ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Нормальные решения уравнения Больцмана из "Статистическая механика неравновесных процессов Т.1 " что P — полный импульс газа, а f — полная кинетическая энергия. Таким образом, если неравновесное состояние слабо неоднородно, то можно перейти от кинетического к гидродинамическому описанию, выбирая в качестве базисных переменных плотности сохраняющихся величин. [c.235] По аналогии с уравнением состояния идеального газа величину T r t) можно интерпретировать как неравновесную температуру. [c.236] Индексом (0) обозначены распределения Максвелла в остальном обозначения те же, что и в формуле (ЗА.7). [c.237] Учет поправок к тензору давления и потоку тепла от ё f при вычислении производной 0/01 приводит к появлению в уравнениях гидродинамики членов с производными высших порядков по координатам. Так как в дальнейшем мы рассматриваем только случай медленных гидродинамических процессов, эти поправки учитываться не будут. [c.237] Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся греческим индексам. [c.237] Мы видим, что производная (ЗА.28) нронорциональна градиентам гидродинамических неременных. Поэтому уравнение (ЗА.22) можно решать методом последовательных приближений, раскладывая Sf в ряд по градиентам ). Малость градиентов означает, что процессы переноса происходят медленно. С другой стороны, благодаря столкновениям, неравновесная функция распределения релаксирует к локальному распределению Максвелла, т. е. поправка 6f стремится к нулю. Характерным временем релаксации для Sf является среднее время свободного пробега г , так как оператор (ЗА.25) является не чем иным как линеаризованным оператором столкновений Больцмана. Если гидродинамические переменные мало изменяются за время порядка г , то в уравнении (ЗА.22) можно пренебречь производной по времени, т. е. его можно решать в стационарном приближении. Мы ограничимся этим приближением и найдем Sf в первом порядке по градиентам гидродинамическим переменных ). Заметим, что в этом случае функционалом A[Sf] в уравнении (ЗА.22) также можно пренебречь, так как он соответствует членам более высокого порядка по градиентам [см. выражение (ЗА.24)]. [c.238] Так как производная Dfo/Dt с помощью (ЗА.28) выражается через гидродинамические величины, то функция / = /о + 5/ представляет собой нормальное решение уравнения Больцмана. [c.238] Можно показать [78], что безразмерным малым параметром, по которому ведется разложение, является число Кнудсена К = Ij /Al, где — средняя длина свободного пробега частицы, а А/ — пространственный масштаб изменений гидродинамических величин. [c.238] Более общие решения уравнения (ЗА.22) рассмотрены в работе [27]. [c.238] Оно оказывается особенно удобным, если нас интересует действие оператора столкновений на функции вида (ЗА.28). [c.239] Формулы (ЗА.39) и (ЗА.40) являются значительным достижением кинетической теории газов. Они позволяют вычислять коэффициенты переноса для конкретных моделей сечения рассеяния в линеаризованном операторе столкновений Больцмана (ЗА.35). [c.239] В общем случае выражение для тензора давления содержит еще один член V и, в котором ( — — коэффициент объемной вязкости. Для одноатомных газов, описываемых уравнением Больцмана, коэффициент объемной вязкости равен нулю [78]. [c.239] Интересно отметить, что структура этих формул напоминает структуру общих выражений (2.3.58) для кинетических коэффициентов через корреляционные функции микроскопических потоков в квазиравновесном состоянии. Разумеется, эта аналогия не случайна, поскольку временная эволюция разреженного газа определяется оператором столкновений Больцмана, а роль квазиравновесного распределения играет локальная функция Максвелла. [c.240] В стационарном случае изложенный выше метод построения нормальных решений уравнения Больцмана эквивалентен хорошо известной теории Чепмена-Энскога ). Отметим, что путем итераций уравнения (ЗА.22) можно построить более общие нормальные решения уравнения Больцмана. Они приводят к обобщенным гидродинамическим уравнениям, включающим производные более высоких порядков от термодинамических параметров и эффекты запаздывания [27]. [c.240] Вернуться к основной статье