Общие уравнения системы со многими степенями свободы

Движение твердого тела во многом зависит от числа его степеней свободы тело с одним и тем же числом степеней свободы может совершать различные движения, не похожие друг на друга. Свободное твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы координат, например декартовой, определяется заданием трех его точек, не лежащих на одной прямой. Расстояния между точками в твердом теле должны оставаться неизменными при любых его движениях. Это накладывает на координаты фиксированных точек три условия. Девять координат должны удовлетворять трем уравнениям. [c.123]

Общие уравнения системы со многими степенями свободы [c.61]

В дальнейшем будут рассмотрены совершенно общие колебательные системы со сколь угодно большим числом степеней свободы. Число координат Хр р=1,. . п), необходимое для однозначного описания движения таких систем, равно числу степеней свободы. При принципиально несложных, но из-за наличия многих степеней свободы весьма трудоемких вычислениях мы будем придерживаться обозначений, принятых в тензорном исчислении и позволяющих сократить записи. Различные координаты Хр отличаются индексами и могут рассматриваться как компоненты одного вектора х. Соответствующим образом характеризуются двойными индексами и входящие в уравнение движения коэффициенты, например В общем случае коэффициенты образуют квадратные матрицы и оба индекса могут пробегать свои интервалы значений независимо друг от друга. В особых случаях, например при записи определителей миноров или производных, применяются дополнительные индексы. [c.271]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Это уравнение определяет основную процедуру вариационного метода Канторовича-Власова, являющегося развитием более общего метода Фурье разделения переменных применительно к уравнениям теории упругости. Для сведения дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению необходимо использовать разложение (7.2) и выполнить операции в (7.5), т.е. умножить обе части исходного дифференциального уравнения на выбранную функцию ХДх) и проинтегрировать в пределах характерного размера пластины (для прямоугольной пластины это ее ширина). Точное решение получается, когда ряд (7.2) не усекается, а из (7.5) следует бесконечная система линейных дифференциальных уравнений и расчетная схема имеет бесконечное число степеней свободы в двух направлениях. При этом весьма удобно использовать ортогональную систему функций X x). В этом случае будут равны нулю многие побочные коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (7.5) и она существенно упростится, а при шарнирном опирании вообще распадается на отдельные уравнения. В расчетной практике весьма редко используют два и более членов ряда (7.2), ограничиваясь только первым приближением. Связано это с высокой точностью получаемых результатов, вследствие, как представляется, незначительного расхождения между приближенной схемой и реальным объектом. Формально это выражается в надлежащем выборе функции Х х). Чем точнее она описывает какой-либо параметр в направлении оси ОХ, тем меньше погрешность результата. [c.392]

Составление правых частей уравнений при узловой нагрузке происходит обычным образом, т. е. значение узловой нагрузки засылается в вектор правых частей по адресу, соответствующему номеру степени свободы, по направлению которой приложена нагрузка. В случае если нагрузка приложена по области конечного элемента, то происходят вызов внутреннего формата этого элемента и процедуры приведения местной нагрузки к узловой. Местная нагрузка приводится к узловой, переводится в общую систему координат и в соответствии с вектором степеней свободы рассылается в вектор свободных членов общей системы уравнений. Решение системы линейных уравнений происходит методом исключения, алгоритм которого во многом аналогичен ранее описанному алгоритму (см. п. 1.4). Отличие заключается лишь в том, что здесь существенно используется быстрая внешняя память (магнитные диски), а количество обращений к магнитным лентам сокращается. Если же система линейных уравнений целиком помещается на дисках, то обращение к магнитным лентам вообще не происходит. Имеется возможность составление и решение уравнений выполнять с двойной точностью. Полученные в результате решения уравнений перемещения сортируются таким [c.118]

Прекрасные результаты Пуанкаре и Четаева разрабатывались и обобщались во многих работах [7-23]. В частности, уравнения Пуанкаре и Четаева были применены для систем с бесконечным числом степеней свободы и распространены на неголономные системы. Дано также обобщение этих уравнений на замкнутые системы преобразований, когда структурные коэффициенты переменны. Показано, что обобщенные уравнения Пуанкаре и Четаева включают уравнения движения как в независимых, так и в зависимых переменных, как в голономных, так и в неголономных координатах (квазикоординатах) для голономных и для неголономных систем, и в этом смысле являются общими уравнениями аналитической динамики. [c.4]

Мы отметили вышеуказанное приведение системы к системе с меньшим числом степеней свободы, потому что оно характерно как пример тех приведений, к которым стремятся во многих динамических проблемах, а именно приведений, сохраняющих общий вид уравнений. [c.52]

Для системы, которая соединяется с основанием во многих точках, также можно определить динамическое перемещение, рассматривая независимые движения каждой точки соединения системы с опорами, для чего вычисляются соответствующие коэффициенты жесткости или податливости . В подобном случае относительные перемещения точек соединения системы с опорой должны быть малы по сравнению с общими линейными перемещениями. Если система с п степенями свободы имеет г точек соединения с опорами, которые могут двигаться независимо друг от друга, уравнение движения в усилиях (б) можно обобщить следующим образом [c.285]

Мы можем изложить здесь общую теорию малых колебаний системы со многими степенями свободы лишь в общих чертах. В случае одной степени свободы ( 7) оказалось возмон ным построить теорию, исходя из одного только уравнения энергии при наличии более чем одной зависимой переменной этого уравнения недостаточно и прпходптся снова обратиться к динамике. Для простоты изложения предположим, что имеются только две Teneini свободы, однако изложение не будет содержать чего-либо, препятствующего непосредственному распространению его на общий случай. [c.61]

Метод упрощения систем со многими степенями свободы до уровня эквивалентных [3] основан на разбиении исходной системы на парциальные подсистемы, каждая из которых имеет одну степень свободы подсчете парциальных частот рщ, сравнении их с наивысшей граничной частотой сотах и последующем перераспределении параметров тех из парциальных подсистем, для которых Рпц сйтах. Часть общей математической модели, описанная дифференциальными уравнениями, имеющими переменную структуру, не подлежит упрощению. Упростить можно только ту часть математической модели, которая описывает угловые колебания трансмиссии, так как ее построение обычно осуществляется формально, исходя из рассмотрения кинематических схем [c.325]

Если для системы со многими степенями свободы в качестве обобщенных координат использовать главные формы колебаний уравнения движения без демпфирования становятся несвязанными В этих координатах каждое уравнение можно решать как уравне ние, записанное для системы только с одной степенью свободы Этот подход, известный как метод нормальных форм при динами ческих исследованиях, обсуждается в данной главе и применяется к задачам, представляющим общий интерес. Сначала рассматриваются системы без демпфировсишя, а в последних частях обсуждаются специальные вопросы, относящиеся к системам с демпфированием. [c.244]

МЕТОД ИЗОКЛИН. В дальнейшем изложении теории нелинейных колебаний ограничимся главным образом системами с одной степенью свободы, наметив в общих чертах некоторые методы общей теории нелинейных систем со многими степенями свободы. В частности, в этой главе мы будем заниматься простейшими нелинейными системами с одной степенью свободы, объединив их изучение одним общим методом фазовой плоскости или методом изоклин. Это — один из графических методов интегрирова-. ния системы дифференциальных уравнений вида [c.472]

Во можным перемещением системы называют любую совокупность возможных перемещений точек системы. В общем случае система может иметь несколько и даже бесконечно много возможных перемещений. Вследствие уравнений связей, нaJ[oжeнныx на систему, не все возможные перемещения являются независимыми. Число независимых возможных перемещений называют числом степеней свободы системы. [c.385]

Наиболее общим приемом составления дифференциальных уравнений движения материальной системы, подчиненной голономным связям, является применение уравнений Лагранжа. При наличии идеальных связей в эти уравнения не входят реакции связей. Если на материальную систему наложены голономные связи, то число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы. Применение этих уравнений особенно целесообразно при рассмотрении систем с несколькими степенями свободы. Так, в случае системы с двумя степенями свободы надо составить два дифференциальных уравнения движения. Если решать задачу, минуя уравнения Лагранжа, то необходимо из многих общих теорем и иных уравнений динамики найти два уравнения, применение которых наиболее целесообразно. Удачно выбрать уравнения и общие теоремы можно лишь на основе значительных навыков в решении задач или путем ряда неудачных проб и ошибок. Вместе с тем применение уравнений Лагранжа дает возможность быстро и безошибочно получить необходимые дифференциальные уравнения движения. Вообще говоря, при отсутствии ясного плана решения зад7чи лучше всего использовать уравнения Лагранжа. При этом существенную роль играет удачный выбор обобщенных координат. [c.549]

Для рассмотрения связанных колебаний пространственно-много-мерных механических цепей наиболее удобны общие методы исследования линейных систем с конечным числом степеней свободы [64, 79]. Однако при исследовании довольно распространенных пространственноодномерных механических цепей для инженерных целей более удобными оказываются методы, в которых уравнения движения системы находят непосредственно из топологии рассматриваемой механической цепи на основе законов Кирхгофа. Ниже при рассмотрении простран-ственно-одномерных цепей двухполюсников введены воспринимаемые силы, параметры двухполюсников и их ассоциированные направления, выбираемые одинаковыми для всех элементов относительно принятой системы отсчета. Это позволяет применить для описания и анализа указанных цепей аппарат теории графов и дать систематический и формализованный подход к исследованию механических цепей. [c.31]

Метод иерархий кинетических уравнений, развитый H.H. Боголюбовым и H.H. Боголюбовым (мл.) [112-114], является весьма общим при описании динамических процессов в малой подсистеме, приводимой в контакт с термостатом, и нашёл широкое применение в теории сверхизлучения [120-123]. Он может быть также использован для описания широкого круга явлений в конденсированных средах. Подчеркнём, что понятие малой системы следует понимать в том смысле, что число степеней свободы этой системы много меньше, чем у термостата. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...