Типичные фазовые функции

Типичные фазовые функции [c.227]

Прежде чем приступить к решению плоскопараллельной задачи, полезно описать некоторые типичные фазовые функции. Простейшая фазовая функция отвечает изотропному рассеянию [c.227]

Топологическая классификация фазовых портретов системы для некоторого подмножества допустимых функций. Для завершения классификации типичных фазовых портретов системы (8.8) необходимо исследовать поведение сепаратрис имеющихся гиперболических седел. Для краткости [c.300]

Рис. 63. Типичное поведение фазовой функции 1 з к) в окрестности стационарной точки Ло. На комплексной плоскости к изображены кривые. на которых 1 5 (к) имеет постоянную мнимую часть (—36, —26, —6, О, - -б, - 26, +3S). Случай а if" (Ло) < О (максимум). Случай б 1 з" (/ о) > О (минимум).

Но такое положение вещей, как мы видели уже неоднократно, не только не является исключительным, но, напротив, типично для нашей теории при любом построении моста между статистической механикой и какой угодно физической теорией роль физических величин принимают на себя не сами фазовые функции, а их средние значения при данной термодинамической (или вообще физической) характеристике состояния системы. [c.90]

В работе [45] проводится сравнительный анализ фазовых функций для ряда моделей облаков и длин волн. На рис. 2.24 представлены типичные результаты этой работы, которые получены для моделей неплотных кучевых облаков при хорошей погоде (модальный радиус распределения принимался равным 4 мкм). Хорошо видно преобладание рассеяния вперед (дифракционный пик). Следует пояснить, что шкала на вертикальной оси рис. 2.24 относится к самой нижней кривой, и, для того чтобы определить истинные значения, соответствующие средней кривой, значения по этой шкале следует разделить на 10, а верхней — на 100 так, чтобы горизонтальные штрихи на кривых совпали со значением, равным 1. [c.67]

Кривизна, как функция толщины пленки, пропорциональна производной udu/dh и обладает отличительными особенностями в зависимости от того, в какой из полос между особыми точками рассматривается решение и каково капиллярное давление. Оказывается, что решения обобщенного уравнения Лапласа можно топологически классифицировать. Для достаточно широкого класса монотонно убывающих изотерм расклинивающего давления типичными являются фазовые портреты вида (рис. 2.2 а-( ). [c.43]

По Эренфесту, к фазовым переходам I рода (по традиции род перехода обозначается римскими цифрами) относятся превращения, сопровождающиеся скачками энергии и энтропии. При переходах П рода энергия и энтропия остаются плавными функциями, зато скачок испытывают теплоемкость и некоторые другие термодинамические величины. Типичными примерами переходов I рода являются плавление, полиморфные превращения, сублимация, П рода —магнитные переходы, переход металла в сверхпроводящее состояние. Атомное упорядочение может идти по обоим механизмам, хотя в подавляющем большинстве случаев предпочитает все-таки переход I рода (Р-ла-тунь — одно из редких исключений). [c.190]

Все термодинамические величины, которые первоначально вводятся как средние от динамических функций по фазовому пространству, очень легко могут ыть выражены через частичные функции распределения. Типичным примером является внутренняя энергия Е (Т, Т, N) или лучше, интенсивная величина — внутренняя энергия в расчете на одну частицу в Т, п) = E Ni [c.258]

Фазовые точки, которые проходят через резонанс, не захватываясь, испытывают скачок адиабатического инварианта Я, равный по порядку величины л/ё (и, тем самым, скачки величин Ii 2, поскольку Ii = шЯ — liJ, I2 = —пЯ + hJ)-Это явление называется рассеянием на резонансе. Как захват, так и рассеяние на резонансе представляют собой вероятностные явления и типичны для систем с переходами через резонансы (см. [7, 8] и примеры в [9, 10]). Вероятность захвата для фазовой точки, приближающейся к резонансу, есть величина порядка л/ё. Следовательно, если di = di et) — периодическая функция, то в течение времени t фазовые траектории с начальными условиями суммарной меры 1 [c.174]

В случае резонанса порядка п > 4 типичная перестройка фазового портрета системы с функцией Гамильтона Н дается формулой [c.363]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Около направления линейного согласования фазовых скоростей постоянная нарастания уменьшается, а относительная интенсивность антистоксовой компоненты растет. На фиг. 20 интенсивность антистоксовой компоненты дана как функция Ак для двух типичных значений усиления в прямом направлении. Когда усиление равно 120 дб, антистоксовая компонента максимальна в том направлении, для которого рассогласование фазовых скоростей составляет Ай = 2 gs. Это рассогласование не очень чувствительно к величине полного усиления. Отклонение поперечной составляющей волнового вектора от направления согласования фазовых скоростей можно определить из соотношения [c.244]

Методы, позволяющие надлежащим образом учитывать и описывать флуктуации, которые составляют необходимую часть любой адекватной теории фазовых переходов, дает статистическая механика. Специалисты по статистической механике с восторгом отмечают, что типичные уравнения их науки (такие, как уравнение Ланжевена, уравнение Фоккера—Планка или уравнение для многочастичной функции распределения) занимают достойное место и в синергетике. Инженерам-электрикам знакомы другие аспекты синергетики — теория цепей, положительная и отрицательная обратная связь, нелинейные колебания. Инженеры — механики и строители усматривают в синергетике знакомые черты теории устойчивости под действием статических и динамических нагрузок, выпучивания оболочек при закритическом нагружении и нелинейных колебаний. Синергетика занимается изучением поведения систем при изменении управляющих параметров, поэтому те, кто работает в кибернетике, склонны рассматривать синергетику как часть теории управления. [c.361]

Рис. 96. а — типичное поведение (вблизи любой стационарной точки /сд фазовой функции г] к), где г з" (к ) = О, а г 5" (к ) > 0) кривых в комплексной плоскости, вдоль которых г (к) имеет постоянную мнимую часть +6. Мы преобразуем путь интегрирования в интеграле (356) в такой, на котором мнимая часть тр (к) равна +6, за исключением окрестности к , где для перехода с одного такого пути на другой используется звено Ь б — комплексная плоскость 5, определяемая заменой (364) (1) — соответствующий Ь пзть интегрирования, используемый для вычисления интеграла Эйри А1 (X) (11) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотического выражения (371) интеграла А (X) при больших отрицательных X (111) — преобразованный путь интегрирования, используемый для получения асимптотической формы (373) интеграла А1 (X) для больших положительных X. [c.468]

На рис. 2.8 вынесены наиболее типичные искаженные изображения. Для количественного описания искажающих эффектов рассчитывались резкостная и корреляционные функции и на их основе строились сглаженные по точкам зависимости нормированных величин S(a) и ф = /С(а), как функции дисперсии фазовых флуктуаций а, измеряемой в долях длины волны. Представленные изображения и графические зависимости (см. рис. 2.9, 2.10) дают возможность установить некоторые общие закономерности. [c.88]

При п > 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя это дополнение всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Пе исключено, что на самом деле такая ситуация является типичной (обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.186]

Являясь в большой мере универсальной, теория динамического про-траммирования в то же время обладает рядом недостатков. Поэтому она подвергалась известной критике, отмечавшей, в частности, что, в отличие, например, от принципа максимума, являюш,егося строгой математической теоремой с явно очерченными границами приложимости, дифференциальная форма принципа оптимальности, выражаемая уравнениями (13.2), такой строгой математической теоремой не является (по крайней мере, если использовать ее в качестве необходимого критерия оптимальности). Дело в том, что обычный вывод уравнения (13.2) опирается на предположение о непрерывной дифференцируемости функции F, которое в конкретных случаях трудно обосновать априори. Более того, известно, что для многих типичных задач о синтезе оптимальных систем функция V -заведомо не является непрерывно дифференцируемой (впрочем, точки нерегулярности функций V заполняют в фазовом пространстве д лишь некоторые исключительные многообразия). Пример таких задач доставляет, например, проблема предельного быстродействия линейной системы лри ограничениях Мг < N на модули координат щ управляюш,его воздействия и [д ]. Точки X в пространстве а , при пересечении которых релейное управление и [а (т)] меняет скачком свои значения, как раз и составляют поверхности, где функция V [х] оказывается нерегулярной. [c.205]

Для решений большинства обсуждаемых здесь задач характерна возможность получения оптимального управления и [ , х] в эффективной форме. Это в немалой степени объясняется линейностью уравнений движения управляемого объекта и квадратичным характером подынтегрального выражения в минимизируемом функционале (14.2). В результате во многих случаях оптимальное управление м оказывается линейной функцией от фазовых координат системы (или от величин I/ (i), их заменяющих), если речь идет о линейных объектах. В случае квазилинейных объектов управляющее воздействие строится в виде рядов. При этом процедура построения этих рядов оказывается подобной типичным процедурам метода малого параметра, где порождающие системы снова оказываются линейными. Такое определяющее линейное управление во многих задачах вида (14.1)—(14.2), но с неполной информацией о состояниях X (i), обладает также следующим полезным свойством общая проблема оптимального синтеза делится на две отдельные задачи — на задачу о наилучшем наблюдении фазоьых координат хг t) по доступной измерению функции у (1) и на задачу о наилучшем управлении, причем уже игнорируется неполнота информации о величинах х Решение [c.208]

Считая X линейной функцией темп-ры х = та 1/а = С(Т — Т )и учитывая соотношение е == 1 + 4яa,пoлyч iм для зависимости от темп-ры выше темп-ры перехода (темп-ры Кюри) известный закон Кюри — Вейсса б с/(Т — 7 ) (с — постоянная Кюри — Вейсса), хорошо подтверждаемый на опыте. Типичные представители С., испытывающих фазовый переход второго рода, — сегнетова соль, дигидрофосфат калия, триглицинсульфат. Для С. кислородно-октаэдрического тииа структуры постоянная Кюри — Вейсса 10 , а для С., испытывающих фазовые переходы с упорядочивающимися элементами структуры, эта постоянная ч=10 . [c.503]

Рис. 14.9. Свободная энергия Ландау как функция квадрата поляризации при различных типичных температурах (случай фазового перехода первого рода). Видно, что при температуре перехода свободная энергия имеет два равных по величине минимальных значения одно, отвечающее Р = О, и другое, отвечающее конечному значению Р. При Т < Тс абсолютный минимум имеет место при больши.х Р. При переходе Т через Тс положение абсолютного минимума изменяется скачком. Положения минимумов показаны стрелками.

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода п распределение дискретно и представляет собой сумму б-функций в неподвижных точках с коэффициентом 1/п. Для хаотического движения распределение Р (х) может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по л с ненулевым Р (х). [c.444]

На фиг. 44 даны кривые усреднённой амплитудной функции Н и среднего фазового угла 2 при 7 = 0, для различных значений 6 в функции от частотного параметра Н- = ( >а/с) = троп ( / оп)-Эти кривые интересны и важны, так как они являются средними характеристиками, типичными для мембран всех видов. При низких частотах ( х < 1) характеристика почти независима от частоты. Используя уравнение (19.4) и пренебрегая всеми членами, содержащими [а в степеии выше первой, мы получаем [c.226]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...