с , поверхностных с, и симметричных волн в тонком стержне Со от коэффициента Пуассона [c.276]

Из теории распространения упругих колебаний известно, что скорость продольных волн зависит не только от свойств материала образца, но и от его формы. Так, фазовая скорость продольной волны в тонком стержне диаметром d X(vp ) будет меньше, чем в тонкой пластине толщиной а та, в свою очередь, меньше, чем [c.151]

Скорость от точки к точке меняется по тому же закону, что и смещение, но смещение и скорости сдвинуты друг относительно друга по фазе на я/2. Скорость данной точки стержня достигает максимума, когда смещение этой точки падает до нуля. Представим себе для какого-то момента времени распределения смещений и скоростей волны в стержне. Если мы отметим сечения / и которые имеют в данный момент наибольшее смещение (рис. 445, а), то в этот же момент наибольшую скорость имеют сечения 2 н 2, находящиеся на расстоянии X/i от мест наибольшего смещения (смещения указаны вертикальными штриховыми линиями, скорости — горизонтальными стрелками). Можно сказать, что волна скоростей сдвинута относительно волны смещений по времени на Т/4, а в пространстве — на Х/А. [c.679]

При спокойном движении фронт, зародившейся в точке А (в момент времени to) волны возмущения, по истечении продолжительного времени t уйдет (так же как и в случае вертикального стержня на рис. 15-7, а) за пределы интересующей нас области, причем в районе точки А останется некоторый подпор величиной Ah (см. продольный разрез потока на рис. 15-8, а). Этот небольшой подпор при рассмотрении установившегося движения (оставшийся после того, как неустановившаяся волна возмущения уйдет на большое расстояние от точки А) может быть объяснен как следствие действия центробежных сил плавно поворачивающихся струек, а также еще тем, что скорость v в точке А несколько уменьшается. [c.519]

Изменим ускорение точки 5=0 на величину с момента времени =то. Это вызовет дополнительную волну, распространяющуюся со скоростью йо- В точке 5 =йт1, где т2=аоТа/(йо— дополнительная волна догонит начальную, что вызовет изменение ускорения и скорости распространения фронта суммарной волны. Решение уравнения (1. 36) при условии, что скорость точек стержня не меняет направления, имеет следующий вид [c.53]

То, что при v=l/3 в (неограниченных) твердых телах отношение скорости волн расширения (дилатационных волн) к скорости распространения продольных волн в стержнях дает в точности то же числовое значение, что и отношение скоростей волн в воде, в ситуации, которая, как было предположено, была аналогичной, убедило Вертгейма в фундаментальной важности этого факта ). [c.335]

На основании своего опыта изучения профилей волн конечной деформации при известных скоростях частиц Хан первым установил, что нелинейная теория Тэйлора и Кармана справедлива и в случае волн растяжения. Хан смог установить и определяющую функцию отклика. Он обнаружил, что эта функция очень близка к той, которую я определил для волн сжатия, т. е. к определяемой формулой (4.54) в разделе 4.28. Замеренные и предсказанные продолжительности прохождения фронтов волны растяжения и волны сжатия точно определялись на основании одной и той же функции отклика, так же как и измеренные наибольшие деформации в каждом случае и наибольшие напряжения для отраженной волны в жестком стержне, показанном на рис. 4.226. [c.331]

Для решения задачи об одномерном распространении волн в тонком упруго-вязкопластическом стержне, закрепленном. /ИЛИ свободном на неударяемом конце, при действии удара, с постоянной скоростью и с конечным временем приложения был использован конечно-разностный метод. Эти условия на- гружения с достаточной степенью точности аппроксимируют условия, имевшие место в экспериментах. Основные уравнения имеют следующий вид [c.223]

Отражение импульса сжатия от свободного конца хронометра приводит к распределениям напряжений, подобным тем, которые показаны на фигуре, но если хронометр" короче длины импульса, то он отделится от стержня прежде, чем отражение закончится. Когда хронометр отделится от стержня, количество движения, захваченное им, соответствует части импульса, имеющей длину, равную удвоенной длине хронометра , и, как видно из фиг. 21, д, хронометр длиной, равной половине длины импульса, захватывает все количество движения, оставляя стержень в покое. Это дает метод измерения продолжительности импульса ее можно вычислить,если известны наименьшая длина хронометра , оставляющего стержень в невозмущенном состоянии, и скорость продольных волн в материале стержня. [c.87]

Уайт [157] рассмотрел эту задачу для материала, у которого зависимость напряжение — деформация имеет вид, показанный на фиг. 39, и изобразил диаграмму распространения фронтов различных волн на плоскости (д , /). Такая диаграмма показана на фиг. 41 для стержня, испытавшего удар на одном конце, тогда как другой его конец закреплен. Упругие волны показаны на фигуре тонкими линиями, а пластические волны — жирными линиями. Предположено, что длина стержня равна 01, а постоянное сжимающее напряжение приложено в течение времени ОТ, после чего снято. Зависимость (х, ) для фронта начальной упругой волны обозначена О А, а зависимость для фронта пластической волны обозначена ОР. Из точки и распространяется волна разгрузки со скоростью упругих волн и встречает пластическую волну в точке Р . Затем упругая волна сжатия движется в обратном направлении к концу стержня, тогда как пластическая волна с уменьшенной амплитудой, но с той же скоростью распространяется к точке Рд, где она еще раз встречает упругую волну, отраженную от конца стержня, и этот процесс повторяется в точках Р , Р и т. д., причем амплитуда пластической волны при каждой встрече уменьшается. Тем временем упругая волна достигает закрепленного конца стержня в точке А. Так как в момент отражения напряжение между фронтом пластической волны и закрепленным концом стержня всюду равно пределу пропорциональности, избыточное напряжение, возникающее при отражении, распространяется в обратном направлении как пластическая волна это показано на фиг. 41 в виде прямой АВ. Эта волна встречает [c.160]

Наиболее просты С. в. в одномерных областях, напр, в жидкостях или газах, заполняющих узкую (по сравнению с длиной волны) трубу, или в тонком стержне. Звуковое давление р в С. в. в трубе длиной L, заполненной средой с плотностью р и скоростью звука с в ней, можно записать в виде [c.336]

Как уже указывалось ранее, при измерении скорости распространения импульса в тонком стержне измеряется скорость распространения волны, равная [c.245]

Рассмотрим теперь, как распределяются в такой бегущей по стержню упругой волне скорости и деформации. Прежде всего, если смещение какой-либо точки стержня изменяется по закону [c.678]

О расположении в струне волны деформаций по отнощению к волне смещений и волне скоростей можно повторить все то, что было сказано для стержня. Действительно, деформация (угол с направлением д ) равна нулю в точках наибольшего [c.681]

Бегущая волна скоростей отражается от закрепленного конца стержня также с поворотом фазы на я (аналогично тому, как при отражении отдельного импульса от закрепленного конца стержня скорость изменяет знак). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн скоростей получается такое же, как и для волны смещений. Поэтому узлы скоростей в стоячей волне образуются в тех же точках, что и узлы смещений. Это и понятно в узле смещений сечение стержня все время остается в покое, следовательно, и скорость в этом сечении все время равна нулю. Ясно также, что пучности скоростей лежат в тех же точках, что и пучности смещений. [c.685]

Что касается бегущей волны деформаций, то при отражении от закрепленного конца стержня она не изменяет фазы (так же, как не изменяется знак деформации для отдельного импульса). Соотношение между фазами падающей и отраженной волн для д ормаций будет не таким, как для смещений и скоростей, вследствие чего узлы деформаций получатся не в тех местах, где узлы смещений. Можно было бы, складывая падающую и отраженную волны деформаций, как это было сделано для волны смещений, найти места узлов и пучностей деформаций. Но и без этих расчетов можно сказать, что на закрепленном конце стержня должна получиться пучность деформации, так как в этом месте падающая и отраженная волны деформаций совпадают по фазе. [c.685]

Так как энергия течет только в том случае, когда происходит движение деформированного тела, то ни через узлы смещений, где сечения стержня неподвижны, ни через узлы деформаций, где сечения стержня никогда не деформированы, не происходит течения энергии. Энергия, которой обладает участок стержня длиной в А./4, заключенный между узлом смещений и узлом деформаций, остается навсегда Б этом участке. Происходит лишь превращение заключенной в этом участке энергии из кинетической в потенциальную и обратно (скорость и деформация сдвинуты по фазе на я/2). Полный переход энергии из кинетической в потенциальную и обратно происходит дважды за период. В стоячей волне, в отличие от бегущей волны, не происходит течения энергии. Этого, впрочем, и следовало ожидать мы получили стоячую волну как результат сложения двух бегущих волн равной амплитуды, распространяющихся в противоположные стороны. Обе бегущие волны несут с собой одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому результирующая стоячая волна не переносит энергии. [c.686]

Присутствие в стержне помимо стоячей также и бегущей волны (существование которой, как мы убедились, обусловлено потерями энергии в стержне) приводит к тому, что в тех местах, где образовались узлы стоячей волны (либо смещений и скоростей, либо деформаций), амплитуды соответственно смещений и скоростей или деформаций оказываются отличными от нуля, так как на стоячую волну налагается бегущая волна, амплитуды смещений, скоростей и деформаций которой нигде не обращаются в нуль. При этом чем больше потери энергии в стержне, тем меньше амплитуда Ха (х) и тем больше амплитуда бегущей волны Xi (х) — Xj (х) во всех точках стержня, и в частности во всех узлах стоячей волны, в том числе в начале стержня (где хотя и образуется узел смещений и скоростей стоячей волны, но где результирующие амплитуды смещений и скоростей не равны нулю, а имеют тем большие значения, чем больше потери энергии в системе). Этот вывод подтверждает справедливость тех представлений, из которых мы исходили выше при обсуждении вопроса о величине амплитуды стоячих волн в пучности для случая стержня, один конец которого совершает заданное движение. [c.691]

Если мы рассматриваем эту дискретную систему как модель одномерной кристаллической решетки, то а есть расстояние между атомами решетки, т. е. величина порядка 1 -Ю см. При скорости распространения упругих волн в стержне у 5-10 см сек длине волны % = [c.696]

Рассмотрим теперь распространение продольных упругих волн в тонком стержне радиусом d. Как известно, скорость линейньпс длинньех волн в таком стержне равна с, = у/Е/р где Е — модуль Юнга, р - плотность. Конечность же толщины стержня приводит к дисперсии скорости звука, которая сказывается все больше по мере укорочения длины волны. В результате возможно, в частности, существование солитонов. Эти вопросы рассматривались в ряде работ (см., например, [Молотков, Вакуленко, 1980]). [c.166]

Физическую причину различия предельных значений и С/ легко понять, учитывая, что это различие связано с коэффициентом Пуассона, который определяет сокращение поперечных размеров стержня при его удлинении. В случае тонкого стержня изменение его поперечных размеров при продольных деформациях не встречает сопротивления со стороны внешней среды, что эквивалентно меньшей эффективной жесткости по сравнению с безграничным телом при 0. В свою очередь, наличие поперечных пульсаций при распространении продольных волн в тонком стержне означает зависимость его поперечных размеров, т. е. площади 5, от координаты д , что не учитывалось при выводе уравнения (Х.74). Учет этого обстоятельства, выполненный Рэлеем (11 для круглого стержня радиусом Н, приводит к убыванию скорости с увеличением частоты при / < А. Физическая причина этого явления состоит в том, что возбуждение радиальных колебаний при продольных деформациях стержня приводит к большей кинетической энергии колеблющихся частиц по сравнению с чисто продольными колебаниями, что эквивалентно большей колеблющейся массе, т. е. меньшей эффективной жесткости для продольных волн. Когда длина волны Л становится соизмеримой с диаметром стержня, поперечный эф4 ект вызывает резонансные радиальные колебания. В резонансной области наблюдается аномальная дисперсия скорость продольных волн падает до нуля, а затем при дальнейшем увеличении частоты быстро возвращается из бесконечности, устремляясь к новому, высокочастотному предельному значению с (оо) = с,, определяемому формулой (Х.76). Общая картина геометрической дисперсии качественно изображена на рис. 69, который хорошо согласуется с экспериментальными данными [12]. Вся область существенной дисперсии на этой картине располагается в небольшом диапазоне частот, соответствующем изменению длины волны Л на (30 40) 0 относительно радиуса стержня. Однако, как показывает опыт, при точных измерениях скорости распространения ультразвуковых волн в стержневидных образцах геометрическая дисперсия ощущается даже тогда, когда поперечные размеры стержня превышают длину ультразвуковой волны в десятки и сотни раз [78]. [c.235]

Скорость продольных волн в тонком стержне, поперечные размерьг которого много меньше длины [c.53]

Одна из лучших возможностей для исследования капиллярных волн представляется в том случае, когда эти волны приводятся к покою путем встречного движения воды. Волны этого рода иногда описываются как стоячие волны, и обычно их можно наблюдать, когда равномерное движение потока возмущается препятствиями. Так, если касаться поверхности небольшим стержнем или леской, или смещать жидкость на поверхности прикосновением слабой воздушной струи, вытекающей из небольшого отверстия, то часто развертывается красивая картина, неподвижная относительно препятствия. Она была описана и изображена Скотт Рёсселем з), который отметил, что для интенсивности явления и размеров захватываемой области имеет большое значение чистота воды. Вверх по потоку от препятствия длина волны мала и, как впервые было ясно показано Кельвином, сила, управляющая колебаниями, есть главным образом сила сцепления. Вниз по потоку волны длиннее и управляются главным образом силой тяжести. Обе последовательности волн движутся относительно воды с одной и той же скоростью ( 353), именно с той, которая необходима для того, чтобы они могли оставаться неподвижными относительно препятствия. То же условие определяет скорость, а тем самым и длину волны, в той части картины, где волновые фронты наклонны к направлению движения. Если обозначить угол между этим направлением и нормалью к волновому фронту через 6, то скорость распространения должна быть равна Vq os 6, где Vq обозначает скорость воды. [c.340]

В ограниченных твёрдых телах, кроме продольной и поперечной волн, имеются и другие типы волн. Так, вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль границы его с другой средой распространяется специфич. вид волн — поверхностные волны, скорость к-рых меньше, чем все остальные С. з. для данного твёрдого тела. В пластинах, стержнях и других твёрдых акустич. волново-дах распространяются нормальны-е волны, скорость к-рых определяется не только упругими характеристиками вещества, но и геометрией тела. Так, напр., С. 3. для продольной волны в стержне, поперечные размеры к-рого много меньше длины волны, равна < ст — VeJv- в табл. 3 приведены значения С. 3. в тонком стержне для некоторых материалов. [c.329]

С целью осветить ниже случай удара двух тел следует теперь рассмотреть движение волн в тонком упругом стержне (рнс. 11.1), фиксированном на одном конце и подвергающемся удару с другого конца жестким блоком массы М, движущимся со скоростью V. Выпучивание стержня учитывать не будем. Мгновенно вслед за ударом левый конец стержня приобретает скорость блока V, и волна сжатия распространяется вдоль стержня со скоростью со, заданной формулой (11.3). Начальное напряжение сжатия в стержне, определяемое уравнением (11.1), есть —рсоУ. Блок замедляется от действия сжимающей силы в стержне при их взаимодействии. Последующее развитие процесса соударения зависит от соотношения масс ударника М и стержня рАЕ. [c.387]

Легкий ударник быстро переходит в состояние покоя при давлении на него стержня давление стержня на блок падает одновременно с падением скорости блока. Далее возможно большое изменение напряжений в точках стержня от —рсоУ на волновом фронте до малой величины в области взаимодействия с блоком. Тем временем волна давления отражается от фикси- [c.387]

В заключение остановимся на вопросе о форме волн и о том особом месте, которое среди всевозможных по форме волн занимают гармонические волны. Прежде всего, при рассмотрении картины распространения бегущей волны в стержне мы пришли к выводу, что если на конец стержня действует гармоническая внешняя сила, заставляющая конец стержня совершать гармоническое движение, то и волна, бегущая по стержню, является гармонической. Этот вывод являлся непосредственным следствием того, что всякие упругие импульсы, независимо от их формы, распространяются по стержню с одинаковой скоростью и не изменяя своей формы. Правда, это последнее утверждение справедливо только при известных условиях, которые были оговорены в ИЗ, но эти условия часто соблюдаются, как в стержнях, так и во многих других упругих телах и средах, как твердых, так и жидких или газо разных, Тогд , если источник, возбуждающий волны, со- [c.718]

Поскольку при отражении волны от закрепленного конца стержня знак де( юрмацни не изменяегся, то направления смещения н скоростей частиц в волне изменяются па противоположные, т. е. па я. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...