Две теоремы о непрерывности

Две теоремы о непрерывности. Мы переходим теперь к двум теоремам о непрерывности, которые тесно связаны с только что доказанными теоремами. [c.18]

Вторая теорема Гельмгольца утверждает, что вихревая линия во все время движения состоит из одних и тех же частиц жидкости (это эквивалентно утверждению, что вихревые трубки перемещаются вместе с жидкостью). Эта теорема уже встречалась нам ранее (п. 17) ее можно вывести также из теоремы Кельвина о циркуляции (см. [8], 146). Третья теорема Гельмгольца — интенсивность вихревой трубки остается постоянной во все время движения жидкости — является очевидным следствием теоремы Кельвина. Заметим в заключение, что эти две теоремы также остаются справедливыми, если предполагать только кусочную непрерывность поля завихренности. [c.72]

Теорема 4 (теорема о возвращении). Если / непрерывна на Т и имеет две непрерывные производные по < 2 а пространственное среднее функции f равно нулю, то для любых е > О иТ существует т > Т такое, что /(г, [c.183]

При всяком непрерывном движении тела около точки О первый конус катится без скольжения по второму. Чтобы это показать, достаточно рассмотреть два сферические поверхности, описанные тем же радиусом около неподвижной точки О, из которых одна неизменно связана с телом и движется вместе с ним, а вторая остается неподвижной в пространстве. Точка пересечения оси 0J с этими поверхностями опишет две сферические кривые. Рассуждение,которое приводит к аналогичной теореме в кинематике на плоскости ( Статика", 16) может быть полностью воспроизведено и в данном случае. Оно показывает, что при непрерывном движении тела первая из этих кривых катится без скольжения по второй. При изучении некоторых важных вопросов встречается случай, когда оба конуса являют круглыми конусами вращения, а угловая скорость остается постоянной. Соответствующий тип движения называется прецессионным", так как астрономическое явление прецессии, или предварения равноденствий, является одним из главных его примеров. [c.73]

Чтобы осуществить это обобщение, надо ввести небольшое изменение в предыдущее рассуждение. Лемма 1 остается справедливой, если в члене формулы (3.8) и в связанных с ним уравнениях заменить модулем проекции вектора на соответствующую ось или плоскость. Лемма 2 остается тогда справедливой для упругих сферических молекул и потенциалов с угловым обрезанием, но доказательство нужно изменить и явно использовать полную непрерывность оператора Поскольку не известно, выполняется ли последнее свойство при потенциалах с конечным радиусом взаимодействия (без углового обрезания), для таких потенциалов нужны дальнейшие видоизменения. Можно заменить ы ( ) некоторой степенью функции V (Н) так, чтобы оператор был вполне непрерывен (см. 4 гл. 3), а остальные свойства сохранялись. При этих изменениях по-прежнему справедливы две основные леммы, а следовательно, и основные теоремы 1 и 6. [c.159]

Заметим теперь, что если непрерывно изменять направление оси Ог, проходящей через точку О тела, то одновременно будет непрерывно изменяться и осевой момент инерции 7 . Но в ходе этого изменения 7 не может ни возрастать, ни убывать неограниченно, поскольку для реальных тел со>7г>0. Отсюда на основании соответствующих теорем анализа следует, что среди всех направлений оси Ог существует по крайней мере одно, для которого величина 7 имеет максимум (по сравнению с ее значениями для соседних осей), и одно, для которого эта величина имеет минимум. Тогда из доказанной теоремы вытекает, что через любую точку тела проходят по крайней мере две главные оси инерции. При этом можно показать, что они [c.341]

Для удобства мы прежде всего сформулируем эту теорему. Геометрическая теорема Пуанкаре. Пусть нам дано кольцо О < а г в плоскости, определяемой полярными координатами г, в и некоторое одно-однозначное непрерывное, сохраняющее площадь преобразование Т этого кольца в себя и при этом такое, что точки окружности г = а передвигаются при этом преобразовании вперед т.е. в направлении возрастающих 1 ), а точки окружности г = Ь передвигаются назад (в направлении убывающих г ). Тогда в кольце будут существовать по меньшей мере две точки, инвариантные при преобразовании Т. [c.172]

II. Если д не есть точка равновесия, то структура 2 (д ) определяется единственным образом. Действительно, в этом случае ч д ) О (см. 165). Следовательно, к (I) применима локальная теорема существования неявной функции. Эта теорема показывает, что Z (g ) состоит из п— 1)-мерной поверхности, содержащей д, не имеющей линий самопересечения и обладающей в каждой точке конечной и непрерывной нормалью. Из (I) также видно, что поскольку градиент /д(д) отличен от нуля при д = д (следовательно, и при д —д <е), то гиперповерхность и д) = —к, проходящая через д (т. е. множество Zft), разделяет е-окрестность точки д на две п-мерные области д, в одной из которых и(д) + к > О, а в другой и(д) + к < 0. [c.149]

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные приложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. XXXI) и при изучении реактивного движения (см. 114). , [c.282]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Предположим, что при наложении связи = О (закреплении сосредоточенной массы с индексом и) исходная динамическая модель (рис. 92, а) распадается на две изолированные модели с опорными соединениями (рис. 92,6, в). Такую сосредоточенную массу назовем расщепляющей. Если v — расщепляющая масса, то с учетом непрерывной зависимости собственных значений динамической модели от изменения ее упруго-ннерционных параметров всегда можно выбрать такие значения этих параметров, чтобы выполнялось равенство = > o s+i Тогда в соответствии с теоремами Рэлея о влиянии связей на сиектр собственных частот динамической системы АЧХ i ( o) г-мерной модели можно представить следующим образом [c.305]

Роль устойчивых и неустойчивых многообразий в изучении эргодич. свойств гиперболич. систем иллюстрирует следующее рассуждение Э. Хопфа (Е. НорО. Если две точки лежат на одном устойчивом многообразии, то при г оо они сближаются, а потому для любой непрерывной ф-ции / её временное среднее / принимает одинаковые значения в тех точках этого многообразия, где ф-ция/ определена. То же самое верно при /- — ( для точек любого неустойчивого многообразия, а т. к. по теореме Биркгофа / существует на множестве полной меры, найдётся такая ф-ция /, посхоянная на каждом fV"(x) и на каждом W(x), что. / =/ всюду, кроме, быть может, множества нулевой меры. Очевидно, У S onst, если выполняется следующее условие связности для любых точек х, х можно подобрать цепочку точек у о, в к-рой уо = х, у =х, и при любом к<п точки Vk и принадлежат либо одному устойчивому, либо одному неустойчивому многообразию. Пользуясь тем, что всякая интегрируемая ф-ция приближается непрерывными ф-циями, можно распространить утверждение о постоянстве (почти всюду) средних / на все интегрируемые ф-ции / и тем самым доказать эргодичность. [c.632]

Теорема 5. Пусть / непрерывна и имеет две непрерывные производные по (р2, X = О, а отношение частот u IuJ2 иррационально. Если /( О Зil, 2 > Т [c.187]

В доказательстве были использованы две простые теоремы. Первая заключается в следующем. Если 5 — поверхность Ляпунова и Л О (г) на 5 X 5, где г < 2, то оператор К, определенный равенством (3.27), является вполне непрерывным из Ь (5) в Ьр (5). Вторая теорема такова. Если — вполже [c.155]

Цель этой главы — познакомить читателя с использованием вариационных методов в теории динамических систем, которые позволяют находить интересные орбиты некоторых динамических систем как критические точки некоторых функционалов, определенных на подходящих вспомогательных пространствах, образованных потенциально возможными орбитами. Эта идея восходит к идее использования вариационных принципов в задачах классической механики, которой мы обязаны Мопертюи, Даламберу, Лагранжу и другим. В классической ситуации, когда время непрерывно, источником определенных трудностей является уже то обстоятельство, что пространство потенциально возможных орбит бесконечномерно. Для того чтобы продемонстрировать существенные черты вариационного подхода, не останавливаясь на вышеупомянутых технических деталях, в 2 мы рассмотрим модельную геометрическую задачу описания движения материальной точки внутри выпуклой области. Затем в 3 будет рассмотрен более общий класс сохраняющих площадь двумерных динамических систем — закручивающих отображений, которые напоминают нашу модельную задачу во многих существенных чертах, но включают также множество других интересных ситуаций. Главный результат этого параграфа — теорема 9.3.7, которая гарантирует существование бесконечного множества периодических орбит специального вида для любого закручивающего отображения. Не менее, чем сам этот результат, важен метод, с помощью которого он получен. Этот метод, основанный на использовании функционала действия (9.3.7) для периодических орбит, будет обобщен в гл. 13, что даст возможность получить весьма замечательные результаты о непериодических орбитах. После этого, развив предварительно необходимую локальную теорию, мы переходим к изучению систем с непрерывным временем, хотя мы проделаем это только для геодезических потоков, для которых функционал действия имеет ясный геометрический смысл. При этом важной компонентой доказательства оказывается сведение глобальной задачи к соответствующей конечномерной задаче путем рассмотрения геодезических ломаных (см. доказательство теоремы 9.5.8). В 6 и 7 мы сосредоточим внимание на описании инвариантных множеств, состоящих из глобально минимальных геодезических, т. е. таких геодезических, поднятия которых на универсальное накрытие представляют собой кратчайшие кривые среди кривых, соединяющих любые две точки на геодезической. Главные утверждения этих параграфов — теорема 9.6.7, связывающая геометрическую сложность многообразия, измеряемую скоростью роста объема шаров на универсальном накрытии, с динамической сложностью геодезического потока, выражаемой его топологической энтропией, и теорема 9.7.2, позволяющая построить бесконечно много замкнутых геодезических на поверхности рода больше единицы с произвольной метрикой. Эти геодезические во многом аналогичны биркгофовым минимальным периодическим орбитам из теоремы 9.3.7. [c.341]

Теорема 2. Пусть ф(г/) —строго убывающая функция у, непрерывная на (О, 1) и даны две функции ф1(у) и цчХу) непрерывные на [О, Р] и [О, 1] соответственно и не имеющие нулей внутри этих интервалов, причем [c.135]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...