Ряды по степеням эксцентриситета

Коэффициенты тригонометрических рядов только в редких случаях могут быть выражены через элементарные функции. В общем случае они довольно просто выражаются через функции Бесселя. На практике, однако, как правило, приходится разлагать функции Бесселя в ряды по степеням эксцентриситета и пользоваться только их первыми членами. [c.232]

Формула Лагранжа и ее обобщение играют весьма важную роль в небесной механике. Действительно, поскольку уравнение Кеплера можно рассматривать как частный случай уравнения Лагранжа, то они позволяют достаточно просто построить ряды по степеням эксцентриситета е для эксцентрической аномалии Е и различных функций Е. [c.237]

Ряды по степеням эксцентриситета [c.237]

Первая из этих формул позволяет написать разложение эксцентрической аномалии в ряд по степеням эксцентриситета, а вторая дает возможность получить соответствующие разложения для различных функций эксцентрической аномалии, Разложение для Е [c.237]

Формула (24) совпадает с известной формулой Лапласа для вычисления радиуса сходимости разложений координат в ряды по степеням эксцентриситета (в окрестности С = Если разрешим уравнение (21 ) относительно 8, то получим то же самое [c.474]

Функции Нт МОЖНО представить в виде рядов по степеням эксцентриситета е [c.283]

Разложение Е в ряд. При помощи выведенных формул мы можем вычислить полярные, а следовательно, и прямоугольные, координаты для любого момента времени. Но в некоторых случаях, как, например, в теории возмущений, необходимо иметь для полярных координат разложения в ряды по степеням эксцентриситета е. Эти ряды легко получить, если известно разложение Е по степеням е. [c.153]

Для того чтобы получить разложение R в ряд по степеням эксцентриситета орбиты спутника, целесообразно сначала несколько преобразовать выражение (IV. 26). Из сферического треугольника SNS (рис. 12) имеем [c.178]

Структура пертурбационной функции позволяет получить вековые возмущения в конечном виде, не прибегая к разложению в ряды по степеням эксцентриситета. [c.185]

Эти формулы являются точными независимо от того, мая эксцентриситет е или нет. Однако сейчас нас интересует лишь случа , когда он мал. Разлагая выражения в правых частях (29.4.8) в ряды по степеням е и сохраняя только члены первого порядка, получаем [c.579]

Приведем еще некоторые простые ряды, расположенные по степеням эксцентриситета и позволяющие с большой степенью точности найти эксцентрическую аномалию и, истинную аномалию 6 и отношение в функции времени / ) [c.277]

Тогда коэффициенты при х, у, г в уравнениях (6.17) можно рассматривать как ряды, расположенные по степеням эксцентриситета е, абсолютно сходящиеся, пока е не превышает предела Лапласа. [c.277]

Как известно, р может быть представлено в виде ряда, расположенного по степеням эксцентриситета орбиты е, абсолютно сходящегося при всех действительных значениях в, пока О < е < ё = 0,6627. .. [c.395]

Коэффициенты А т, тт ЯВЛЯЮТСЯ функциями наклонно-сти, эксцентриситетов, долгот перигелиев, отсчитываемых от линии узлов и, наконец, больших полуосей. В двух предыдущих главах мы научились разлагать эти функции по степеням эксцентриситетов и наклонностей и теперь надо исследовать условия сходимости этих рядов. [c.397]

Для нашей цели нет необходимости знать форму кривой (17) и (20). Действительно, форма этой кривой зависит от значений параметра Z и в то время как Z изменяется, точка пересечения (16) и (17), а также и особая точка уравнения Кеплера, смещаются на кривой (16). Однако для сходимости рядов, расположенных по степеням эксцентриситета, в астрономии необходимо, чтобы эксцентриситет принимал такое значение, что ряды оставались бы сходящимися при всех действительных значениях /. Таким образом, исследуемый радиус сходимости является наименьшим радиусом, который получается, если I изменяется от —оо до +оо. Но тогда можно доказать, что действительные значения I всегда можно выбрать так, что кривая (17) пройдет через произвольную точку кривой (16). Следовательно, достаточно рассмотреть эти кривые, так как каждая их точка может быть особой и, значит, должна рассматриваться как особая точка. Докажем, что величину I можно выбрать указанным образом. [c.473]

В предыдущем параграфе мы нашли, что координаты в эллиптическом движении являются голоморфными функциями эксцентрической аномалии, и что эксцентрическая аномалия зависит от двух величин, а именно, от эксцентриситета орбиты С и средней аномалии планеты I. Во многих случаях, в частности, при определении элементов орбит планет из наблюдений, делаются попытки использовать разложения координат в ряды по степеням средней аномалии, и, следовательно, определение радиуса сходимости этих разложений имеет большое практическое значение. Так как [c.477]

Формула (1) выражает г через истинную аномалию /, а формула (3) — через эксцентрическую аномалию Е. Уравнение Кеплера (4) дает возможность выразить Е через среднюю аномалию М. Чтобы выразить некоторую функцию ф(г, /) непосредственно через среднюю аномалию, т. е. по существу через /, мы используем тот факт, что обычно в теориях планет и спутников эксцентриситет е мал, и, следовательно, мы можем разложить < (г, /) в периодический ряд по степени е. Этот процесс разложения обычно состоит из двух частей. Сначала ф(г, /) разлагается в ряд вида [c.42]

В 283—298 было приведено исследование ряда Фурье (22i), расположенного по степеням эксцентриситета. Поведение остальных рядов Фурье, приводимых в 278, анализируется аналогичным образом. [c.268]

В этом параграфе мы займемся нахождением решения уравнения Кеплера (11.1) в виде бесконечного ряда, расположенного по возрастающим целым положительным степеням эксцентриситета е, который играет в этом уравнении роль параметра. [c.528]

Таким образом, формула (11.14) дает разложение любой целой функции от эксцентрической аномалии в ряд, расположенный по целым, возрастающим степеням эксцентриситета е, абсолютно сходящийся при любом значении средней аномалии М, если эксцентриситет орбиты удовлетворяет условию [c.534]

Возвращаясь к разложениям координат эллиптического движения, мы видим теперь, что все коэффициенты этих разложений можно представить в виде рядов, расположенных по возрастающим степеням эксцентриситета орбиты е, абсолютно сходящихся для всякого значения е в промежутке от нуля до единицы. [c.562]

Так как во многих задачах небесной механики (например, в задаче о движении больших планет солнечной системы) эксцентриситеты и наклонности орбит вообще малы, то ряды, расположенные по степеням этих величин, сходятся достаточно быстро и с ними удобно производить все необходимые вычисления. [c.666]

Обращая ряд (13.63), мы получим разложение квадрата эксцентриситета по степеням величины [c.698]

Известно большое число алгоритмов, позволяюш их найти приближенное решение уравнения Кеплера с любой степенью точности. Как правило, при построении таких алгоритмов стараются учесть особенности решаемой задачи, например, величину эксцентриситета орбиты, для упрош ения вычислений. Так, если эксцентриситет орбиты мал, то можно ограничиться тремя первыми членами разложения Е в ряд по е [45] [c.63]

Таким образом, уравнение четвертой степени приводится к уравнению второй степени один из корней обращается в нуль, а другой — в бесконечность. Следовательно, при С = С" = О уравнение легко разрешается. Далее, мы можем разлагать корни уравнения по степеням С, считая в нем А, В, В та С независимыми переменными и считая также С = С. Так как С является величиной второго порядка малости относительно эксцентриситетов, то ряды будут быстро сходящимися, в то же время мы видим, что Р является величиной второго порядка малости относительно эксцентриситетов. [c.437]

При помощи (9) координаты можно разложить в ряды по положительным степеням эксцентриситета. Полученные таким образом ряды, расположенные по возрастающим степеням эксцентриситета, сходятся не для всех значений эксцентриситета, меньших единицы. Величину круга сходимости этих рядов мы исследуем в одной из следующих глав. [c.174]

B том же самом параграфе было доказано, что эти ряды сходятся для всех действительных значений I (а значит, и для всех действительных значений времени) и для всех конечных значений эксцентриситета. Достаточно рассматривать такие значения е, которые по абсолютной величине меньше единицы. Коэффициенты Ai и Bi суть голоморфные функции е, которые могут быть разложены при произвольном конечном значении вд в ряд по положительным степеням е — 6 . [c.465]

Оказывается, что существование вековых возмущений препятствует сходимости рядов по крайней мере на больших промежутках времени. Правда, Лаплас и Лагранж смогли привести доказательство (ср. с гл. VII), что среди возмущений первого порядка в выражениях для большой полуоси, эксцентриситета и наклонности орбиты никаких вековых неравенств не встречается. Но как обстоит дело в этом отношении с коэффициентами при более высоких степенях масс, им не было известно эта задачу и сейчас нельзя считать решенной ). [c.494]

В предыдущих разделах были получены разложения координат в эллиптическом движении в виде рядов Фурье, аргументами которых являются дуги, кратные средней аномалии, а коэффициенты выражаются рядами по степеням эксцентриситета. Теперь мы рассмотрим разложения координат, которые могут быть получены непосредственнр из уравнений движения. Методика состоит в получении координат в виде рядов по степеням эксцентриситета, коэффициентами которых являются ряды Фурье по средней аномалии. [c.80]

В. М. Алексеев применил метод символической динамики в задаче о пылинке в поле двойной звезды (см. п. 3 5 гл. I). Оказывается, если эксцентриситет орбит массивных тел отличен от нуля, то траектории пылинки выглядят весьма запутанными. Это дает возможность доказать неинтегрируемость уравнений движения [5]. Более точно, квазислучайность траекторий пылинки удается установить при малых значениях эксцентриситета е ф 0. Методом Пуанкаре (см. 1 гл. IV) можно доказать отсутствие интегралов и нетривиальных групп симметрий в виде формальных рядов по степеням е. Либре и Симо [216] перенесли метод Алексеева на ограниченную круговую задачу трех тел в предположении, что масса Юпитера много меньше массы Солнца. [c.308]

Аналогичное явление известно нам из теории невозмущен ного кеплеровского движения, где разложения координат эллип тического движения по степеням эксцентриситета е сходятся абсолютно лишь при е < 0,6627. . . , в то время как ряды Фурье представляющие те же координаты, сходятся (но не абсо лютно ) для всех значений е в промежутке О < е < 1. [c.303]

Превращая ряд Фурье для какой-либо координаты путем перестановки членов в ряд, расположенный по степеням эксцентриситета, мы, вообще говоря, получаем ряд, о сходимости которого без специального исследования ничего сказать нельзя. Но мы уже знаем (вследствие единственности нолучае1 и>1Х разложений), что после такой перестановки получается ряд, сходящийся абсолютно, если О е < ё, но о сходимости которого ничего нельзя сказать, если ё е < 1. [c.564]

Эти коэффициенты А и В в свою очередь могут быть разло-л<ены в степенные ряды, расположенные по целым положительным степеням эксцентриситетов и наклонностей. Действительно, из результатов гл. II прямо следует, что коэффициенты рядов Фурье, представляющих величины эллиптического движения, суть ряды, расположенные по степеням эксцентриситета эллиптической орбиты. Кроме того, координаты эллиптического движения содержат либо косинус, либо синус наклонности, а поэтому упомянутые координаты разлагаются в ряды по степеням наклонности. Таким образом, функция Rsj может быть разложена в четырехкратный ряд, расположенный по степеням эксцентриси тетов и наклонностей двух орбит точек М и Му Следовательно, и всякая из величин s ] также разложима в ряд такого же характера, а значит, коэффициенты Л и в формуле [c.665]

Поэтому сходимость будет гораздо более быстрой для рядов, расположенных по степеням эксцентриситетов и наклонностей, чем для рядов, расположенных по степеням т, которое играет роль параметра (1. в теории планет, изложенной ранее. Это противоположно тому, что было в случае движения планет. Поэтому в теории движения Луны целесообразно получить разложения сначала не по степеням р, и потом по степеням эксцентриситетов, а, наобо-от, сначала по степеням эксцентриситетов и потом по степеням т. этом существенное различие между теорией движения Луны и теориями движения планет. [c.474]

Итак, мы установили, что w является бесконечнозначной функцией эксцентриситета. Если эксцентриситет принимает действительное значение, меньшее единицы, то для соответствующего значения w имеем единственный действительный корень. Этот корень и представляет интерес в астрономических приложениях уравнения Кеплера. При заданном значении Со его нужно разложить в ряд по степеням Для этой цели можно вос- [c.470]

Обратимся к ограниченной задаче трех тел, рассмотренной в 5 гл. I. Предположим сначала, что масса Юпитера л равна нулю. Тогда в неподвижном пространстве астероид вращается вокруг Солнца единичной массы по кеплеровским-орбитам пусть орбиты — эллипсы. Удобно перейти от прямоугольных координат к каноническим элементам Делоне Ь,С,1,д если а и е—большая полуось и эксцентриситет орбиты, то Ь = у/а, С = - 0(1 — е ), д — долгота перигелия, I — угол, определяющий положение астероида на орбите, — эксцентрическая аномалия [173]. Оказывается, в новых координатах уравнения движения астероида будут каноническими с гамильтонианом Го = —1/ 2Ь ). При ф О полный гамильтониан Г разлагается в ряд по возрастающим степеням /х F = Fo -Ь fJ.Fi -Ь. .. В подвижной системе координат, связанной с Солнцем и Юпитером, кеплеровские орбиты вращаются с единичной угловой скоростью, поэтому Г згшисит от Ь,С,1 и д — 1. Положим Ух = Ь, у2 = С, Хх = I, Х2 = д — I и Н = Г — С. Функция Н теперь зависит лишь от х, у, причем относительно угловых переменных, Т1, Х2 она 2тг-периодична. В итоге уравнения движения астероида представлены в виде гамильтоновой системы [c.186]

Обратим теперь втгмание на следующее обстоятельство. Как показано, координаты эллиптического движеиия могут быть представлены Б виде рядов Фурье (т. е. рядов, расположенных ио синусам и косинусам целых кратностей средней аномалии М), коэффициенты которых суть ряды с числовыми коэффициентами, расположенные по целым возрастаюи1,им степеням эксцентриситета орбиты е. [c.564]

Действительно, мы знаем, что если бесконечный ряд сходится абсолютно, то его сумма не зависит от порядка членов, которые можно, следовательно, как угодно переставлять, и после каждой такой перестановки опять получается ряд, сходящийся абсолютно. Наоборот, если ряд сходится не абсолютно, или условно, то перестановка бесчисленного множества его членов может превратить просто сходящийся ряд в абсолютно сходяи ийся, или даже в расходящийся. Поэтому, превращая разложение какой-нибудь координаты в ряд, расположенный ио степеням эксцентриситета, перестановкой членов в ряд Фурье, мы получим по свойству абсолютно сходящихся рядов ряд, также сходящийся абсолютно для всякого значения А1, иока е ие превышает предела Лапласа ё. [c.564]

Рассмотрим теперь выражения для координат эллиптического движения, представленные рядами, расположенными по целым положительным степенял эксцентриситета ), и коэффициенты которых суть тригонометрические функции (конечные ряды синусов и косинусов) от средней аномалии, обозначаемой в этой главе буквой I. [c.701]

Так как исходные ряды (11.22) для координат х, у, z являются абсолютно сходящимися при любом значении средней аномалии I, пока эксцентриситет орбиты е не превосходит лап-ласова предела, то и преобразованные ряды, расположенные по степеням величин (13.62), также будут абсолютно сходящимися при любом значении средней долготы Я и при е<ё=0,6627,. .., а значит, когда числовые значения величин (13.62) остаются меньшими некоторого предела, отличного от нуля. [c.703]

Подставив ряды (2.14) и (2.15) в тождество (2.13) и произведя разложение по степеням е, получим систему дифференциальных уравнений для SviViUiMz- Ограничимся нахождением нормализующего преобразования с точностью до первой степени эксцентриситета. Получаем систему уравнений [c.153]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...