Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Из определения функции v следует, что нули этой функции определяют замкнутые интегральные кривые. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция v(Oq) непрерывна. Из периодичности / следует, что эта функция 2к-периодична. [c.155]

Вопросы теории устойчивости движения не входят в рамки этой книги. Мы довольствуемся возможностью рассмотрения возмущенного движения на конечном интервале времени, подтверждаемой теоремой о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. С этой точки зрения было бы законно рассмотреть, например, задачу о движении маятника около положения его неустойчивого равновесия (верхнего положения). Решение (16) здесь будет [c.608]

Можно считать, что для любого множество уо состоит из ш-предельных множеств. Согласно теореме о непрерывной зависимости решений от начальных условий и правых частей уравнений, при малом изменении параметра предельное множество останется в близкой окрестности перво- [c.110]

Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий. Кроме теоремы 1 (о существовании и единственности решения) основной теоремой, описывающей свойства решений, является теорема о непрерывной зависимости от начальных условий. Мы сформулируем ее применительно к системе (А) в следующей геометрической форме. [c.19]

Каждым двум точкам Л и 5, расположенным на одной и той же траектории, соответствует определенный (конечный) промежуток времени, в течение которого изображающая точка проходит расстояние от Л до В. Заметим, что изображающая точка, двигающаяся по траектории, не может достигнуть точки равновесия (точки равновесия, как мы знаем, определяются уравнением/(лг) = 0) в конечный промежуток времени. Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы Коши. Действительно, если бы изображающая точка, двигающаяся по закону дг = 9(<), достигла при каком-то конечном t = to состояния равновесия лг = лго, то мы имели бы два различных решения дифференциального уравнения (первое х = ср( ) и второе лг = Хо), принимающих одно и то же значение при t = что противоречит теореме Коши. Траектория изображающей точки, которая в этом случае асимптотически стремится к состоянию равновесия, не достигая его в конечное время, будет представлять собой или отрезок или полупрямую, концом которой является точка х = х (рис. 160). Существенным здесь является то обстоятельство, что сама точка х = Хо не принадлежит к рассматриваемой траектории, а является самостоятельной траекторией. Это ясно в силу того, что какой бы конечный момент времени мы ни взяли, изображающая точка будет находиться на конечном расстоянии от точки х = х , хотя, может быть, это расстояние и будет очень мало. Сформулируем теперь для фазовой прямой теорему о непрерывной зависимости решения от начальных условий ). [c.245]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х проекции незамкнутой интегральной кривой х (0 и проекцию решения системы (26) с начальным условием (д 1, ) 6 (х (О, О при ц = Но Поскольку это решение продолжаемо на всю ось времени, по теореме о непрерывной зависимости решения от правых частей и параметра, для любого е > О существуют достаточно близкое значение к значению Цц, а также положительное число такие, что при <Т выполнено условие [c.229]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Рассмотрим далее другую траекторию, начинающуюся в момент времени < = О в точке х,- х(х,-, i). По теореме о непрерывной зависимости решений начальной задачи Коши от начальных условий имеет место [c.170]

Возможность вышеприведенных построений обосновывается теоремой о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от входящих в них параметров и от начальных данных пусть дана система дифференциальных уравнений [c.607]

Теорема 1 (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начальных условий). Пусть [c.134]

Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции х, у, 2, х, у, z ( непрерывно зависят от точ- [c.379]

Теорему 2.1 называют теоремой о непрерывной зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных данных и параметров. [c.13]

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значении. Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (см. дополнение, 8). [c.36]

Первым вопросом, естественно возникающим при качественном рассмотрении динамических систем, является вопрос о том, какие типы фазовых траекторий вообще возможны в динамических системах второго порядка. Траектории, встречавшиеся в рассмотренных ранее примерах (см. гл. П, III и V), являлись либо состояниями равновесия, либо замкнутыми траекториями, либо, наконец, траекториями, стремящимися к состояниям равновесия или к замкнутым траекториям при. - -оо (или при — оо). Исчерпываются ли этим возможные типы фазовых траекторий, и если нет, то нельзя ли установить, каковы вообще все возможные типы отдельных траекторий Оказывается, что на основании двух общих теорем теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений и теоремы о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий (см. Дополнение 1) — можно получить исчерпывающие сведения относительно возможного характера отдельной траектории [137, 81]. Рассмотрению этого вопроса будет посвящен следующий параграф. [c.396]

Нелинейная модель заменяется линейной одним из двух способов. При первом способе замена осуществляется из условия достаточной малости сил реакций нелинейных связей по сравнению с силами реакций линейных. При этом обоснованием вводимых упрощений являются фундаментальные результаты из теории дифференциальных уравнений (теоремы о непрерывной и аналитической зависимости решений от параметров и начальных данных, [c.77]

Это утверждение доказывается следующим рассуждением, полностью аналогичным проведенным при доказательстве теоремы 1 1. Пусть точка Р, граничная для некоторой компоненты, принадлежит особой траектории о, не являющейся состоянием равновесия (в случае, когда о есть состояние равновесия, сделанное утверждение очевидно). Тогда в любой сколь угодно малой окрестности точки Р будут находиться точки данной ячейки. Но в силу того, что ячейка состоит из целых траекторий (очевидно, орбитно-устой-чивых), и в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных значений, какую бы отличную от Р точку Рх траектории о мы ни взяли, в любой сколь угодно малой окрестности точки Р1 также будут находиться точки рассматриваемой ячейки, что и означает, что точка Р,, а значит и всякая точка о, также будет граничной для данной ячейки. [c.421]

В настоящем параграфе формулируются без доказательств основные предложения, касающиеся дифференциальных уравнений (теорема существования и единственности решения, теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и др.). которые использованы в тексте книги. Доказательства этих предложений читатель может найти, напр1шер, в [И], [12], [61]. [c.552]

Непрерывность функции последования следует из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий (см. Дополнение I). [c.494]

Обозначим через G множество тех точек из Е, которые, описывая свои фазовые орбиты, через некоторый промежуток времени переходят в MHOJKe TBO S. Очевидно, что каждая точка мно кества и соответствует начальным условиям, приводящим к захвату специального типа. В силу теоремы 3 множество G — пс пустое множество. Из того, что множества Е и открытые, и из общих теорем о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных параметров следует, что и множество G есть множество открытое. Но тогда [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...