Циклические функции от у и 6 и от их производных

Отсюда следует, что если функция to имеет для данной связности циклическую функцию, то и ее производные также имеют определенные циклические функции, получаемые путем дифференцирования циклической функции от <р. [c.440]

В частности, если to есть однозначная или ациклическая функция, то Су(<р) = 0 и все производные от to будут ацикличными, так что при цикличных производных от <р само tp должно иметь циклическую функцию, отличающуюся от нуля. [c.440]

Циклические функции от и и от их производных. [c.440]

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ОТ х И И ОТ ИХ ПРОИЗВОДНЫХ 441 [c.441]

Это значит, что циклические координаты не входят в состав функции Рауса. Уравнения же (4.56), которые называются уравнениями Рауса, своего вида не изменят. Итак, нами установлено, что функция Рауса не содержит циклических координат и их производных по времени. [c.112]

Т. е., если частная производная от L по qm равна нулю, то будет равна нулю и частная производная от Н по q,a. Следовательно, циклические координаты не входят и в функцию Гамильтона. [c.129]

Первый член в выражениях для ф и ф" соответствует капиллярным волнам на поверхности раздела (причем к. = 2п/Я — волновое число — длина волны со = 2яс Х — циклическая частота с — скорость распространения волны) второй — основному движению жидкости или пара. Знаки показателей степеней у экспонент выбраны с учетом знака 2 так, чтобы ср и ф" не оказались беспредельно возрастающими функциями г. Составляющие скорости гид. и равняются соответственно частным производным от потенциала скоростей по. X или г. [c.470]

Уравнения (5.16) называются каноническими уравнениями движения, или уравнениями Гамильтона. В принципе вывод этих уравнений представляется известным прогрессом, так как они являются дифференциальными уравнениями первого порядка, тогда как уравнения Лагранжа имеют второй порядок. На практике этот выигрыш оказывается в значительной степени иллюзорным. Простейшее условие для удобства интеграции какого-либо из этих уравнений состоит в том, чтобы некоторое или некоторое р явно не входили в функцию Я тогда соответствующее сопряженное переменное сохраняет постоянное значение. Таким образом, решение уравнений приводит к задаче определения системы координат, в которой бы,ло бы достаточное число циклических переменных и р . Это можно провести на основе некоторых правил (изложенных в гл. VII). К сожалению, однако, эти правила включают решение уравнения в частных производных [c.62]

Примером могла бы служить система, которая содержит тело, вращающееся без трения и без (других) сопротивлений вокруг одной из его главных осей инерции как маятник, который мы рассматривали в 22. Угол, производная по времени от которого определяет угловую скорость вращающегося тела, является соответствующей координатой р далее, нужно было бы предположить, что силы прилагаются всегда только к обоим концам валов, так что всегда отсутствует момент, ускоряющий или замедляющий вращение. Максвелл пользуется образом вращающегося тела, подчиненного такому условию, для того чтобы объяснить магнетизм внутри элемента объема эфира, и разъясняет этим тот факт, что электромагнитная энергия эфира содержит члены, линейные относительно сил тока, тогда как чисто электродинамическая энергия является однородной квадратичной функцией сил тока. Силы тока Максвелл рассматривает как скорости изменения циклических координат. [c.493]

Необходимое условие функции V, V, V", Г, Г, Г" зависимы. (В самом деле, пусть q —циклическая координата в системе ( ь q ). Тогда V, Е, F, G и их производные суть функции только от qi.) Это условие можно проверить в любой системе координат, поскольку функции У и Г модуль градиента, оператор Лапласа и свойство зависимости не зависят от выбора системы координат. [c.183]

С помощью рассуждений, подобных приведенным выше, и с помощью решений, содержащих степени координат не выше первой и не выше второй производной от бигармонической функции, получаются решения 15—18, приведенные в таблице 3.1. Решения 12—14 и 15—17 допускают упоминавшуюся выше циклическую перестановку, тогда как решение 18 — единственное, не меняющее форму при циклической перестановке ж, у, z. Возможно, существует бесконечно большое число более сложных решений, но их полезность находится под вопросом. [c.129]

Переходя теперь, как в 36, к частному случаю несжимаемой жидкости, мы заметим, что, все равно, будет ли 9 циклической или нет, ее первые производные , а следовательно, и все производные высшего порядка, суть существенно однозначные функции, и при этом 9 всегда будет удовлетворять уравнению неразрывности [c.73]

При этом в отличие от случая различных частот циклических погрешностей график функции кинематической погрешности (рис. 1.102) при Кг = Кв имеет непрерывную производную во всех точках, т. е. в отношении плавности хода передачи сочетание пар с одинаковыми частотами циклических погрешностей шага предпочтительнее, чем сочетание пар с различными частотами. [c.196]

Если шарик поместить в положение, определяемое углом Оо, то при движении системы будет изменяться только циклическая координата ф, а координата а будет сохранять постоянное значение. Такие движения, в которых все нециклические координаты сохраняют постоянное значение, Раус назвал стационарными. Для исследования устойчивости положений относительного равновесия рассмотрим вторую производную от функции и [c.567]

Рассмотрим более подробно особенности уравнения (3). Оно по своему виду будет сильно отличаться от уравнения (2) и, что самое интересное, может стать линейным уравнением. В самом деле, функция Я относительно переменных может оказаться линейной функцией этих переменных и тогда уравнение (3) тоже будет линейным. Далее, если в функцию Н не будут входить некоторые из переменных qj (циклические координаты), то в уравнение (3) никак не войдут соответствующие им частные производные. Напротив, уравнение (2), как мы [c.61]

Циклические координаты. Другое замечание сделаем, указав на один весьма важный частный случай, при котором интеграл одного или нескольких уравнений Лагранжа легко находится. Если в функции Лагранжа какая-нибудь из координат д не входит, а входит только ее производная то такая координата называется циклической, Ее и ее производную можно из уравнений Лагранжа исключить, и тогда одной координатой будет меньше. Если в функцию [c.531]

Нередко случается так, что какие-то обобщенные координаты сами в функцию Лагранжа не входят, а входят лишь их производные по времени. Такие координаты называются циклическими (это название объясняется тем, что чаще всего такими координатами оказываются угловые переменные). Итак, обобщенную координату [c.174]

Интегралы уравнений Гамильтона. Из уравнений Гамильтона можно получить интегралы, аналогичные вытекающим из уравнений Лагранжа ( 22), т. е. интеграл обобщенной, или полной механической энергии, и циклические интегралы обобщенных импульсов. Так как частные производные по времени от функции Лагранжа и Гамильтона совпадают, как это видно из формулы (23.2), то условием сохранения обобщенной энергии является независимость [c.204]

Циклические координаты и циклические интегралы. Обобщенная координата называется циклической (термин Гельмгольца), если в выражение функции Лагранжа входит только производная этой координаты по времени. Иными словами, координата Яг есть циклическая, если [c.230]

Координата, которая не входит в функцию Лагранжа, а представлена в ней только своей производной по времени, называется циклической. [c.264]

Первый интеграл системы (61.14) также имеет место, если какая-нибудь координата qu является циклической Циклической называется координата qi,, которая присутствует в функции Лагранжа только под знаком производной по времени. Так как для нее dLldqk= Q, то из уравнений (61.14) найдем [c.88]

Предположим, в частности, что речь идет о динамической системе, так что имеем = Г -)- ГУ. В этом предположении, как мы уже знаем (п. 41), гессиан Д функции сводится к дискрими-ланту ] j квадратичной части rживой силы Т или полной живой силы Т, смотря по тому, зависят или не зависят связи от )фсмени. Так как в обоих случаях речь идет об определенной положительной форме, то дискриминант во всяком случае будет отличным от нз ля и положительным, как и все его главные миноры вместе с другими аналогичными главными минорами най ется. минор т-то порядка, образованный пересечением т первых строк и т первых столбцов, также отличный от нуля. Уравнения (55) будут, таким образом, разрешимы относительно т производных iji от т циклических координат 2, т.), и потому их [c.303]

Если за основные неизвестные принимаются углы Эйлера б, <в, I, определяющйе относительно неподвижных осей, проходящих через точку О, положение неизменяемой части 5, то векторы ы К могут быть выражены в функциях от 6, , ф и от их первых производных. То же самое можно сказать и о векторе М, если мы ограничимся случаем (который не является наиболее общим из возможных), когда внешние силы, предполагающиеся заданными, зависят от положения и состояния движения одной только твердой части S. Остается еще гиростатический момент х, который выражает влияние циклических движений уравнение (47) или равносильное ему уравнение (47 ) уже не будет достаточным для постановки задачи о движении системы S до тех пор, пока не удастся каким-нибудь способом определить вектор X. для чего, вообще говоря, требуется изучение механического поведения частей S системы S- Рассмотрим пока частный случай, пригодный для интересных приложений, когда задача упрощается, поскольку сами предположения позволяют заранее видеть, что гиростатический момент является постоянным, В общем случае, следуя [c.220]

Пусть, например, в момент, принятый за исходный, = О (рис. 8.11, точка О). Используя сетку линий dpy/ds = onst, можно определить примерный вид функции ру = Ру (s)-. значение производной, положительное, вначале уменьшается, при пересечении с линией dpylds 0) становится равным нулю, затем отрицательным — до следующего пересечения с той же линией — и снова положительным. Начало следующего цикла отвечает точке А[, расположенной на том же уровне (р ,), что и конечная точка А. Нетрудно, убедиться, что изменение ординат во втором цикле будет менее существенным. При последующих циклах будет происходить асимптотическое приближение к некоторой предельной кривой, отвечающей стационарному циклическому состоянию рассматриваемой конструкции. Заметим, что траектории разных циклов не могут пересекаться, поскольку каждой точке s, отвечает единственный наклон dpJds. [c.187]

ДИФФЕРЕНЦИОГРАФ (от лат. differentia — разность, различие и греч, grapho — пишу) — устр. для измерения приращений функции и построения производной. Ползун 6 перемещается циклически на шаг. Ползун 1 устанавливают и перемещают в зависимости от положения точки М на кривой. За один шаг ползун 1 перемещается по вертикали на величину приращения. Посредством кулисы 2 это движение в заданном масштабе преобразуется в. движение ползуна 5 и точки D, вычерчивающей производную заданной [c.84]

Однако непосредственное применение выражения (4.1) сопряжено с большим объемом вычислительной работы даже для скоростных ЭВМ. Главным образом это обусловливается необходимостью циклического вычисления 16 независимых функций Бесселя и их производных от комплексного аргумента. К тому же применение большого количества параллельных рекурсий увеличивает накопление ошибки, на которую указал Дейрменджан [9]. Ряд несложных преобразований, которые будут показаны ниже, позволяют существенно упростить алгоритмы и в несколько раз повысить быстродействие расчетной программы. [c.118]

В областях, где К принимает действительные значения, ag — мнимые, величина 4> изменяется циклически в зависимости от радиальной координаты (экспоненциальная функция с мнимым показателем степени). В области же, где g становится действительной величиной, а К — мнимой,ч(.> монотонно уменьшается с увеличением радиуса. Эти два решения должны быть согласованы между собой, что ограничивает допустимые значения Р определенными собственными значениями Описанный метод приближенного решения волнового уравнения многим хороию известен благодаря широкому использованию в квантовой -механике при решении волнового уравнения Шредннгера. Обычно его называют приближением ВКБ. Решения (П2.14) неприменимы для точек, находящихся на оси, хотя этот метод можно легко приспособить для получения корректных решений н при г — 0. Из условия (П2.12) очевидно, что рассматриваемое приближение неправомочно, если производная dg/dr велика и если д мало. Это означает, что с переходными областями в окрестности Гх и па рнс. 6.2, где — О, нельзя обращаться просто, и приходится прибегать к специальным способам дли точного определения условий согласования решений на границе. [c.473]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...