Главные оси и главные моменты инерции фигуры

ГЛАВНЫЕ ОСИ И ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ФИГУРЫ [c.122]

Главные оси и главные моменты инерции фигуры [c.123]

Пример 1. Для фигуры, показанной на рис. 35, определить положение главных осей инерции, главные моменты инерции и радиусы инерции. [c.32]

Вследствие симметрии эллипсоида инерции всякая ось, проходящая через неподвижную точку О и перпендикулярная оси 2, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно всех этих осей, лежащих в экваториальной плоскости гироскопа, имеют одинаковую величину А. Момент инерции гироскопа относительно оси 2 обозначаем через С. Обычно для технических гироскопов С > 4, и эллипсоид инерции сплюснут в направлении оси 2. Движение гироскопа вокруг точки О можно представить себе в каждый данный момент как вращение с некоторой мгновенной угловой скоростью О. Угловую скорость Й разложим на направление оси z фигуры и в экваториальной плоскости гироскопа. [c.41]

Задача 359. Плоская фигура вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной к плоскости рисунка. Определить главный вектор и главный момент сил инерции материальных точек плоской фигуры, [c.344]

Из-за симметрии эллипсоида инерции гироскопа любая ось, проходящая через О и перпендикулярная к 63, будет главной осью инерции, и моменты инерции гироскопа относительно таких осей будут одинаковыми. Обозначим эти моменты инерции А. Момент инерции относительно оси фигуры обозначим С. [c.495]

Действительно, во-первых,оси х и у являются главными фигура симметрична относительно оси х), поэтому 1 -0, во-вторых, главные моменты инерции равны между собой [c.152]

Если плоская фигура имеет сложное очертание, то ее следует разбить на к более простых фигур и вычислить момент инерции хк ДЛЯ каждой из них порознь относительно главной центральной оси X всего сечения. Тогда по свойству определенного интеграла момент инерции сложной фигуры будет равен сумме моментов хк- [c.112]

Пусть 1 и 02 являются главными моментами инерции массы диска относительно осей Oi, О2, а т — масса диска. Значение других величин видно из фигуры. [c.34]

Теперь можно окончательно сформулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты/у, У и J y. После этого следует найти по формуле (12.17) величину угла ао и вычислить главные центральные моменты инерции Jy и Л. по формулам (12.18). [c.240]

Для составных несимметричных сечений из прокатных профилей 1) найти координаты центра тяжести фигуры 2) определить положение главных центральных осей инерции 3) аналитически и графически (построением круга Мора) определить величину главных моментов инерции, главных радиусов инерции и построить эллипс инерции сечения. Форма и размеры сечений в мм даны на рисунках в таблице. [c.121]

Выражение главных моментов инерции плоской фигуры для главных осей, образующих с осью Ох углы а и а + 90° [c.120]

Пусть известны моменты инерции и относительно центральных осей и н V некоторой фигуры, а также центробежный момент Juv относительно этих осей (фиг. 7). Требуется найти главные центральные оси инерции и вычислить главные центральные моменты -ц инерции. [c.112]

Ось Ус — ось симметрии, следовательно, она является главной центральной осью сечения. Ось Хс (рис. 4.6) проходит через центр тяжести сечения и перпендикулярна оси Ус, следовательно, она тоже главная и центральная. Положение центра тяжести сечения было определено в примере 4.1. Моменты инерции фигур сечения определяем относительно центральных осей сечения, используя формулы для моментов инерции фигур относительно их центральных осей, приведенные в табл. 4.2, и формулы перехода к параллельным осям (4.8) [c.80]

В общем случае главные центральные оси инерции фигуры могут быть найдены, если известны ее центробежный Jг y, и осевые /г. и Jy моменты инерции относительно произвольно расположен- [c.168]

Очевидно, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называют главными осями инерции. Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой положительной величине гу dF соответствует такая же отрицательная по другую сторону от оси симметрии (рис. 14, в) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями. [c.17]

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Сказанное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю. [c.102]

Так как оси Лц и Уд являются главными центральными осями (ось хо — ось симметрии фигуры), то момент инерции равен нулю. Угол [c.104]

По содержанию полезно сделать следующие замечания. Вопрос о положении центров тяжести плоских фигур и статических моментов сечений должен полностью изучаться в статике, здесь возможно лишь краткое напоминание. Не следует вводить в эту тему вопрос о моменте сопротивления (такое решение, хотя и не часто, но встречается), это получится сугубо формально, так как понять смысл этой характеристики в отрыве от формулы для нормальных напряжений при изгибе, конечно, нельзя. В большинстве случаев достаточны сведения об определении главных центральных моментов инерции сечений, имеющих не менее одной оси симметрии, но при необходимости преподаватель имеет право рассмотреть в полном объеме и моменты инерции несимметричных сечений. [c.113]

Прежде чем переходить к определению моментов инерции некоторых простейших фигур, надо дать понятие о главных осях и главных моментах инерций. Для этого необходимо показать, что при повороте системы координат на 90 знак центробежного момента инерции меня . тся на противоположный. Следовательно, при непрерывном повороте осей они неизбежно займут такое положение, при котором центробежный момент инерции обратится в нуль. [c.115]

Тогда в соответствии с рассмотренным выше случаем момент инерции относительно любой оси имеет одно и то же значение и любые оси, полученные путем поворота системы координат у. , являются главными осями инерции. Отсюда следуе , что для всех правильных фигур (равностороннего треугольника, квадрата, круга и т. д.) моменты инерции относительно всех центральных осей равн л между собой и все эти оси являются главными осями инерции. [c.154]

В подавляющем большинстве случаев конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение его главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Поэтому следующим этапом вычисления является определение координат центра тяжести заданного сечения [по формулам (5.5) и (5.6)] в некоторой произвольной (случайной) системе координат Через этот центр тяжести сечения проводятся вспомогательные (не главные) центральные оси и Zg, параллельные осям системы координат простых фигур. [c.156]

Моменты инерции правильных фигур относительно центральных осей равны и любые взаимно перпендикулярные центральные оси будут главными. [c.119]

Примерное положение главной оси (оси 1 п, п) легко определить, так как эта ось, во-первых, пересекает фигуру по наибольшему протяжению и во-вторых, располагается ближе к той исходной оси инерции (Y), относительно которой момент инерции имеет меньшую величину Jy < J ) [c.115]

Обратная задача. Известны моменты инерции плоской фигуры Jу Jzy относительно осей 2 и У. Требуется определить главные моменты инерции /а И положение главных осей (рис. 5.20). [c.122]

Поэтому центробежный момент инерции всей фигуры, состоящей из симметричных элементарных площадок, будет равен нулю. Если же центробежный момент инерции равен нулю, то ось симметрии и любая к ней перпендикулярная ось будут главными осями. [c.179]

При определении моментов инерции составного сечения относительно главных центральных осей на основании свойства аддитивности определенных интегралов сечение разбивают на простые фигуры, у которых известны положения центров тяжести и моменты инерции относительно собственных центральных осей. По формулам (2.5) находят координаты центра тяжести всего сечения в системе произвольно выбранных вспомогательных осей. Параллельно этим осям проводят центральные оси, относительно которых по формулам (2.6) [c.34]

Очевидно, имеется близкая аналогия между вышесказанным и определением, главных осей инерции плоской фигуры или тела, т. е. осей, для которых центробежный момент инерции равен нулю, а также вычислением главных напряжений в деформиро- [c.393]

Как это видно из определения (7.2.2), центробежный момент инерции может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от положения фигуры относительно осей координат. Это проиллюстрировано на рис. 7.10. Рассуждая так же, Jz как и в случае статических моментов, легко приходим к выводу, что существует такое положение осей координат относительно фигуры, при котором Зщ = 0. Такие координатные оси называются главными осями инерции. Нетрудно показать, что если хотя бы одна из осей фигуры является осью симметрии, то Jzy = О и такие оси — главные. Предоставляем читателю доказать это самостоятельно. [c.169]

В предыдущем разделе было показано, что центробежный момент инерции относительно системы осей, одна из которых является осью симметрии, равен нулю. Отсюда следует, что если фигура имеет ось симметрии, то эта ось и любая перпендикулярная к ней ось образуют систему главных осей. [c.606]

Если известны моменты инерции фигуры J , Jy и Jотносительно каких-либо координатных осей, то величины главных моментов инерции могут быть определены следующим образом. [c.181]

Найти значения осевых и центробежного моментов инерции площади треугольника относительно осей х п у, совпадающих с его катетами. Воспользовавшись полученными результатами, определить также осевые и центробежный моменты инерции треугольника отнй- сительно центральных осей и Уд и найти положение главных осей инерции фигуры (см. рисунок). [c.116]

Определить координаты центра тяжести сечения неравно-69КОГО уголка, показанного на рисунке, найти положение главных центральных осей инерции площади фигуры и вычислить моменты инерции относительно этих осей. Сечение, размеры которого немазаны на рисунке в мм, рассматривать как состоящее из двух прямоугольников (без учета закруглений). [c.117]

Определить координаты центра тяжести сечения, составленного из листа 200x10 мм и равнобокого прокатного уголка 90x90x9 (см. рисунок) найти положение главных центральных осей инерции, вычислить значения главных моментов инерции и построить эллипс инерции фигуры. Размеры на рисунке даны ъ см. [c.117]

Замечание. При равенстве двух главных моментов инерции, например 7 , и 7 для осей у, г, оказывается, что все оси, лежащие в плоскости уг, будут главные оси тела моменты инерции для всех этих осей одинаковы и равны 7 ,. В этом случае вместо разложения угловой скорости на три главные оси можно применять разложение ее на две главные оси. Пусть ОМ есть мгновенная ось вращения, а отрезок ОМ изображает величину угловой скорости (фиг. 131). За одно направление разложения примем ось Ох (ось фигуры в случае тела вращения) за другое направление разложения выберем линию 0N, лежащую в плоскости хОМ и перпендикулярную к Ох. Ось лежит в плоскости уг, следовательно, будет главная. Итак, обе оси, на которые разложена угловая скорость, будут главные. А всякая главная ось обладает тем свойством, что для нее проекцпя момента количеств движения выражается очень просто, а именно равна произведению угловой скорости на момент инерцни для этой оси. Если проекции угловой скорости на ОХ, ОЛ/ назовем через р, д, то проекции момента количеств движения для тех же осей будут 7 / , 7 . [c.215]

Для составных сечений из прокатных профилей требуется I) определить координаты центра тяжести фигур и положение главных центральных осей инерции 2) вычислить величины главных моментов и ра,циусов инерции 3) построить эллипс инерции. [c.50]

Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции, поскольку в этом случае каждой по-" ложительной величине губР соответствует такая же отрицательная по другую сторону оси симметрии (рис. 2.2.3) и их сумма по всей площади фигуры равна нулю. Главные осщ проходящие через ц. т. сечения, называются главными центральными осями. Размерность центробежного момента — м . [c.22]

Построим на главных центральных осях инерции фигуры эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, причем вдоль оси и отложим отрезки г , а вдоль оси v — отрезки iu (рис. 34). Такой эллипс, называемый элли/гсолг инерции, обладает следующим замечательным свойством. Радиус инерции относительно любой центральной оси 2 определяется как перпендикуляр ОА, проведенный из центра эллипса на касательную, параллельную данной оси. Для получения же точки касания достаточно провести параллельно данной оси 2 любую хорду. Точка пересечения эллипса с прямой, соединяющей центр О и середину хорды, и есть точка касания. Измерив затем отрезок Oy4=Iz, находим момент инерции = [c.40]

Плоская фигура состоит из полукруге и квадрата 00 стороной а 10 ом. определить разность моментов инерции отно-ойтельно главных осей, проходящих через точку О. [c.53]

ТЕОРЕМА [взаимности (перемещений перемещение точки А под действием силы, приложенной в точке В, равно перемещению точки В под действием силы, приложенной в точке А работ работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещение точки ее приложения под действием первой силы ) Гульдена — Панна ( площадь поверхности, полученной вращением дуги плоской кривой (или ломаной линии) вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но ее не пересекающей, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести объем тела вращения, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и ее не пересекающей, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести площади фигуры ) Гюйгенса точка подвеса физического маятника и центр качания суть точки взаимные Гюйгенса — Штейнера момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между ними о движении центра масс ( центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внещние силы, действующие на систему тела с переменной массой центр масс тела с переменной масой движется как точка затвердевшей массы, в которой сосредоточена масса тела в данный момент и к которой приложены главный вектор активных внешних сил и главный вектор реактивных сил ) Жуковского если силу, приложенную к какой-либо точке звена плоского механизма, перенести параллельно самой себе в одноименную точку повернутого плана скоростей, то момент этой силы относительно полюса плана скоростей будет пропорционален ее мощности ] [c.282]

Постановка задачи Сен-Венана. Призматический стержень— тело, образуемое при поступательном движении плоской фигуры S по прямой, перпендикулярной плоскости фигуры фигура S представляет поперечное сечение стержня. Осью стержня Oz называется прямая, являющаяся геометрическим местом центров инерции поперечных сечений оси Ох, Оу, расположенные в плоскости поперечного сечения, направлены по его главным осям инерции. Начало О системы осей Оху расположено в одном из поперечных сечений (в сечении 2 = onst) начальное = 0) и конечное (z = I) поперечные сечения называются торцами стержня, их центры инерции обозначаются 0-, 0+. Через 1ос, 1у назовем моменты инерции поперечного сечения относительно расположенных в нем осей, через S — его площадь. Итак, [c.366]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...