Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значении. Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (см. дополнение, 8). [c.36]

Из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений следует, что существует число б > О, удовлетворяющее следующим условиям [c.119]

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений. [c.553]

Отметим, что наличие орбитно-неустойчивых траекторий ни в какой мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лить конечный промежуток значений г, а в понятиях орбитно-устойчивости и неустойчивости фигурируют все значения г от io до о°. [c.51]

Особые траектории разделяют область G на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устой-чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для области G. Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно. [c.54]

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х проекции незамкнутой интегральной кривой х (0 и проекцию решения системы (26) с начальным условием (д 1, ) 6 (х (О, О при ц = Но Поскольку это решение продолжаемо на всю ось времени, по теореме о непрерывной зависимости решения от правых частей и параметра, для любого е > О существуют достаточно близкое значение к значению Цц, а также положительное число такие, что при <Т выполнено условие [c.229]

Каждым двум точкам Л и 5, расположенным на одной и той же траектории, соответствует определенный (конечный) промежуток времени, в течение которого изображающая точка проходит расстояние от Л до В. Заметим, что изображающая точка, двигающаяся по траектории, не может достигнуть точки равновесия (точки равновесия, как мы знаем, определяются уравнением/(лг) = 0) в конечный промежуток времени. Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы Коши. Действительно, если бы изображающая точка, двигающаяся по закону дг = 9(<), достигла при каком-то конечном t = to состояния равновесия лг = лго, то мы имели бы два различных решения дифференциального уравнения (первое х = ср( ) и второе лг = Хо), принимающих одно и то же значение при t = что противоречит теореме Коши. Траектория изображающей точки, которая в этом случае асимптотически стремится к состоянию равновесия, не достигая его в конечное время, будет представлять собой или отрезок или полупрямую, концом которой является точка х = х (рис. 160). Существенным здесь является то обстоятельство, что сама точка х = Хо не принадлежит к рассматриваемой траектории, а является самостоятельной траекторией. Это ясно в силу того, что какой бы конечный момент времени мы ни взяли, изображающая точка будет находиться на конечном расстоянии от точки х = х , хотя, может быть, это расстояние и будет очень мало. Сформулируем теперь для фазовой прямой теорему о непрерывной зависимости решения от начальных условий ). [c.245]

Это утверждение доказывается следующим рассуждением, полностью аналогичным проведенным при доказательстве теоремы 1 1. Пусть точка Р, граничная для некоторой компоненты, принадлежит особой траектории о, не являющейся состоянием равновесия (в случае, когда о есть состояние равновесия, сделанное утверждение очевидно). Тогда в любой сколь угодно малой окрестности точки Р будут находиться точки данной ячейки. Но в силу того, что ячейка состоит из целых траекторий (очевидно, орбитно-устой-чивых), и в силу непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных значений, какую бы отличную от Р точку Рх траектории о мы ни взяли, в любой сколь угодно малой окрестности точки Р1 также будут находиться точки рассматриваемой ячейки, что и означает, что точка Р,, а значит и всякая точка о, также будет граничной для данной ячейки. [c.421]

Теорема V (о непрерывной зависимости решения от изменения правой части и начального значения). [c.895]

Пусть — одна из таких полутраекторий. Если точка М ггой полутраектории лежит врутри Се, то все траектории, проходящие через достаточно малую ее окрестность, при возрастании I не выйдут из (п, следовательно, из е-окрестности Ь ). Если точка М лежит вне 6 (или на Се), то в силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений (или в силу леммы 4 3) всегда можно указать б > О такое, чтобы все траектории, при 1 = 1о, проходящие через точки 17 (М), в течение конечного промежутка значений i достигли бы цикла без контакта, не выходя до этого из е-окрестности полутраектории Ь 1 (или, точнее, из е-окрестности части ЬХц до ее пересечения с Се) войдя внутрь цикла без контакта Се, они из него больше уже не выйдут, и следовательно, пе вый- [c.260]

Пусть замкнутые кривые С и области у1 имеют тот /ке смысл, что и в предыдущих леммах, а I настолько велико, что все траектории, проходящие через точки области имеют континуум К своим со-предельным континуумом (см. лемму 10). Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории лежащая внутри - Тогда достаточно малая окрестность (М ) точки М также принадлежит области следовательно, всякая траектория, проходящая через точку окрестности (М ), имеет К своим предельным континуумом. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, то же справедливо и для траектории, проходящих через точки достаточно малой окрестиости точки М. [c.295]

Отметим тот частный случай, когда траектория Ь является состоянием равновесия О (в этом случае при всех f мы получаем одну и ту же точку О, так как вся траектория является точкой). Тогда из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений имеем какой бы промежуток значения I, о г < и, мы ни взяли, при всяком 8 > О найдется Т1 > О такое, что всякая траектория, проходящая при I — о через т1-ок-рестность состояния равновесия О, в течение значений г, го < г гь не выйдет иа е-окрестности О, т. е., грубо говоря чем ближе траектория к состоянию равновесия, тем дольше она около него находится . [c.19]

Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчивыми при называются орбитно-неустойчивыми при /сх), или (о-орбитно-неустойчивыми. Очевидно, если траектория Ь орбитнонеустойчива при и М — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое е О, что при любом сколь угодно малом 8 0 найдется траектория И, проходящая при t = через точку 8-окрестности точки М и заведомо выходящая при некотором из е -окрестности полутраектории Ь. Отметим, что наличи орбитнонеустойчивых траекторий ни в коей мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лишь конечный промежуток значений t. [c.413]

Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании I удаляются от сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не прот1Шоречит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), так как дта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке значений I. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную [c.49]

Пусть при выбранном на L движении точка Рщ соответствует значеншо t = Ти пусть Q — точка иа L, соответствующая 2 < Xj (рис. 147). Возьмем на каждой траектории L точку соответствующую значению t n tn — T — i o). Так как оо при n оо, то и t оо ири оо. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условии последовательность точек ири i оо стремится к точке Точка О ие может быть о)-предельной точкой траектории L, так как тогда (в силу теоремы 11 4) предельными для L были бы и все точки L и, в частности, точка Р, , что противоречит тому, что точка P находится на расстоянии, больпюлг бо, от полутраектории L i . Но тогда нетрудно видеть (принимая во внимание, что точка Q соответствует значению Тчто точка Q находится па конечном расстоянии от полутраектории Li/j. А так как среди траекторий Ьп всегда найдутся траектории, пересекающие сколь угодно малую окрестность точки Mj, то отсюда следует, что траектория L не является со-орбитио-устойчивой в точке il/j. Мы приходим к противоречию и лемма доказана. [c.259]

Из равенств (8) и (9) следует, что функция И (q, 0) имеет нeпpepывнyкJ производную по Q также и прп q = О, а следовательно, и во всей полосе —() С G С е - Отсюда вытекает, что для уравнения (7), доопределенного условием (8), в полосе —Q <. Q <. Q справедлива как теорема существования и единственности, так и теорема непрерывной зависимости от начальных значений (см. дополнение, 8). [c.170]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...