Евклидова структура пространства

Евклидова структура пространства [c.4]

Построенная нами картина пространства конфигураций нуждается в дальнейших уточнениях. Мы основывались в своих рассуждениях на аналитической геометрии п-мер-иого евклидова пространства и соответственно считали п обобщенных координат механической системы прямоугольными координатами в этом пространстве. Если же заменить аналитическую геометрию дифференциальной, как это будет сделано в п. 5 этой главы, то можно получить картину, гораздо лучше отображающую геометрическую структуру пространства конфигураций. Однако и наша первая схема может быть весьма полезной. Продемонстрируем это на следующем примере. [c.35]

Форма записи линейного элемента (1.5.11) показывает, что ЗЛ -мерное пространство конфигураций N свободных частиц имеет евклидову структуру, а величины [c.44]

Отметим, что если в окрестности точки qi = q2 =. .. = = О координатного пространства i, 25 5 Qn ввести евклидову структуру при помощи удвоенной кинетической энергии 2Т, т. е. принять за скалярное произведение векторов и и v величину (Аи v), то преобразование (12) можно выбрать ортогональным в смысле этой евклидовой структуры. Это означает, что, если Uj (j = 1, 2,. .., n) —j-й столбец матрицы и, т. е. замена переменных (12) имеет вид [c.503]

Евклидова структура в индуцирует положительно определенное скалярное произведение векторов каждого касательного пространства Т Ш). Скалярное произведение векторов [c.164]

В настоящее время достигнуто понимание того, что гносеологической базой системы знаний является соединение принципа материального единства мира с принципом развития. Эта идея была заложена еще в 1937—1938 гг. В.И. Вернадским [1]. Отводя определяющую роль эволюционным процессам в биосфере и их необратимости, а также связи с особой геометрической структурой пространства, В.И. Вернадский писал Мы сейчас имеем право допустить в пространстве, в котором мы живем, проявление геометрических свойств, отвечающих всем трем формам геометрии — Евклида, Лобачевского и Римана. Правильно ли будет это заключение, логически вполне неоспоримое, покажет дальнейшее исследование . Это неоспоримое, но не сразу понятое утверждение получило подтверждение относительно недавно, с развитием двух взаимосвязанных между собой направлений синергетики как теории самоорганизующихся структур и представлений о фракталах как о самоподобных структурах, которые не могут быть описаны в рамках евклидовой геометрии. [c.6]

В результате пространство арифметических векторов получает структуру евклидова векторного пространства. [c.15]

Отсюда в случае а = Ь получается, что а = л/(а,а). Таким образом, пространство 8 получает структуру евклидова векторного пространства. [c.16]

Отсюда в случае а — Ь получается, что а = л/(а,а). В результате рассматриваемое пространство геометрических векторов приобретает структуру евклидова векторного пространства. [c.17]

Евклидова структура в линейном пространстве К" — это поло-жительно-определенная билинейная симметрическая форма, на- [c.12]

Пример. Рассмотрим прямое произведение ) К X К оси i на трехмерное линейное пространство К с фиксированной евклидовой структурой. Такое пространство имеет естественную галилееву структуру. Это пространство мы будем называть координатным галилеевым пространством. [c.14]

Напомню, что прямое произведение двух множеств А, В есть множе ство упорядоченных пар (а, Ъ), где а е Л, Ь е В. Прямое произведение двух пространств (линейных, аффинных, евклидовых) имеет структуру пространства того же типа. [c.14]

В. Симплектическая группа. С евклидовой структурой связана ортогональная группа линейных отображений, сохраняющих евклидову структуру. В симплектическом пространстве аналогичную роль играет симплектическая группа. [c.193]

При вычислениях в симплектической геометрии бывает полезно ввести в симплектическом пространстве еще какую-нибудь евклидову структуру. Мы зафиксируем симплектическую систему координат р, д и введем евклидову структуру с помощью координатного скалярного произведения. [c.195]

Хотя евклидова структура и оператор I связаны с симплектическим пространством неинвариантно, они часто бывают удобны. [c.195]

Д. Симплектическая структура и комплексная структура. Поскольку Р = —Е, мы можем ввести в наше пространство К наряду с симплектической структурой I,] и евклидовой структурой (,) еще и комплексную структуру, определяя умножение на I = = У — 1 как действие I. Пространство отождествляется при этом с комплексным пространством С (если угодно, координатным пространством с координатами + гд ). [c.197]

Евклидова структура на алгебре определяется симметрическим положительно определенным оператором, действующим из алгебры в дуальное к ней пространство. Итак, пусть А д- д — [c.287]

Заметим, что наша конструкция позволяет определить в касательном пространстве к СР" не только евклидову структуру (2), но и эрмитову структуру. [c.310]

Рассмотрим, например, систему из трех одинаковых масс в вершинах равностороннего треугольника, соединенных одинаковыми пружинами друг с другом и с центром треугольника и способных двигаться в плоскости треугольника. Система имеет поворотную симметрию третьего порядка. Следовательно, в конфигурационном пространстве (размерность коего равна 6) действует линейный оператор куб которого равен 1, и который оставляет неизменной как евклидову структуру конфигурационного пространства (заданную кинетической энергией), так и эллипсоид в конфигурационном пространстве, задающий потенциальную энергию. [c.400]

В. Индексы замкнутых кривых. Индексы замкнутых кривых на лагранжевых подмногообразиях линейного фазового пространства можно вычислять также с помощью комплексной структуры. Введем в линейном фазовом пространстве R = (р, 9) , кроме симплектической структуры, dp Д dg еще евклидову структуру (со скалярным квадратом р -j- д ) и комплексную структуру, заданную умножением на мнимую единицу [c.413]

Мультифрактальный формализм [4, 24, 25] связан следующим анализом. Рассмотрим некоторый объект с неупорядоченной структурой, "погруженный" в евклидово пространство. Разобьем это пространство на N промежуточных ячеек размером i=l,. .. N, удовлетворяющих условию 1 < I, где / - характерный размер. Такое разбиение дает возможность приписать каждой ячейке меру ("вес") Pi в зависимости от природы изучаемого объекта. Так, например, если речь идет об изучении фрактального агрегата общей массы М, то "весом" может служить доля массы в ячейке pj = —, где т. — масса i-й ячейки. Разбиение [c.110]

С другой стороны, наступление момента конкуренции процессов Z)iA 4-сборки можно интерпретировать как приближение в системе к порогу перколяции в отношении напряженности и взаимодействия локальных силовых полей от сформированных фрактальных кластеров. Достижение же критического значения концентрации фрактальных кластеров конденсированной фазы обусловливает перколяционную структуру электрических взаимодействий между ними. Для систем, погруженных в пространство с евклидовой размерностью Е=Ъ фрактальная размерность частиц, соответствующая порогу перколяции, Df 2,5 [35]. В условиях стационарного воздействия на систему отрицательного температурного градиента (охлаждения системы внешней средой) описанное состояние системы катализирует таким образом дальнейший процесс агрегации по ССЛ-механизму. Подобным образом развивается волнообразный цикличный характер дальнейшей цепочки фазовых переходов второго рода (рис. 3.13), обусловливающий наиболее эффективный путь диссипации энергии посредством структурообразования по иерархическому принципу в открытой неравновесной системе охлаждаемого расплава. [c.135]

Кинетическая энергия и риманова геометрия Использование произвольных обобщенных координат для описания движения механической системы является одной. из существенных черт аналитической механики. Структура уравнений аналитической механики такова, что они могут быть записаны в виде, не зависящем от применяемых координат. Это свойство общих уравнений движения связывает аналитическую механику с одним из крупнейших достижений математики девятнадцатого века — теорией инвариантов и ковариантов. Эта теория окончательно созрела в наши дни, когда теория относительности Эйнштейна показала, как законы природы связаны с проблемами инвариантности. В основе теории относительности лежит требование, чтобы формулировки законов природы не зависели от какой-либо специальной системы координат. Математическое решение этой проблемы показало, что между законами, управляющими материей, и римановым основанием геометрии, существует глубокая внутренняя связь. Согласно общей теории относительности Эйнштейна, истинная геометрия природы не евклидова, а более общая— риманова эта геометрия связывает пространство и время в единое четырехмерное многообразие. [c.39]

Ньютоновская космология основана на концепции абсолютного пространства, евклидова по своей структуре, абсолютного времени и неподвижной в пространстве системы отсчета. Оставаясь в рамках этих понятий, можно в качестве системы отсчета [c.205]

Пространство 2п измерений, точки которого определяются 2п координатами g-i, q2, ., 5 nt Pi Pii > Pn называется фазовым пространством] движение механической системы можно рассматривать как движение изображающей точки в фазовом пространстве. Структуру фазового пространства можно представить как 2 г-мерное евклидово пространство с прямоугольными координатами q , q , , qn-, Pi, Pz, Pn- [c.270]

В формализме Лагранжа рассматривается пространство конфигураций переменных q , в гамильтоновом же формализме механические движения и движения изображающей точки представляются в фазовом пространстве 2п переменных q и р,. В то время как пространство конфигураций имеет геометрию риманова типа, фазовое пространство не имеет определенной геометрической структуры и только для удобства вычислений можно предположить, что ql и р,- образуют прямоугольные координаты 2п-мерного евклидова пространства. [c.878]

Сделанное Декартом открытие, что геометрия допускает аналитическую трактовку, явилось существенной вехой в истории развития этой науки. Однако геометрия Декарта предполагала евклидову структуру пространства. Для введения прямоугольной системы координат необходимо принять постулаты конгруентности и постулат о параллельных прямых. [c.39]

Евклидова структура в линейном пространстве Я" задается скалярным произведением двух векторов. Конкретно скалярное произведение можно задать с помощью какой-нибудь положительно определенной билинейной симметрической формы, устанавливающей соответствие между парой векторов и некоторым числом. Другими словами, скалярное произведение Г1 гз гьГ2 Я" — это операция, имеющая свойства [c.15]

Чтобы осуш,ествить неявное свертывание в нашем символе J, необходимо сделать отождествление отождествить наше п-мерное физическое пространство Е с двойственным ему Е посредством евклидовой структуры д. На языке символов мы Зсшвляем, что Е = Е, д = И. Мы не вносим никаких изменений в обозначени. Теперь мы попросту считаем законным свертывание элемента из Е Е. Итак, скобка двойственности, которая в действительности представляет собой не более, чем обозначение самого элементарного свернутого произведения, благодаря нашей договоренности становится скалярным произведением. [c.34]

Евклидова структура в линейном пространстве задается симметрической билинейной формой, а симплектическая — кососимметрической. Геометрия симплектического пространства освежающе непохожа на евклидову,, хотя и имеет много сходных черт. [c.191]

Среду мы будем для определенности считать мембраной (в этом случае область В двумерна, а отклонение и одномерно). Кинетическая энергия задает евклидову структуру в конфигурационном пространстве задачи (т. е. в пространстве функций й). Потенциальная энергия дается интегралом Дирихле [c.399]

Доказательство леммы А. Здесь мы для краткости отождествим кокасательные векторы евклидова пространства с касательными при помощи евклидовой структуры, так что-исходное фазовое пространство будем представлять себе как пространство векторов, приложенных в точках евклидова пространства (импульсы отождествляем со скоростями). Орты, приложенные-в точках рассматриваемой гиперповерхности и касаюпщеся ее, образуют в фазовом пространстве подмногообразие нечетной коразмерности (равной 3). Характеристики этого подмногообразия определяют геодезический поток на рассматриваемой гинерно верхности. [c.439]

Рассмотрим на пространстве эрмитово скалярное произведение, в котором жорданов базис оператора Л, инвариантный относительно комплексного сопряжения, ортонормирован. Для применений предыдущей теоремы удобно в качестве евклидовой структуры на Я брать ограничение на К" этого скалярного произведения. [c.73]

Причина, по которой особенности подэр лежандровы (точнее, диффеоморфны фронтам лежандровых отображений), состоит в следующем. Евклидова структура позволяет отождествить исходное пространство с двойственным. Это отождествление позволяет не различать и пополненные (проективные) пространства. Подэра — это образ гиперповерхности,, проективно двойственной исходной, при инверсии. Поскольку инверсия — диффеоморфизм (вне нуля и бесконечно удаленной. гиперплоскости), особенности подэры такие же, как у гиперповерхности, проективно двойственной исходной. [c.99]

Начало этому бьию положено Б. Мандельбротом [9J, развившим концепцию фракталов как самоподобных объектов с дробной (нецелой) размерностью, обладающих свойством маспггабной инвариантности. Подходы макротермо динамики, синергетики, как теории самоорганизующихся структур, и представления о фракталах, как самоподобных структур, количественно описывающих все типы структур и объектов, отличных от геометрии евклидова пространства, являются универсальными. Это позволяет решать [c.4]

Рисунок 2.13 - Схематическое изображение метода определения фрактальной (поклеточной) размерности границ зерен по фотографии. N=36 Границу зерна рассматривали как топологически одномерную линию, хотя в действительности она является двухмерной плоскостью в трехмерном евклидовом пространстве твердого тела. Значение фрактальной размерности границ зерен получили на образцах с гладкими и извилистыми фаницами зерен, Их структуру изменили применением различных режимов термообработки. Улучшение характеристик ползучести связывали с разностью AD фрактальной размерности фаниц для двух типов - изрезанных и гладких. Было установлено, что увеличение сгепени фрактальности границ повышает долговечность т сплава. Аналогичные результаты были получены и на других сплавах. В таблице 2.1 приведены значения D для двух тигюн i-раниц изученных сталей и разность AD.

Еще более серьезным обстоятельством была мысль Эйнштейна о том, что при наличии гравитации не может соблюдаться принцип постоянства скорости света. Вследствие этого геометрическая структура Вселенной не могла бы быть типа пространства Минковского. Ее следовало обобщить таким образом, чтобы эта структура была пространством Минковского лишь в малом, а при конечных размерах пространство приобретало бы кривизну . Это бы означало, что геометрия мира, оставаясь метрической, приобрела вместо четырехмерной евклидовой четырехмерную римаиову струк- [c.333]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...