ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Две теоремы о непрерывности из "Динамические системы " Таким образом, в указанном интервале всегда имеем Q 2Qo7 т. е. разность ж, — не может по абсолютной величине превзойти наибольшую из удвоенных начальных разностей ж° — у° . Следовательно, если у стремится к ж°, то у стремится к ж равномерно в указанном интервале. Так как во всей области К dxi/dt М. то функции Xi непрерывны относительно ж и в указанном интервале для Ь. Остается лишь снять ограничение с интервала для С. [c.19] Вторая теорема о непрерывности. Если функции Х-1 имеют в К непрерывные и ограниченные первые частные производные и эти частные производные сами удовлетворяют условию Липшица, то составляющие x t) единственного решения уравнений (1), обращающегося в при I = 0 имеют непрерывные первые частные производные по всем ж и по Ь — Ьо. [c.20] Для доказательства этой теоремы мы возвращаемся к рассмотрению равенства, написанного в начале доказательства предыдущей теоремы. Мы будем предполагать совершенно так же, как в предыдущей теореме, что у достаточно близко к х в интервале С — о 5 Т, но кроме того потребуем, чтобы отрезок, соединяющий точки х 1) и у 1,), целиком лежал в К для любого 1 в тех ке пределах, для чего достаточно, чтобы y t) лежало от x t) на расстоянии, меньшем В. Предыдущая теорема показывает, что эти условия будут выполнены, если разности у — х достаточно малы. [c.20] Но эти п уравнений и начальные условия, присоединенные к уравнениям (1) и начальным условиям (Со) = ж , дают систему 2п уравнений и 2п начальных условий для хг. ж , уг, - ., Ут по отношению к которым имеют место теорема существования и теорема единственности (напомним, что дХ /дх так же, как удовлетворяют условию Липшица). Поскольку функции определяются однозначно, то, следовательно, Дж /Дж стремится к у, каким бы образом мы пи устремляли Ах к нулю . [c.22] Применяя первую теорему о непрерывности, получим, что эти функции 8x1 дхР не только существуют, но и непрерывны по ж и по С — 0. [c.22] Вернуться к основной статье