Теорема о непрерывной зависимости

С другой стороны, выпуская движение из точки a = (q, q ) в силу условия теоремы получаем, что обязательно существует такой конечный момент времени (, для которого d (/)/Л < О (здесь ( ) — значение энергии в движении Р ). Поэтому Е (t) а Е . Следовательно, значения энергии в движениях Р и в движении Р в момент времени t отличаются на конечную величину Е — Е ), несмотря на то, что начальные точки (<7 qs) и q, q ) этих движений сколь угодно близки, а это противоречит теореме о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение >0 ошибочно. Теорема доказана. [c.232]

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Из определения функции v следует, что нули этой функции определяют замкнутые интегральные кривые. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных данных функция v(Oq) непрерывна. Из периодичности / следует, что эта функция 2к-периодична. [c.155]

Рассмотрим далее другую траекторию, начинающуюся в момент времени < = О в точке х,- х(х,-, i). По теореме о непрерывной зависимости решений начальной задачи Коши от начальных условий имеет место [c.170]

Возможность вышеприведенных построений обосновывается теоремой о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных уравнений от входящих в них параметров и от начальных данных пусть дана система дифференциальных уравнений [c.607]

Вопросы теории устойчивости движения не входят в рамки этой книги. Мы довольствуемся возможностью рассмотрения возмущенного движения на конечном интервале времени, подтверждаемой теоремой о непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров. С этой точки зрения было бы законно рассмотреть, например, задачу о движении маятника около положения его неустойчивого равновесия (верхнего положения). Решение (16) здесь будет [c.608]

Можно считать, что для любого множество уо состоит из ш-предельных множеств. Согласно теореме о непрерывной зависимости решений от начальных условий и правых частей уравнений, при малом изменении параметра предельное множество останется в близкой окрестности перво- [c.110]

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значении. Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (см. дополнение, 8). [c.36]

Из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений следует, что существует число б > О, удовлетворяющее следующим условиям [c.119]

Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений. [c.553]

Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий. Кроме теоремы 1 (о существовании и единственности решения) основной теоремой, описывающей свойства решений, является теорема о непрерывной зависимости от начальных условий. Мы сформулируем ее применительно к системе (А) в следующей геометрической форме. [c.19]

Отметим, что наличие орбитно-неустойчивых траекторий ни в какой мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лить конечный промежуток значений г, а в понятиях орбитно-устойчивости и неустойчивости фигурируют все значения г от io до о°. [c.51]

Особые траектории разделяют область G на частичные области, точки которых являются точками неособых (орбитно-устой-чивых) траекторий. Граница каждой такой частичной области состоит из точек особых траекторий и точек, граничных для области G. Мы ограничимся здесь рассмотрением таких областей, в границу которых не входят граничные точки G. Такие области будем называть элементарными ячейками (или просто ячейками). Очевидно, ячейки состоят из целых орбитно-устойчивых (т. е. неособых) траекторий. Нетрудно видеть на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, что граница всякой ячейки состоит из целых особых траекторий. Точки одной и той же особой траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. На основании того, что число особых траекторий конечно, нетрудно показать, что число ячеек в области G конечно. [c.54]

Мы скажем, что т очка Q дуги I имеет последующую Q. Если обе точки Q ш Q отличны от концов дуги I, то на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий и предложения II 1. гл. 2 у всех точек дуги I, близких к Q, будут существовать, последующие (в частности, это всегда имеет место, когда траектория, проходящая через точку Q, замкнута). [c.95]

Грубость динамической системы и теоремы о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей. На основании приведенных теорем мы моЖем утверждать, что на любом конечном замкнутом промежутке значений (на котором определено решение исходной системы) при малых изменениях правых частей решение измененной системы мало отличается от решения исходной системы. [c.136]

Из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий (см. главу I) следует, что функции х, у, 2, х, у, z ( непрерывно зависят от точ- [c.379]

Рассмотрим произвольную точку Р множества Mi — М[. Она является предельной точкой множества W. Поэтому существует последовательность Р , р2,. .. точек множества W, сходящаяся к Р. По теореме о непрерывной зависимости от начальных условий отсюда следует, что при всяком вещественном t последовательность Р/, РД. .. сходится к P . Так как точки Р/ также принадлежат W, ибо W состоит из кривых движения, то отсюда следует, что Pt есть предельная точка множества W. А так как Pt принадлежит Mi в силу того, что Р принадлежит Ml, то Pt принадлежит Mi — М[. [c.389]

Теорема о непрерывной зависимости. Если в предыдущей теореме зависимость поля v от параметра а лишь непрерывная, то тогда и зависимость решения от параметра непрерывна. [c.23]

Легко показать, на основании теоремы о непрерывной зависимости от начальных Рис. 243, [c.329]

Первым вопросом, естественно возникающим при качественном рассмотрении динамических систем, является вопрос о том, какие типы фазовых траекторий вообще возможны в динамических системах второго порядка. Траектории, встречавшиеся в рассмотренных ранее примерах (см. гл. П, III и V), являлись либо состояниями равновесия, либо замкнутыми траекториями, либо, наконец, траекториями, стремящимися к состояниям равновесия или к замкнутым траекториям при. - -оо (или при — оо). Исчерпываются ли этим возможные типы фазовых траекторий, и если нет, то нельзя ли установить, каковы вообще все возможные типы отдельных траекторий Оказывается, что на основании двух общих теорем теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений и теоремы о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий (см. Дополнение 1) — можно получить исчерпывающие сведения относительно возможного характера отдельной траектории [137, 81]. Рассмотрению этого вопроса будет посвящен следующий параграф. [c.396]

Но нетрудно видеть, что тогда все достаточно близкие к траектории, в силу теоремы о непрерывной зависимости рещений дифференциальных уравнений от начальных условий и в силу того, что они замкнуты, будут целиком лежать в е-окрестности д. Это и означает, что орбитно-устойчива. Теорема доказана. [c.418]

Теорему 2.1 называют теоремой о непрерывной зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от начальных данных и параметров. [c.13]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку х проекции незамкнутой интегральной кривой х (0 и проекцию решения системы (26) с начальным условием (д 1, ) 6 (х (О, О при ц = Но Поскольку это решение продолжаемо на всю ось времени, по теореме о непрерывной зависимости решения от правых частей и параметра, для любого е > О существуют достаточно близкое значение к значению Цц, а также положительное число такие, что при <Т выполнено условие [c.229]

Нелинейная модель заменяется линейной одним из двух способов. При первом способе замена осуществляется из условия достаточной малости сил реакций нелинейных связей по сравнению с силами реакций линейных. При этом обоснованием вводимых упрощений являются фундаментальные результаты из теории дифференциальных уравнений (теоремы о непрерывной и аналитической зависимости решений от параметров и начальных данных, [c.77]

Доказательство. Пусть О = Г,(<р. бд) — решение уравнения (11.7). По условию леммы имеем, что функция ё(Ьд) меняет знак. Отсюда и из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных урашений от правых частей следует, что существует такое е > О, что функция -2 (бд) =/ 2 (29 о) — — бо также меняет знак, если [c.178]

Состояния равновесия соответствуют особым точка.ч векторного поля иа сфере, т. е. точкам, в которых соответствующий вектор ст (Л/) = 0. Далее, для траектории на сфере справедлива теорема о непрерывной зависимости от начальных значсни . Ее можно сформулировать в точности в такой же геометрической форме, как в с.1учае плоскости (см. 1, п. 9, теорема 4 ). [c.66]

Т2<Т1. Так как в этом случае по.яутраектория является частью полутраекторип дг2 (рис. 14()), то, воспользовавшись теоремой о непрерывной зависимости от начальных условий, нетрудно видеть, что траектория Ь ю-орбитно-устойчива также и в точке М - [c.258]

Пусть при выбранном на L движении точка Рщ соответствует значеншо t = Ти пусть Q — точка иа L, соответствующая 2 < Xj (рис. 147). Возьмем на каждой траектории L точку соответствующую значению t n tn — T — i o). Так как оо при n оо, то и t оо ири оо. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условии последовательность точек ири i оо стремится к точке Точка О ие может быть о)-предельной точкой траектории L, так как тогда (в силу теоремы 11 4) предельными для L были бы и все точки L и, в частности, точка Р, , что противоречит тому, что точка P находится на расстоянии, больпюлг бо, от полутраектории L i . Но тогда нетрудно видеть (принимая во внимание, что точка Q соответствует значению Тчто точка Q находится па конечном расстоянии от полутраектории Li/j. А так как среди траекторий Ьп всегда найдутся траектории, пересекающие сколь угодно малую окрестность точки Mj, то отсюда следует, что траектория L не является со-орбитио-устойчивой в точке il/j. Мы приходим к противоречию и лемма доказана. [c.259]

Пусть — одна из таких полутраекторий. Если точка М ггой полутраектории лежит врутри Се, то все траектории, проходящие через достаточно малую ее окрестность, при возрастании I не выйдут из (п, следовательно, из е-окрестности Ь ). Если точка М лежит вне 6 (или на Се), то в силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений (или в силу леммы 4 3) всегда можно указать б > О такое, чтобы все траектории, при 1 = 1о, проходящие через точки 17 (М), в течение конечного промежутка значений i достигли бы цикла без контакта, не выходя до этого из е-окрестности полутраектории Ь 1 (или, точнее, из е-окрестности части ЬХц до ее пересечения с Се) войдя внутрь цикла без контакта Се, они из него больше уже не выйдут, и следовательно, пе вый- [c.260]

Пусть замкнутые кривые С и области у1 имеют тот /ке смысл, что и в предыдущих леммах, а I настолько велико, что все траектории, проходящие через точки области имеют континуум К своим со-предельным континуумом (см. лемму 10). Пусть М — какая-нпбудь точка полутраектории лежащая внутри - Тогда достаточно малая окрестность (М ) точки М также принадлежит области следовательно, всякая траектория, проходящая через точку окрестности (М ), имеет К своим предельным континуумом. В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, то же справедливо и для траектории, проходящих через точки достаточно малой окрестиости точки М. [c.295]

В настоящем параграфе формулируются без доказательств основные предложения, касающиеся дифференциальных уравнений (теорема существования и единственности решения, теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий и др.). которые использованы в тексте книги. Доказательства этих предложений читатель может найти, напр1шер, в [И], [12], [61]. [c.552]

Отметим тот частный случай, когда траектория Ь является состоянием равновесия О (в этом случае при всех f мы получаем одну и ту же точку О, так как вся траектория является точкой). Тогда из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений имеем какой бы промежуток значения I, о г < и, мы ни взяли, при всяком 8 > О найдется Т1 > О такое, что всякая траектория, проходящая при I — о через т1-ок-рестность состояния равновесия О, в течение значений г, го < г гь не выйдет иа е-окрестности О, т. е., грубо говоря чем ближе траектория к состоянию равновесия, тем дольше она около него находится . [c.19]

Полутраектории или траектории, не являющиеся орбитно-устойчивыми при называются орбитно-неустойчивыми при /сх), или (о-орбитно-неустойчивыми. Очевидно, если траектория Ь орбитнонеустойчива при и М — какая-нибудь ее точка, то всегда можно указать такое е О, что при любом сколь угодно малом 8 0 найдется траектория И, проходящая при t = через точку 8-окрестности точки М и заведомо выходящая при некотором из е -окрестности полутраектории Ь. Отметим, что наличи орбитнонеустойчивых траекторий ни в коей мере не противоречит теореме о непрерывной зависимости от начальных значений, так как в этой теореме рассматривается лишь конечный промежуток значений t. [c.413]

Непрерывность функции последования следует из теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий (см. Дополнение I). [c.494]

Коэффициенты системы (4) и импульс 1г А) апалнтичпы по 1/А, если О IIА < 1, отсюда по аналогии с известными теоремами о параметрической зависимости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений естественно предположить непрерывную (и кусочно дифференцируемую при О < Ке < °°) зависимость собственных функций от Ке как от параметра прн О Ке < [c.310]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...