Исследование движения в полярных координатах

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ в ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ 139 [c.139]

В большинстве теорий Луны, созданных со времен Ньютона, в основном использовались уравнения движения в полярных координатах — сферических или цилиндрических — или уравнения в элементах орбиты, зависящих от этих координат. Важным исключением является теория Эйлера (1772 г.). в основу которой положено использование прямоугольной системы координат, оси д и у которой вращаются в плоскости эклиптики со средней угловой скоростью Луны. Теория Эйлера не привлекала большого внимания до тех пор, пока (столетием позже) Хилл не продемонстрировал могущество своего метода, основанного на использовании прямоугольных координат, однако с тем отличием от Эйлера, что его оси вращаются со средней угловой скоростью и. Солнца, а ось х проходит через среднее положение Солнца. Хилл выполнил три классических исследования ), составивших затем основу для исчерпывающих исследований Брауна ), который закончил построение теории Луны н составил соответствующие таблицы З). используемые с 1923 г. в ежегодниках. [c.378]

Эллиптическое движение спутника нами исследуется в полярных координатах в плоскости орбиты. Метод изучения эллиптического движения в полярных координатах Клеро распространил на исследование плоского возмущенного движения Клеро впервые предложил употреблять полярный угол в качестве независимого переменного в уравнениях возмущенного движения. В данной работе показывается, что метод Клеро приложим также и к изуче- [c.8]

Движение материальной точки под действием центральной силы происходит в плоскости, проходящей через вектор-радиус и начальную скорость точки. Для его исследования удобно ввести полярные координаты и использовать формулу Бине [c.14]

Фиг. 53. Исследование движения точки в полярных координатах.

Движение материальной точки под действием центральной силы происходит в плоскости, проходящей через радиус-вектор и начальную скорость точки. Для его исследования удобно ввести полярные координаты и использовать формулу Бине (1786—1856, французский математик, механик и астроном) [c.14]

Сферический маятник. Рассмотрим задачу о движении тяжелой точки по неподвижной сфере. С этой целью введем неподвижные оси координат с началом в центре сферы О ось z направим вертикально вверх, ах, г/ — как-либо в горизонтальной плоскости. В горизонтальной нлоскости введем полярные координаты г, 0. Исследование будем проводить в цилиндрических координатах z, г, 0. [c.115]

Несмотря на то, что при сделанных предположениях относительно характера функции / (г) интегрирование дифференциального уравнения движения материальной точки в поле центральной силы приводит к простым квадратурам, выразить полярные координаты точки в известных функциях от времени удается только в весьма ограниченном числе случаев. Поэтому подробное изучение возможных форм траекторий движущейся точки может быть выполнено только на основании качественного исследования уравнений движения. [c.107]

Применение подвижных осей (полярная система координат, естественные оси и т. д.) дает возможность глубже понять некоторые свойства движения. Вместе с тем при этом возникают и некоторые новые затруднения, которые не встречались при изучении движения в прямоугольных декартовых осях При анализе таких движений применяются как геометрические, так и аналитические методы исследования. [c.12]

Введем для описания плоского движения частицы в поле U (г) полярные координаты (г, ф), причем полюс полярной системы координат совместим с центром поля О, а полярную ось направим пока произвольно. Таким образом, исследование движения частицы в центрально-симметрическом поле U (г) сводится к определению функций г (t) и ф (I). Решение этой задачи проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и абсолютного значения момента импульса (интеграла площадей) [c.105]

При исследовании МСС часто оказываются полезными упрощенные уравнения движения — уравнения движения в плоскости полярной орбиты. Их можно составить, обратившись к рис. 6.6, на котором изображены инерциальные оси координат, одна из которых Оуз параллельна вектору угловой скорости суточного вращения Земли, а другая — О з — параллельна линии узлов и направлена в сторону восходящего узла (см. рис. 2. 5). Уравнение движения КА относительно поперечной оси Оу может быть, очевидно,записано в виде [c.135]

Продолжим рассмотрение движения спутника в центральном по-ле притяжения. В главе 2 основное внимание было уделено анализу плоского движения спутника, для чего система координат выбиралась так, чтобы ее оси располагались в плоскости орбиты спутника. Подобный выбор системы координат упрощает исследования модельных задач и получаемые соотношения для описания движения спутника. Если же учесть требования, которые предъявляются при решении практических задач проектирования околоземных орбит спутников или выбора межпланетных траекторий космических аппаратов, то система координат, связанная с плоскостью движения, не всегда оказывается удобной для описания траектории. Например, движение околоземного спутника обычно описывают в экваториальной геоцентрической системе координат, декартовой прямоугольной или полярной. Для описания межпланетных траекторий часто используют эклиптическую декартову систему координат, две оси которой располагаются в плоскости гелиоцентрической орбиты Земли, а третья направлена к северному полюсу мира. [c.98]

Исследование движения в полярных координатах. Отклоняющая сила nv, будучи пропорциональной скорости и направленой под прямым углом к ней, легко может быть разложена на соответствующие составляющие в любой системе координат. Так, для того чтобы получить общие уравнения движения гироскопа в полярных координатах б и его полюса, мы просто заметим, что составляющие скорости v в плоскости переменного угла бив направлении, нормальном к этой плоскости, будут равны соответственно 6 и sin 0 4 1 а потому составляющие отклоняющей силы будут равны — Сп sin и СпН. [c.137]

Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси враш,ающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиал1.ное, но вместе с тем важное замечание координаты и их скорости долна1ы быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного движения неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (см. пример 5 4.5), удобна пользоват(,ся полярными координатами. Но в положении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р равны нулю (р = О, р - 0), а полярный угол ф и угловая скорость ф не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения двия ения оси ротора (они являются одновременно и уравнениями возмущенного движения около полои ения равновесия) имеют вид [c.96]

Для исследования плоского нестационарного движения вязкой ньютоновской жидкости будем применять уравнения (1.2)-(1.5) при 7 = 0, q =0, F, 0, записываемые в полярных координатах г, (р. Рассмотрим одно решение этих ургышшй, сводящееся к отысканию функций радиуса г и автомодельной переменной а и описывающее течение жидкости в кольцевом секторе, рис. 1,8 [c.23]

В этом параграфе исследуется задача о нахождении уравнения орбиты гиперреактивной точки в ноле тяготения и определении элементов орбитальной траектории в так называемой неизменяемой плоскости движения Лапласа. Исследование начнем, исходя из основной системы плоского гинерреактивного движения (6.27), записанной в полярных координатах. Найдем дифференциальное уравнение орбиты s lp). [c.193]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Ахенбах с соавторами [6] рассмотрел примерно ту же задачу, по с учетом инерционных эффектов. Предполагалось, что напряжения и деформации можно представить в виде произведения функции, каждая из которых зависит только от одной из полярных координат системы с центром в вершине, причем зависимость от радиальной координаты имеет вид г . Полученные результаты относятся к исследованию поведения показателя у. Установлено, что показатель у растет, начиная со значения —1/2, с убыванием текущего касательного модуля от его начального упругого значения исследована также зависимость компонентов напряжений в окрестности вершины трещины от угловой координаты. Установлено, что в общем случае результаты намного сильнее зависят от величины упрочнения в зоне пластического течения, нежели от скорости движения трещины. Точно так же, как и в работе Амазиго и Хатчинсона, найдено, что асимптотика поля содержит множитель, структура которого не зависит от условии нагружения вдали от вершины трещины, [c.96]

Величины р и являются относительными полярными координатами горизонтальной проекции точки по отношению к системе осей, вращающейся вокруг вертикали с угловой скоростью 81Пф. Для полного исследования движения здесь необходимо принять во внимание еще интеграл живых сил. Тогда уравнения будут совпадать с уравнениями задачи о движении точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, пропорциональной расстоянию точки до центра. Известно, что в таком движении точка описывает эллипс. [c.295]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...